文科考研无穷级数.pptx

1第六章第六章无穷级数无穷级数21 1、常数项级数、常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散3性质性质1 1:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.性质性质2 2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质3 3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和.级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质4常数项级数审敛法常数项级数审敛法正项级数正项级数任意项级数任意项级数4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛4.莱布尼茨定理莱布尼茨定理3.按基本性质按基本性质;1.2.交错级数交错级数5.条件收敛条件收敛5定义定义2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法充分必要条件充分必要条件:(1)(1)比较审敛法比较审敛法6比较审敛法的极限形式：比较审敛法的极限形式：,设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数 如果如果,当当时时;则则(1)(1)两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性 (3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;7以下两个级数是常用的比较对象：以下两个级数是常用的比较对象：89定义定义 正正 、负项相间的级数称为、负项相间的级数称为交错级数交错级数.3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法10定义定义 正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数.4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法115 5、函数项级数、函数项级数(1)(1)定义定义(2)(2)收敛点与收敛域收敛点与收敛域否则称为否则称为发散点发散点.12(3)(3)和函数和函数所有发散点的全体称为所有发散点的全体称为发散域发散域.13(1)(1)定义定义5 5、幂级数、幂级数14(3)(3)收敛半径收敛半径 15(4)(4)和函数的分析运算性质：和函数的分析运算性质：且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.16且收敛半径仍为且收敛半径仍为R.176 6、幂级数展开式、幂级数展开式(1)定义定义18(2)充要条件充要条件(3)唯一性唯一性19(3)展开方法展开方法a.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,通过通过变量变量代换代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项逐项积分积分等方法等方法,求展开式求展开式.20(4)常见函数展开式常见函数展开式21(不为正整数不为正整数)22典型例题典型例题题型题型1 1：判定数项级数的敛散性：判定数项级数的敛散性 例例1 1判别下列级数的收敛性：判别下列级数的收敛性：解解所以原级数发散所以原级数发散23解解例例2 2用比值审敛法用比值审敛法,所以级数收敛。所以级数收敛。24解解例例3 3【答案】【答案】应应选选(D).).25解解例例3 3【评注】【评注】26解解例例4 4从而原级数绝对收敛从而原级数绝对收敛.由基本不等式可知，由基本不等式可知，【答案】【答案】应应选选(B).).27解解例例5 5(96,3(96,3分分)下列各选项正确的是（下列各选项正确的是（）.由正项级数的比较判别法可得结论由正项级数的比较判别法可得结论.【答案】【答案】应应选选(A).).28解解例例6 6【答案】【答案】应应选选(C).).29解解例例7 7【答案】【答案】应应选选(D).).30解解例例7 731解解例例8 8所以原级数也发散所以原级数也发散.32例例9 9【答案】【答案】应应选选(B B).).33例例9 9【评注】【评注】应了解以下结论：应了解以下结论：34解解例例1010收敛级数加括号仍收敛，故收敛级数加括号仍收敛，故(D)正确正确.由性质：正项级数加括号或去括号不改变其敛散性，由性质：正项级数加括号或去括号不改变其敛散性，可判定可判定(C)C)选项是错误的选项是错误的.35解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛一方面一方面,是条件收敛还是绝对收敛？是条件收敛还是绝对收敛？例例111136由莱布尼茨定理知由莱布尼茨定理知,另一方面另一方面,故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛37解解例例121238由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知,原级数收敛原级数收敛.本题这种放大通项的办法本题这种放大通项的办法,有一定的难度有一定的难度.例例121239题型题型2 2：求幂级数的收敛域：求幂级数的收敛域 例例1 1解解【评注】【评注】也可以这样求解：也可以这样求解：40解解例例2 2【答案】【答案】应应选选(A)A).41解解例例3 342解解例例4 4收敛半径收敛半径 4344题型题型3 3：求幂级数的和函数：求幂级数的和函数 例例1 1解解由一阶线性方程的通解得由一阶线性方程的通解得 45于是于是46例例2 2解解逐项求导得逐项求导得 474849例例3 3解解两边两边0 0到到x积分，得积分，得 导数左正右负，导数左正右负，50例例4 4解解51所以所以52例例5 5解解535455答案答案:类题类题05(16)1205(16)1256题型题型4 4：求数项级数的和：求数项级数的和 例例1 1解解57解解例例2 2(93(93五五7)7)58例例3 3解解59xyo60例例4 4解解所以所以考虑幂级数考虑幂级数 所以所以61解解例例5 5(1)(1)所以级数收敛；所以级数收敛；(2)(2)用比值判别法，用比值判别法，62(2)(2)和函数和函数 63所以所以于是于是64题型题型5 5：将函数展开成幂级数：将函数展开成幂级数 例例1 1解解65例例2 2解解66解解例例3 3 试将函数试将函数 展开成展开成x的幂级数的幂级数,并指出其收敛域并指出其收敛域.(94.(94三三5)5)所以所以67答案答案:类题类题(03(03四四12)12)68题型题型6 6：其它：其它 例例1 1证证分析：利用收敛级数的必要性来证分析：利用收敛级数的必要性来证.69证证例例2 2(97(97六六8)8)又又70对题设等式两边取极限对题设等式两边取极限,得得 71END