数学《三元一次方程组及其解法》教学教案设计.docx

三元一次方程组及其解法
l 教学目标：
知识与技能目标：
1. 能正确说出三元一次方程（组）及其解的概念，能正确判别一组数是否是三元一次方程（组）的解；
2. 会根据实际问题列出简单的三元一次方程或三元一次方程组。
过程与方法目标：
1. 通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识。
2. 能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。
情感态度与价值观目标：
1. 通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。
l 重点：
1. 掌握三元一次方程及三元一次方程组的概念，理解它们解的含义；
2. 判断一组数是不是某个三元一次方程组的解. 
l 难点：
从实际问题中抽象出三元一次方程组的过程，体会数学方程的建模思想。
l 教学流程：
一、 课前回顾
我们在前面的学习中，已经知道了二元一次方程组的相关知识：
1、解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
2、它们的实质是什么？
①消元法
②加减法
【设计意图】回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮助学生能更好的融入课程。
二、 活动探究
一副扑克牌共54张，老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名小朋友. 甲拿到的牌数是乙的2倍；若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张. 问老师分给甲、乙、丙各几张牌？
讨论：这个问题中要求的未知数有几个？你能得到几个等式关系？请试一试.
3个未知数.
甲的牌数=2倍乙的牌数
12丙的牌数+乙的牌数=甲的牌数+2
设甲、乙、丙的牌数分别为x、y、z,根据题意得
设1元、2元、5元的张数分别为x、y、z,根据题意得
①x+y+z=54
②x=2y 即x+y+z=54  ① x=2y           ②12z+y=x+2③
③12z+y=x+2
(2)根据(1)中列出的方程，你能求出问题的解吗？试一试.
解：（1）所得方程：x+y+z=54  ① x=2y           ②12z+y=x+2③
①-②×2，得x-y=54-2x-4,即3x=50+y.
得到方程组：x=2y3x=50+y,解得x=20y=10.
把x=20y=10带入①，得z=24.
所以，甲的牌数为20张，乙的牌数伟10张，丙的牌数为24张.
活动讨论：
1.观察 x+y+z=54，具有怎样的特征？
特征：
①3个未知数；
②1个等式；
③未知数的项的次数都为1次.
2.观察方程组即x+y+z=54  ① x=2y           ②12z+y=x+2③，具有怎样的特征？
特征：
①3个等式；
②3个未知数；
③未知数的项的次数都为1次.
【设计意图】引发思考，使得学生对今天上的课有一定的了解。
三、 新课讲解
三元一次方程的定义：
含有三个未知数, 并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
三元一次方程组的定义：
由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程， 叫做三元一次方程组．
三元一次方程组的解的定义：
同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫做这个三元一次方程组的解.
【设计意图】使得学生理解新的知识点。
四、 巩固练习
列方程组中，是三元一次方程组的是(　D　)
A. x2-y=1 y+z=0 xz=2  B. 1x+y=11y+z=2 x+1z=6 
C. a+b+c+d=1 a-c=2 b-d=3  D. m+n=18 n+t=12 t+m=0 
小结：
三元一次方程组需满足的条件：
(1)方程组中一共含有三个未知数；
(2)每个方程中所含未知数的项的次数都是1；
(3)每个方程均是整式方程．
【设计意图】引发思考，使得学生结合新的知识点思考和探究下一个新的知识。
五、 讲授新课
【设计意图】引发思考，使得学生结合新的知识点思考和探究下一个新的知识。
六、 讲授新课
三元一次方程组的解的定义：
同时满足三元一次方程组中各个方程的解叫做这个三元一次方程组的解.
1.解三元一次方程组的基本思路是：
通过“代入”或 “加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程，用简图表示为：

2.求解方法：加减消元法和代入消元法．
3．解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起．
【设计意图】引发思考，使得学生对今天上的课有一定的了解。
七、 例题讲解
例2.解方程组x+2y-z=1① 2x-y+z=-2②x=y-z          ③
解:将③ 分别代入① ②消去x得: 3y-2z=1 y-z=-2
解这个方程组得:z=7y=5
将z=7y=5带入③得，x=-2.
∴这个三元一次方程组的解为：x=-2 y=5z=7
巩固练习：
试一试：试着求解我们前面列出的三元一次方程组． x+y+z=12    ①x+2y+5z=22②4y=x              ③.
把③分别代入①②，得5y+z=126y+5z=22
把y=2代入③ ，得x=8.
三元解方程组得y=2z=2
所以原方程组的解为x=8y=2z=2
小结：
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该通过观察方程组选择最为简便的解法．此题中的方法一最为简便．要根据方程组中各方程的特点，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元．
例2 解三元一次方程组：3x＋2y+z=13  ①x＋5y＋2z=7  ②2x+3y-z=12     ③
解：①＋③ ，得5x＋5y=25 ④
①x2- ②，得5x-y=19. ⑤，则
5x＋5y=25 5x-y=19 
解这个方程组，得x=4y=1
把x＝4，y＝1代入① ，得z=-1
因此，三元一次方程组的解为x=4y=1z=-1
巩固练习：
试一试：求解三元一次方程组:x+y+z=54  ① x=2y           ②12z+y=x+2③
①-×2，得x-y=54-2x-4,即3x=50+y    ④.
得到方程组：x=2y           ②3x=50+y④,解得x=20y=10.
把x=20y=10带入①，得z=24.
∴三元一次方程组的解为x=20y=10z=24.
小结：
当方程组中含有相同未知数的项的系数的绝对值相等或成倍数关系时，通常用加减消元法，消去这个未知数．
【设计意图】引发思考，使得学生对今天上的课有一定的了解。
八、 综合扩展
在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝2；当x＝2时，y＝8；当x＝5时，y＝158，求a，b，c的值．
分析：把a，b，c看成三个未知数，分别把三组已知的x，y的值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a，b，c的值．
解：根据题意，得a-b+c=2    ① 4a+2b+c=8  ②25a+5b+c=158    ③
巩固练习：
某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5h, 从乙地到甲地需要2.3h. 假设汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中的时速分别是30km, 20km, 40km，则从甲地到乙地的过程中,上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
等量关系：
①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；
②甲地à乙地:上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；
③乙地à甲地，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x km，y km和z km.由题意得
x+y+z=70     ① x20+y30+z40=2.5 ②z20+y30+x40=2.3③ 解得x=12y=54z=4    
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.
列三元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系．
(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；
(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；
(4)解出方程组求出未知数的值；
(5)写出答案，包括单位名称．
【设计意图】引发思考，使得学生结合新的知识点思考。
九、 能力提升
1.列方程是三元一次方程的是_____．(填序号)
①x＋y－z＝1; ②4x²y＋3z＝7；
③ ④6x＋4y－3＝0.
2.判断下列方程组是不是三元一次方程组?

3.解方程组x+y=3  ①y+z=5  ②z+x=4  ③
解: ③-②，得x-y=-1. ④
①+④，得2x=2.即x=1.
把x=1带入方程①、②，分别得y=2、z=3.
∴元方程组的解为x=1 y=2 z=3  
4.解方程组：x=y+1       ①x+2z=-2 ②y-z=3       ③
解：把①带入②得，y+1+2z=-2，即y+2z=-3. ④
③-④，得-3z=6，解得z=-2.
把z=-2分别带入②、③，解得x=2、y=1.
∴原方程组的解为：x=2y=1z=-2.
5.甲、乙、丙三人的年龄之和为20岁，甲年龄的2倍比乙大1岁，乙年龄的1/3等于丙的1/2.问甲、乙、丙三人各几岁？
解：设甲、乙、丙年龄分别为x、y、z, 则
x+y+z=202x=y+213y=12z         解得x=48y=45z=12
答：甲、乙、丙的年龄分别为：．
【设计意图】强化、检测知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
十、 小结
1.三元一次方程:含有三个未知数, 并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
2.三元一次方程组:由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程， 叫做三元一次方程组．
3.解三元一次方程组方法：消元法、加减法.基本思路是消元：三元 à二元à 一元.
【设计意图】强化知识点，巩固知识点，让学生更进一步的记住新的知识。
十一、 布置作业
教材51页习题第1题.
教材51页习题第3、4、2、6题。
【设计意图】强化知识点，让学生用自己学到的知识去解决问题，并对学生的掌握程度做一个检测。