方阵的特征值与特征向量.pptx
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1、1第第5.15.1节节 矩阵的特征值矩阵的特征值 与特征向量与特征向量2主要内容主要内容:一、方阵的特征值与特征向量一、方阵的特征值与特征向量二、特征向量的性质二、特征向量的性质三、小结三、小结 思考与练习思考与练习3问题的引入问题的引入:从从前前面面的的学学习习我我们们了了解解到到,一一个个矩矩阵阵乘乘以以一一个个非非零零向向量量,相相当当于于将将此此向向量量做做一一些些平平移移、旋旋转转、伸伸缩缩、推推移移之之后后的的结结果果。因因此此,我我们们想想知知道道是是否否能能找找到到一一个个向向量量,经经过过相相同同的的平平移移、旋旋转转、伸伸缩缩、推推移移之之后后,仍仍保保持持原原来来的的方方
2、向向?在在本本章章中中我我们们将将寻寻找找此此种种向向量量,并并探探讨讨其其所所具具有有的的性性质。质。由一个矩阵由一个矩阵A乘以一个向量乘以一个向量 后,所得到后,所得到的向量仍保持原来的方向,表示存在一个数的向量仍保持原来的方向,表示存在一个数 使得使得 。对于此特殊的向量和这个数,。对于此特殊的向量和这个数,我们给出如下之定义。我们给出如下之定义。4一一.方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义定义定义1:注:注:设设 是是 阶方阵,阶方阵,若数若数 和和 维非零列向量维非零列向量 ,使得,使得成立,则称成立,则称 是方阵是方阵 的一个
3、的一个特征值,特征值,为方阵为方阵 的对应于特征值的对应于特征值 的一个的一个特征向量。特征向量。是方阵是方阵 (2)特征向量特征向量 是非零列向量是非零列向量(Eigenvectors and Eigenvalues)52.特征向量的几何意义:特征向量的几何意义:特征向量的方向经过线性变换后,保持在同一条直线特征向量的方向经过线性变换后,保持在同一条直线上上 ,这时或者方向不变这时或者方向不变 或者方向相反或者方向相反 ,至于至于 时,特征向量就被线性变换变成时,特征向量就被线性变换变成 0.x6 注注:(1)特特征征值值与与特特征征向向量量在在物物理理、力力学学、工工程程技技术术中中有有着
4、着广广泛泛的的应应用用。如如:机机械械、结结构构或或电电磁磁振振动动中中的的固固有有值值问问题题;物物理理学学中中的的各各种种临临界界值值问问题题;方方阵阵的的对对角角化化及及解解微微分分方方程程组组的的问问题题等等。这这些些问问题题中中特特征征值值的的计计算算往往往往意意义义重大。重大。(2)如果如果 是一个不可逆的方阵是一个不可逆的方阵,则线性方程组则线性方程组 有非零解有非零解,即即 故不可逆方阵必有零特征值故不可逆方阵必有零特征值 .(3)一些实际问题中一些实际问题中,常常会涉及到一系列的运算常常会涉及到一系列的运算由特征值和特征向量的关系由特征值和特征向量的关系可以化简这些运算可以化
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