概率论与数理统计期末必备复习资料.pptx
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1、浙江师范大学浙江师范大学 1浙江师范大学浙江师范大学 22.2.事件的运算律事件的运算律交换律交换律:结合律结合律:分配律分配律:对偶律(对偶律(De Morgan德摩根律)德摩根律):减法减法:浙江师范大学浙江师范大学 3 概率概率:做:做n次重复试验,事件次重复试验,事件A发生的次数记为发生的次数记为 ,当当n很大时,若频率很大时,若频率 稳定在常数稳定在常数P附近,则称附近,则称P为随机事件为随机事件A发生的概率,记作发生的概率,记作P(A)=P。概率的公理化定义概率的公理化定义:设:设E是随机试验,是随机试验,S是样本空间,是样本空间,对对E的每个随机事件的每个随机事件A,赋予一个实数
2、,赋予一个实数P(A),若它,若它满足:满足:非负性非负性:规范性规范性:,S为样本空间(必然事件)为样本空间(必然事件)可列可加性可列可加性:若事件:若事件 中中 则则则称则称P(A)为事件为事件A的发生的发生概率概率。浙江师范大学浙江师范大学 4概率的性质概率的性质1.1.有限可加性:有限个两两互斥的事件有限可加性:有限个两两互斥的事件 则则2.2.是是A的对立事件,则的对立事件,则3.3.则则4.4.一一 ,当,当A,B互斥即互斥即 时时5.5.6.6.推广:推广:浙江师范大学浙江师范大学 5预备知识:排列、组合预备知识:排列、组合1.1.分类计数原理分类计数原理(加法原理加法原理):设
3、完成一件事有设完成一件事有k类方类方法,每类分别有法,每类分别有 种方法,则完成这件事种方法,则完成这件事情共有情共有 种方法种方法.2.2.分步计数原理分步计数原理(乘法原理乘法原理):设完成一件事有设完成一件事有k个步个步骤,第一步有骤,第一步有 种方法,种方法,,第第k步有步有 种方法,则种方法,则完成这件事情共有完成这件事情共有 种方法种方法.3.3.排列:排列:从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素,按一定次个元素,按一定次序排成一列序排成一列.排列数:排列数:从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的所有排个元素的所有排列的个数记为列的个数记为注:注:等可能概型(古典
4、概型)等可能概型(古典概型)浙江师范大学浙江师范大学 64.4.组合:组合:从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素并成一组个元素并成一组(与与顺序无关顺序无关).).组合数:从组合数:从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的所有组个元素的所有组合的个数,记为合的个数,记为浙江师范大学浙江师范大学 7等可能概型(古典概型)等可能概型(古典概型)1.1.定义:具有以下性质的随机试验称为等可能概型定义:具有以下性质的随机试验称为等可能概型试验的样本空间的元素只有试验的样本空间的元素只有有限个有限个试验中每个基本事件发生的试验中每个基本事件发生的可能性相同可能性相同2.2.等可能概型中事
5、件概率的计算公式:等可能概型中事件概率的计算公式:n为随机试验的总的结果数,即样本点的总数,为随机试验的总的结果数,即样本点的总数,k为事件为事件A包包含的结果数。含的结果数。浙江师范大学浙江师范大学 81.1.定义定义:事件A已发生的条件下事件B发生的概率,称为条件概率条件概率,记为P(B|A)。例 将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正面的情况,设A=至少有一次为正面H,B=两次掷出同一面,求P(B|A)解:样本空间S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH,B=HH,TT。则可得:P(B|A)1/3条件概率的计算公式条件概率的计算公式:条件概率条件概率浙江师范大学浙江师范大学 9乘法定理
6、乘法定理:设设P(A)0,则有,则有P(AB)=P(B|A)P(A)推广:推广:P(AB)0,则有,则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=P(C|AB)P(B|A)P(A)设设 为为n个事件个事件 ,且,且浙江师范大学浙江师范大学 10全概率公式全概率公式划分划分:设:设S为试验为试验E的样本空间,的样本空间,为为E的一的一组事件,若组事件,若 则称则称 为样本空间为样本空间S的一个划分的一个划分.例例 E:掷骰子观察点数:掷骰子观察点数 是是S的一个划分的一个划分 不是不是S的一个划分的一个划分浙江师范大学浙江师范大学 11全概率公式全概率公式定理定理:设随机试验:设随机试验E的样本空
7、间为的样本空间为S,A为为E的事件的事件.为为S的一个划分,且的一个划分,且 则则 ,称之为,称之为全概率公式全概率公式。注:注:全概率公式给出我们一个用来计算在众多原全概率公式给出我们一个用来计算在众多原因因 的作用下事件的作用下事件A发生概率的方法发生概率的方法.(由因得果由因得果)浙江师范大学浙江师范大学 12贝叶斯公式(贝叶斯公式(由果溯因由果溯因)设设E的样本空间为的样本空间为S,A为为E的事件的事件.为为S的一个划分,且的一个划分,且 ,则则 为为贝叶斯(贝叶斯(Bayes)公式)公式.称称 为为先验概率先验概率;称称 为为后验概率后验概率.浙江师范大学浙江师范大学 13条件概率
8、条件概率小结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式浙江师范大学浙江师范大学 14独立性独立性独立事件独立事件:两事件:两事件A、B,A发生对发生对B发生没有影响,发生没有影响,B发生也对发生也对A没有影响,则称两事件相互独立没有影响,则称两事件相互独立.即即P(A|B)=)=P(A)且且P(B|A)=)=P(B),则,则P(AB)=)=P(A)P(B|A)=)=P(A)P(B)例例 抛甲,乙两枚硬币,抛甲,乙两枚硬币,A=甲出现正面甲出现正面H,B=乙出乙出现正面现正面H,问,问A,B同时发生的概率同时发生的概率.定理定理 四对事件四对事件 中有一对相互独中有一对相互独立,则另
9、外三对也相互独立立,则另外三对也相互独立.独立与互斥的区别独立与互斥的区别:A,B相互独立:相互独立:P(AB)=)=P(A)P(B);A,B互斥:互斥:P(AB)=0)=0。浙江师范大学浙江师范大学 15多个事件的独立多个事件的独立浙江师范大学浙江师范大学 16定义定义 随机试验的结果可以用一个实值变量表示,随机试验的结果可以用一个实值变量表示,这个变量的取值是随机的,但又服从一定的统计规这个变量的取值是随机的,但又服从一定的统计规律性,这种变量称为随机变量,通常用律性,这种变量称为随机变量,通常用X,Y,Z表表示。示。中心问题中心问题:将试验结果数量化:将试验结果数量化随机变量分为离散型和
10、连续型:随机变量分为离散型和连续型:1.1.离散型离散型:X的取值是有限个或可列无限个。的取值是有限个或可列无限个。2.2.连续型连续型:X的取值是连续的。的取值是连续的。esxX=f(e)为S上的单值函数,X为实数 浙江师范大学浙江师范大学 17分布律分布律 称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的分布律分布律,分布律可用列表的方式直观的表示出来,分布律可用列表的方式直观的表示出来X1、写出可能取值即写出了样本点2、写出相应的概率即写出了每一个样本点出现的概率分布律(概率分布)分布律(概率分布)浙江师范大学浙江师范大学 18 0 1 0 1X X1.1.两点分布,又称为两点分布,又称为(0
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