文科经管类微积分第八章.pptx
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1、高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学(一一)第四十九讲第四十九讲第四十九讲第四十九讲常数项级数的概念脚本编写:教案制作:n个0n个9通俗地说:无限多个数的和可以是一个有限的数.引例1:庄子庄子天下篇天下篇:“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”.意思是意思是:一尺长的棍子一尺长的棍子,第一天取其一半第一天取其一半,第二第二天取其剩下的一半天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一以后每天都取其剩下的一半半,这样永远也取不完这样永远也取不完.引例引例2把每日所取排列起来:棰取走的部分总共长:此是公比为的等比数列,(常数项常数项)无穷级无穷级数数一般项一般项部分和数
2、列部分和数列级数的部分和级数的部分和v常数项级数的定义 u1 u2 u3 un 上页下页铃结束返回首页下列各式均为常数项级数例1上页下页铃结束返回首页v级数举例 调和级数 几何级数级数的展开形式备注一般项简写形式等比级数aqn1p级数 下页v级数敛散性定义 (包括极限为),上页下页铃结束返回首页v余项 rnssnun1un2 下页上页下页铃结束返回首页 例例2.证明级数 123 n 是发散的 此级数的部分和为 证证:下页上页下页铃结束返回首页故级数发散.例例1 1 讨论级数的敛散性.解:因则解解收敛收敛发散发散例例1 1 讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数)的收敛性的收敛性.当公比当公
3、比|q|1 时时,等比级数发散等比级数发散.发散发散发散发散 综上所述综上所述,例例1 1讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数)的收敛性的收敛性.当公比当公比|q|1 时时,等比级数收敛;等比级数收敛;当公比当公比|q|1 时时,等比级数发散等比级数发散.上页下页铃结束返回首页例7收敛吗?解:因为收敛.上页下页铃结束返回首页例8讨论的收敛性.解:因收敛,即是一个有限的数,而从1加到也是个有限的数,因此级数收敛.例例2.判别级数 的敛散性:解解:利用“拆项拆项”求和所以级数发散所以级数发散.解解:例例2 2讨论无穷级数讨论无穷级数 的收敛性的收敛性.二、收敛级数的基本性质sn、sn、tn
4、则 结论结论:两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质2 设有两个收敛级数设有两个收敛级数则级数则级数也收敛也收敛,且有且有注注:证证(2):(2):矛盾矛盾.假设假设收敛收敛,上页下页铃结束返回首页二、收敛级数的基本性质 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 性质1 性质2下页上页下页铃结束返回首页二、收敛级数的基本性质 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 性质1 性质2 性质4 如果级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和不变 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 下页
5、收敛,则也收敛.上页下页铃结束返回首页加加括号仍为收敛级数括号仍为收敛级数.注注 收敛级数收敛级数是收敛的.注注“加括号后所成的级数收敛加括号后所成的级数收敛,原级数不一定收敛原级数不一定收敛.”例如级数是发散级数.但将相邻的两项加括号后所得级数收敛,则也收敛.上页下页铃结束返回首页例7 性质2收敛吗?解:因为和均收敛,根据性质2,级数收敛.上页下页铃结束返回首页v级数收敛的必要条件 下页若级数收敛,则必有定理n个0上页下页铃结束返回首页v级数收敛的必要条件 证:注意:(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 不能因为一般项趋于零就断定级数收敛 (2)如果一般项不趋于零 则级数必发散
6、因此此性质常用于判断级数发散下页若级数收敛,则必有定理定理上页下页铃结束返回首页由于故该级数发散.解解:例5级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:若级数收敛,则必有上页下页铃结束返回首页是必要不充分条件是必要不充分条件:再举一例:再举一例:v级数收敛的必要条件 若级数收敛,则必有定理但级数是否收敛但级数是否收敛?例例4.4.这是因为这是因为 y=1/x上页下页铃结束返回首页结束v级数收敛的必要条件 若级数收敛,则必有定理上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页作业P1261.2.3.4.(1)(3)(5)(7)(8)5.(1)高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学(一一)第五
7、十讲第五十讲第五十讲第五十讲正项级数脚本编写:教案制作:上页下页结束返回首页铃8.2 正项级数及其审敛法上页下页铃结束返回首页第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 1.1.定义定义:这种级数称为这种级数称为正项级数正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:定理定理一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法 极限不存在证明证明第一比较判别法第一比较判别法(2)(2)是是(1)(1)的等价命题的等价命题.则则大收小收,小发大发.上页下页铃结束返回首页第一比较判别法第一比较判别法解解例例2 2重要参考级数重要参考级数:p-级数级数,调和级数,几何级数调和级数,几
8、何级数例例2 2提示:解解:例例3 3例例4 4解解:要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性,就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式,但有时直接建立这样的不等式相当困难,为应用方便,我们给出比较判别法的极限形式.定理定理8 8(第一比较判别法的极限形式)若两个正项级数满足:(1)当0l+时,级数同时敛散;v第二比较判别法 简要说明:简要说明:这样两级数有相同的敛散性.定理定理8 8(第一比较判别法的极限形式)若两个正项级数满足:(1)当0l+时,级数同时敛散;(2)当l=0且级数且级数也收敛;收敛时,级数v第二比较判别法 简要说明简要说明(2):得证.定理定理8 8(第一比较
9、判别法的极限形式)若两个正项级数满足:(1)当0l+时,级数同时敛散;(2)当l=0且级数且级数也收敛;收敛时,级数(3)当l=+且且级数也发散.发散时,级数v第二比较判别法 简要说明简要说明(3):得证.,设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数 如果如果,当当时时;则则(1)(1)两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性 (3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;(2)(2)当当时,若时,若收敛收敛,则则收敛收敛;第一比较判别法的极限形式第一比较判别法的极限形式:v第二比较判别法 上页下页铃结束返回首页例例5 5v第二比较判别法 解解:上页下
10、页铃结束返回首页例例6 6v第二比较判别法 解解:上页下页铃结束返回首页v第二比较判别法 例例3.解解:根据第二比较判别法知上页下页铃结束返回首页 例例3.解解:下页根据第二比较判别法知实际是实际是 与与 同阶无穷小同阶无穷小 之间的比较之间的比较.上页下页铃结束返回首页例例1515 判定级数的敛散性:由比较判别法的极限形式知收敛.抓主要项抓主要项抓大头抓大头上页下页铃结束返回首页例设正项级数收敛,能否推出收敛?提示提示:由第二比较判别法可知收敛.v第二比较判别法 (2)(2)当当时,若时,若收敛收敛,则则收敛收敛;,设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数 如果如果上页下页铃
11、结束返回首页注注7 7 使用第一和第二比较判别法,需记住一些已知其收敛性的级数,而且建立不等式关系也比较繁.而事实上,一个正项级数的收敛性有其自身内在的本质,可以利用级数自身的特点,来判定级数的收敛性.v第二比较判别法 上页下页铃结束返回首页除了几何级数外,数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数.阿贝尔(Abel,Niels Henrik,1802-1829)当公比当公比|q|1 时时,等比级数收敛;等比级数收敛;当公比当公比|q|1 时时,等比级数发散等比级数发散.(1)1(包括 =)时,级数发散;(3)=1 时,不能由此断定级数的敛散性.利用级数本身利用级数本身来进行判别来进行判
12、别.比值判别法(达朗贝尔判别法):例例1111收敛收敛.解解:解解根据第一比较判别法,根据第一比较判别法,原级数收敛原级数收敛例7 判别的敛散性.比值判别法与比较判别法的综合应用比值判别法与比较判别法的综合应用由比值判别法,由比值判别法,例8 判别的敛散性.解解上页下页铃结束返回首页例7判别的敛散性.解解:v比值判别法(达朗贝尔判别法)收敛收敛.例例1313解解:所以用所以用比值法无法判断比值法无法判断.用第二比较判别法用第二比较判别法,收敛收敛.上页下页铃结束返回首页例8假设判别的收敛性.v比值判别法解:则(1)若 ,则级数收敛.(2)若 ,则级数发散.(3)若 ,此时比值判别法失效,时,则
13、级数收敛,时,则级数发散.但此时原级数为上页下页铃结束返回首页除了几何级数外,数学中不存在任何一种它的和已被严格确定的无穷级数.阿贝尔(Abel,Niels Henrik,1802-1829)当公比当公比|q|1 时时,等比级数收敛;等比级数收敛;当公比当公比|q|1 时时,等比级数发散等比级数发散.上页下页铃结束返回首页定理定理5.根值判别法(Cauchy判别法)设 为正项级则数,且简要说明:简要说明:上页下页铃结束返回首页时,级数可能收敛也可能发散.说明说明:定理定理5.根值判别法(Cauchy判别法)设 为正项级则数,且上页下页铃结束返回首页定理定理5.根值判别法(Cauchy判别法)设
14、 为正项级则数,且根值判别法适合 中含有某表达式的 次幂.例例1515解解:所以级数收敛所以级数收敛.例例1616解解:所以级数收敛所以级数收敛.上页下页铃结束返回首页必要条件不满足满足比值判别法根值判别法收敛不能 用它比较判别法级数发散判别内容小结:正项级数的审敛法un vn洛必达法则:复杂的型,上页下页铃结束返回首页例6判别级数的收敛性.复杂的型,解:令由于从而是 级数,其中收敛.从而 收敛.洛必达法则:上页下页铃结束返回首页作业P1371.2.(2)(4)(5)(8)3.(2)(4)(6)高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学(一一)第五十一讲第五十一讲第五十一讲第五十一讲
15、正项级数判别法应用实例脚本编写:教案制作:上页下页铃结束返回首页必要条件不满足满足比值判别法根值判别法收敛不能 用它比较判别法级数发散判别内容小结:正项级数的审敛法un vn洛必达法则:复杂的型,6.正项级数正项级数比较判别法比较判别法的基本题型和应用实例的基本题型和应用实例 (1)利用比较法(不等式形式)直接判敛题型利用比较法(不等式形式)直接判敛题型:(2)利用比较法利用比较法(极限形式)(极限形式)直接判敛题型直接判敛题型:抓主要项抓主要项上页下页铃结束返回首页例例1515 判定级数的敛散性:由比较判别法的极限形式知收敛.抓主要项抓主要项抓大头抓大头 例例5 5例例6 6例例7 7 (3
16、)带有参数的正项级数的讨论判敛题型带有参数的正项级数的讨论判敛题型:上页下页铃结束返回首页例例9 9 判定下列级数的敛散性收敛,收敛.故v第二比较判别法 上页下页铃结束返回首页例例9 9 判定下列级数的敛散性收敛,收敛.故v第二比较判别法 6.正项级数正项级数比较判别法比较判别法的基本题型和应用实例的基本题型和应用实例 (1)利用比较法(不等式形式)直接判敛题型利用比较法(不等式形式)直接判敛题型:例6判别的敛散性.(其中 ,正常数).解:(2)当 时,而此时,收敛,收敛.因此(1)当 时,而为调和级数,发散,发散.因此要找出 中起主要作用的项.(4)证明正项级数收敛或发散的题型证明正项级数收
17、敛或发散的题型:v第二比较判别法 (4)证明正项级数收敛或发散的题型证明正项级数收敛或发散的题型.v第二比较判别法 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法)的应用实例的应用实例 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法)的应用实例的应用实例 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法)的应用实例的应用实例 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法)的应用实例的应用实例 8.正项级数正项级数比值判别法比值判别法(DAlembert 法法)的应用实例的应用实例 8.正项级数正项级数比值判别法比值
18、判别法(DAlembert 法法)的应用实例的应用实例 上页下页铃结束返回首页必要条件不满足满足比值判别法根值判别法收敛不能 用它比较判别法级数发散判别内容小结:正项级数的审敛法un vn洛必达法则:复杂的型,上页下页铃结束返回首页作业P1388.13.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)6.10.11.高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学(一一)第五十二讲第五十二讲第五十二讲第五十二讲任意项级数的审敛法脚本编写:教案制作:上页下页结束返回首页铃一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛8.3 8.3 任意项级数的审敛法任意项级数的审敛法上页下页铃结束返回首页上页
19、下页铃结束返回首页 本节讨论一般的常数项级数,即各项符号不尽相同的变号级数(任意项级数).如级数 下面讨论任意项级数的敛散性的判别法.首先讨论其中的一种各项正负相间的特殊情形 交错级数.上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法v交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的 下页这是交错级数这是交错级数.上页下页铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法v交错级数 交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的 下页上页下页铃结束返回首页v莱布尼茨定理 则级数收敛 且其和su1 简要证明简要证明:下页设级数的前n项部分和为sn及 s2nu1(u2u3)(u4u5)(u2n2u2n1)u2n 设
20、s2ns(n)则也有s2n1s2nu2n1s(n)所以sns(n)因此级数是收敛的 且级数的和su1可见数列s2n单调增加且有界(s2nu1)所以数列s2n收敛s2n可写成称称莱布尼茨莱布尼茨型级数型级数 上页下页铃结束返回首页 例例9.这是一个交错级数 因为此级数满足 证证:是莱布尼茨型级数 故收敛v莱布尼茨定理 则级数收敛 且其和su1首页.上页下页铃结束返回首页 例例9.这是一个交错级数 因为此级数满足 证证:首页.例 验证:不管 大于 还是不大于 ,只要均收敛.是莱布尼茨型级数 故收敛是莱布尼茨型级数 故收敛三、任意项级数的三、任意项级数的绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛定义定义:
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- 文科 经管 微积分 第八
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