河海大学工程力学平面弯曲3.pptx
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1、1 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第7 7章章平平 面面 弯弯 曲曲7.1梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩7.2剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图7.3 梁横截面上的应力梁横截面上的应力7.4梁的强度梁的强度7.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度2 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲在在平平面面弯弯曲曲的的情情形形下下,梁梁的的轴轴线线将将弯弯曲曲成成平平面面曲曲线线。如如果果变变形形太太大大,也也会会影影响响构构件件正正常常工工作作。因因此此,对对机机器器中中的的零零件件或或部部件件以以及及土土木木工工程程中中的的结结构
2、构构构件件设设计计时时,除除了了满满足足强强度度要要求求外外,还还必必须须满满足足一一定定的的刚刚度度要要求求,即即将将其其变变形形限制在一定的范围内。为此,必须分析和计算梁的变形。限制在一定的范围内。为此,必须分析和计算梁的变形。另另一一方方面面,求求解解超超静静定定梁梁,也也必必须须考考虑虑梁梁的的变变形形以以建立补充方程。建立补充方程。此外,本章变形的有关概念也是学习许多后继课程如此外,本章变形的有关概念也是学习许多后继课程如结构力学、结构动力学、土力学等的基础。结构力学、结构动力学、土力学等的基础。7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度3 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力
3、学 课 程 组 平平面面弯弯曲曲时时,梁梁上上任任意意两两个个横横截截面面绕绕中中性性轴轴转转过过一一定定角角度度,其其轴轴线线变变成成平平面面曲曲线线,称称为为梁梁的的挠曲线。挠挠曲曲线线是是梁梁变变形后各截面形心的连线。形后各截面形心的连线。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度4 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 梁梁在在弯弯曲曲变变形形后后,横横截截面面的的位位置置将将发发生生改改变变,这这种种位位置置的的改改变变称称为为位位移移,包包括括三部分:三部分:铅垂位移,称为铅垂位移,称为挠度挠度,用用 表示,规定表示,规定向下为正
4、向下为正;变变形形前前后后横横截截面面转转过过的的角角度度,称称为为转转角角,用用 表表示示,规定规定顺时针转为正顺时针转为正;轴向位移或水平位移通常忽略不计。轴向位移或水平位移通常忽略不计。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度5 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组其中其中=(x)称为挠度方程,称为挠度方程,=(x)称为转角方程。称为转角方程。从从左左图图中中可可以以看看出出,在在Oxy坐坐标标系系中中,挠挠度度与与转转角角存在下列几何关系存在下列几何关系 在小变形条件下,在小变形条件下,很小,有很小,有tan。于是。于是第第7 7章
5、章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度6 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组弹弹性性范范围围内内曲曲率率与与弯弯矩矩、弯曲刚度之间的关系为弯曲刚度之间的关系为 数学中的曲数学中的曲率计算公式为率计算公式为小挠度情形下小挠度情形下第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度7 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 弹性范围内,梁的挠曲线近似微分方程满足弹性范围内,梁的挠曲线近似微分方程满足式中的正负号与式中的正负号与 坐标正向规定有关。坐标正向规定有关。所以梁的挠曲线近似微分方程应取所以梁的挠曲线近似
6、微分方程应取第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度8 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 对对于于等等截截面面梁梁,写写出出弯弯矩矩方方程程M(x),代代入入上上式式后后,分分别别对对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度与转角方程:作不定积分,得到包含积分常数的挠度与转角方程:其中其中C、D为待定的积分常数。为待定的积分常数。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度9 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组积分法中常数积分法中常数C、D由梁的约束条件与连续条件确定。由梁的约束条件与连续
7、条件确定。约约束束条条件件是是指指约约束束对对于于挠挠度度和和转转角角的的限限制制。在在固固定定铰铰支支座座和和辊辊轴轴支支座座处处,挠挠度度等等于于零零,即即=0;在在固固定定端端处处,挠度和转角都等于零,即挠度和转角都等于零,即=0,0。连连续续条条件件是是指指,梁梁在在弹弹性性范范围围内内加加载载,其其轴轴线线将将弯弯曲曲成成一一条条连连续续光光滑滑曲曲线线,因因此此,在在集集中中力力、集集中中力力偶偶以以及及分分布布载载荷荷间间断断处处,两两侧侧的的挠挠度度、转转角角对对应应相相等等:1=2,1=2。10kNCABBFPAA=0,B=0C1=C2C1=C2B=0B=0第第7 7章章 平
8、面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度10 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组左左端端固固定定右右端端自自由由的的悬悬臂臂梁梁承承受受均均布布载载荷荷。均均布布载载荷荷集集度度为为q,梁梁的的弯弯曲曲刚刚度度为为EI、长长度度为为l。q、EI、l均均已已知知。求求:梁梁的的挠挠度度与与转转角角方方程程,以以及及最最大大挠挠度度和和最最大大转转角。角。1建立建立Oxy坐标系坐标系Ox2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程M(x)FQ(x)【例例7-25】【解】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度11 水 利 土 木 工 程
9、学 院 工 程 力 学 课 程 组3建立微分方程并积分建立微分方程并积分 将上述弯矩方程代入将上述弯矩方程代入挠曲线近似微分方程,得挠曲线近似微分方程,得 4.利用约束条件确定积分常数利用约束条件确定积分常数积分后,得到积分后,得到 固定端处的约束条件为:固定端处的约束条件为:解得:解得:【解】Ox第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度12 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组6确定最大挠度与最大转角确定最大挠度与最大转角 从挠度曲线可以看出,悬臂梁在自由端处,挠度和转角从挠度曲线可以看出,悬臂梁在自由端处,挠度和转角均最大值。于是,将均
10、最大值。于是,将 x=l,分别代入挠度方程与转角方程,分别代入挠度方程与转角方程,得到:得到:5确定挠度与转角方程确定挠度与转角方程Ox【解】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度13 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组图图示示简简支支梁梁已已知知FP、EI、l。求求:点点B的挠度和的挠度和A、C处转角。处转角。1建立弯矩方程建立弯矩方程AB段段 BC段段 【例例7-26】【解】2将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分 第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度14
11、 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组其中,常数其中,常数C1、D1、C2、D2由约束条件和连续条件确定。由约束条件和连续条件确定。积分后,得积分后,得 2将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分【解】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度15 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组3利用约束条件和利用约束条件和连续条件确定积分常数连续条件确定积分常数 约束条件为约束条件为x=0,w1=0;x=l,w2=0 连续条件为连续条件为x=l/4,w1=w2;x=l/4,1=2D1D2=
12、0,【解】代入求解得代入求解得第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度16 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组【解】4.确定挠度和转角确定挠度和转角方程以及点方程以及点B的挠度与转角的挠度与转角 BC段段 AB段段 于是于是第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度17 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组 确定约束力确定约束力,判断是否需要分段以及分几段;,判断是否需要分段以及分几段;分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分
13、常数利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程积 分 法 小 结第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度18 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组叠加原理:叠加原理:多个载荷同时作用于结构而引起的某一参数等于每个载多个载荷同时作用于结构而引起的某一参数等于每个载荷单独作用于结构而引起的该参数的代数和。荷单独作用于结构而引起的该参数的代数和。在在很很多多的的工工程程计计算算手手册册中中,已已将将各各种种支支承承条条件件下下的的静静定
14、定梁梁,在在各各种种典典型型载载荷荷作作用用下下的的挠挠度度和和转转角角表表达达式式一一一一列列出出,简称为挠度表。简称为挠度表。基基于于杆杆件件变变形形后后其其轴轴线线为为一一光光滑滑连连续续曲曲线线和和位位移移是是杆杆件件变变形形累累加加的的结结果果这这两两个个重重要要结结论论,以以及及在在小小变变形形条条件件下下的的力力的的独独立立作作用用原原理理,采采用用叠叠加加法法由由现现有有的的挠挠度度表表可可以以得得到到在在很多复杂情形下梁的位移。很多复杂情形下梁的位移。第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度19 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学
15、课 程 组图图示示简简支支梁梁中中,q、l、EI均均为为已已知知。求求C截截面面的的挠度挠度 C,B截面的转角截面的转角 B。1.将梁上载荷变为右侧所将梁上载荷变为右侧所示示3种简单荷载作用的情形种简单荷载作用的情形【例例7-27】【解】第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.57.5梁的变形与刚度梁的变形与刚度20 水 利 土 木 工 程 学 院 工 程 力 学 课 程 组【解】2.由挠度表查得由挠度表查得3种情形下种情形下C截面的挠度和截面的挠度和B截面的转角截面的转角3.应用叠加法,将简单载荷作应用叠加法,将简单载荷作用时的结果分别叠加用时的结果分别叠加 第第7 7章章 平面弯曲平面弯曲7.
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