新向量组的线性相关性.pptx
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1、第四章 向量组的线性相关性 4.1 n维向量(一一)定定义义1 n个有次序的数 所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量。分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量。以下除特殊说明外,一般只讨论实向量。n维向量可写成一行,也可写成一列。按第二章的规定,分别称为行向量和列向量,也就是行矩阵和列矩阵,并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。因此,n维列向量 与n维行向量 总看作是两个不同的向量(按定义1,与 应是同一个向量)。4.1 n维向量 列向量用小写字母 等表示,行向量则用等表示,所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当
2、作列向量。在解析几何中,我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量,并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象,在引进坐标系以后,这种向量就有了坐标表示式三个有次序的实数,也就是3维向量,因此当 时,n维向量可以把有向线段作为几何形象,但当 时,n维向量就不再有这种几何形象,只是沿用一些几何术语罢了。(二)(二)n维向量的线性运算(三)(三)n维向量的线性运算满足的性质 4.2 n维向量组的概念 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组。例如一个 矩阵 有n个m维列向量它们组成的向量组 称为矩阵A的列向量组。矩阵A又有m个n维行向量它们组成的向量组 称为矩阵A的行向量组4
3、.2 n维向量组的概念 反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。例如 m个n维列向量所组成的向量组 构成一个 矩阵m个n维行向量所组成的向量组 构成一个 矩阵 可见矩阵与向量组是一一对应的关系。4.3 线性组合的概念定义定义2 给定向量组A:,对于任何一组实数 ,向量称为向量组A的一个线性组合,称为这个线性组合的系数。给定向量组A:和向量 ,如果存在一组数,使则向量 是向量组A的线性组合,这时称向量 能由向量组A线性表示。4.4 向量组等价的概念定定义义3 设有两个向量组A:及B:,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示,若向量组A与向量组B能相互
4、线性表示,则称这两个向量组等价。A:B:A组由B组线性表示 即 (*)4.4 向量组等价的概念 矩阵乘法形式表示即 A=KB(A组由B组线性表示)(*)为列向量组构成矩阵算法形式,(*)也可写成行向量组构成矩阵算法形式 如果A组与B组等价,这里矩阵K可逆 B=K-1A(B组由A组线性表示)即 A=KB而 B=K-1A,A组与B组等价。4.5 向量组的相关性定定义义4 给定向量组A:,如果存在不全为零的数 ,使则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关。向量组A:线性相关,也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。这是因为:如果向量组A线性相关,则有不全为0的数 使 。因 不
5、全为0,不妨设 于是便有 即a1能由 线性表示。4.5 向量组的相关性 如果向量组A中有某个向量能由其余m-1个向量线性表示,不妨设 能由 线性表示,即有使 ,于是因为 这m个数不全为0(至少 ),所以向量组A线性相关。即即 向量组 线性相关 中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。向量组 线性无关 中任何一个向量都不能被其余向量线性表示。4.5 向量组的相关性定理定理2 向量组 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 的秩小于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.例例1 n维向量组 ,称为n维单位坐标向量组,试讨论它的线性相关性。解解 n维单位坐标向量组构成的矩阵是n
6、阶单位矩阵,由 ,知 ,即R(E)等于向量组中向量个数,故由定理2知此向量组线性无关的。例2 已知 ,试讨论向量组及向量组的线性相关性。解解 对矩阵 施加初等行变换变成行阶梯形矩阵,即可同时看出矩阵 及 的秩,利用定理2即可得到结论。可见 ,向量组 线性相关;,向量组 线性无关。例3 已知向量组 线性无关,试证向量组 线性无关 证证 设有 使 即 亦即因 线性无关,故有 由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解 所以向量组 线性无关。4.5 向量组的相关性 线性相关性是向量组的一个重要性质,下面先介绍与之有关的一些简单的结论。定理定理3(1)若向量组A:线性相关,则向量组 B:也线性相关。反言
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