极限运算法则少学时简约型.pptx
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1、 极限理论可分为两个部分,一是极限概念,二是极极限理论可分为两个部分,一是极限概念,二是极限计算。在理解极限概念的基础上,可进一步讨论极限限计算。在理解极限概念的基础上,可进一步讨论极限的计算问题。的计算问题。利用极限与无穷小的关系,由无穷小的代数运利用极限与无穷小的关系,由无穷小的代数运算性算性质可方便地导出极限的四则运算法则。质可方便地导出极限的四则运算法则。利用极限利用极限的四则的四则运算法则可将初等函数的极限运算法则可将初等函数的极限计算问题转化为基本初等函数计算问题转化为基本初等函数的极限计算。从而只需求出基的极限计算。从而只需求出基本初等函数的极限就可计算出本初等函数的极限就可计算
2、出相当一部分初等函数的极限。相当一部分初等函数的极限。如果如果 lim f(x)=A,lim g(x)=B,则则lim f(x)g(x)存在,且有存在,且有 lim f(x)g(x)=AB=lim f(x)lim g(x).定理定理定理定理 1 1 1 1 和的极限运算法则和的极限运算法则和的极限运算法则和的极限运算法则 (1)(1)(1)(1)函数和的极限函数和的极限函数和的极限函数和的极限 因为因为 lim f(x)=A,lim g(x)=B,由极限与无穷小由极限与无穷小的关系有的关系有 f(x)=A+(x),g(x)=B+(x),其中其中 lim (x)=0,lim (x)=0.于是对不
3、受极限号约束的函数形式有于是对不受极限号约束的函数形式有 f(x)g(x)=A+(x)B+(x)=(A B)+(x)(x).由无穷小的代数运算性质知由无穷小的代数运算性质知 (x)(x)也是无也是无穷小。穷小。再由极限与无穷小的关系有再由极限与无穷小的关系有 lim f(x)g(x)=A B=lim f(x)lim g(x).利用极限与无穷小的关系证明利用极限与无穷小的关系证明利用极限与无穷小的关系证明利用极限与无穷小的关系证明 (2)(2)(2)(2)关于定理关于定理关于定理关于定理 1 1 1 1 意义的分析和讨论意义的分析和讨论意义的分析和讨论意义的分析和讨论 对定理对定理对定理对定理
4、1 1 条件的理解条件的理解条件的理解条件的理解 定理定理 1 的条件为,在自变量同一变化过程中,两个的条件为,在自变量同一变化过程中,两个单项极限均存在,即单项极限均存在,即 lim f(x)=A,lim g(x)=B.只有在两个单项极限都存在的条件下,两极限的和只有在两个单项极限都存在的条件下,两极限的和 lim f(x)lim g(x)才有意义。此时才能考虑极限和是才有意义。此时才能考虑极限和是否等于和的极限的问题。反之,若两个单项极限有一个否等于和的极限的问题。反之,若两个单项极限有一个不存在,则极限和不存在,则极限和 lim f(x)lim g(x)没有意义,自然也没有确定结果,但此
5、没有意义,自然也没有确定结果,但此时两函数和的极限时两函数和的极限 lim f(x)g(x)却可以有意义,也可能存在。却可以有意义,也可能存在。定理结论可分为定性和定量的两个部分。定理结论可分为定性和定量的两个部分。定性结论是:和的极限定性结论是:和的极限 lim f(x)g(x)存在。存在。此结论通常用于判别和函数极限的存在性。此结论通常用于判别和函数极限的存在性。定量结论是:和的极限等于极限的和,即定量结论是:和的极限等于极限的和,即 lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x).此结论通常用于和函数极限的计算。此结论通常用于和函数极限的计算。对定理对定理对定理对定理 1 1
6、 结论的理解结论的理解结论的理解结论的理解 由归纳法原理,定理由归纳法原理,定理 1 1 可推广至有限多个函数的和可推广至有限多个函数的和的情形,即的情形,即 如果如果 lim fi(x)=A i,(i=1,2,n),则则 存在,且有存在,且有 需注意的是,定理需注意的是,定理 1 1 的结论的结论不能推广至无穷多个函数和的情不能推广至无穷多个函数和的情形,即无穷多个函数的和的极限形,即无穷多个函数的和的极限未必等于各函数极限的和。未必等于各函数极限的和。定理定理定理定理 1 1 的推广的推广的推广的推广 例:例:求极限求极限 这是这是 n-1 项的和的求极限问题,当项的和的求极限问题,当 n
7、 时,时,就成了就成了无穷多项和的极限问题。无穷多项和的极限问题。对此和式中的任一项对此和式中的任一项 容易求得容易求得有有那么是否有那么是否有三角形面积可近似地表为各小矩形面积之和三角形面积可近似地表为各小矩形面积之和 为应用和的极限运算法则进行计算,可考虑将给为应用和的极限运算法则进行计算,可考虑将给定的无穷和转化为有限和。定的无穷和转化为有限和。因为因为化为有限和进行计算化为有限和进行计算化为有限和进行计算化为有限和进行计算 (3)(3)(3)(3)函数乘积的极限函数乘积的极限函数乘积的极限函数乘积的极限 定理定理定理定理 2 2 2 2 乘积的极限运算法则乘积的极限运算法则乘积的极限运
8、算法则乘积的极限运算法则 如果如果如果如果 lim f(x)=A,lim g(x)=B,则则lim f(x)g(x)存在,且有存在,且有 lim f(x)g(x)=AB=lim f(x)lim g(x).按条件,由极限与无穷小的关系有按条件,由极限与无穷小的关系有 f(x)=A+(x),g(x)=B+(x),其中其中 lim (x)=0,lim (x)=0.对不受极限号约束的函数形式有对不受极限号约束的函数形式有 f(x)g(x)=A+(x)B+(x)=A B+A (x)+B (x)+(x)(x).由无穷小的运算性质知由无穷小的运算性质知 (x)=A (x)+B (x)+(x)(x)为无穷小,
9、为无穷小,故有故有 f(x)g(x)=A B+(x),lim (x)=0.即即 lim f(x)g(x)=A B=lim f(x)lim g(x).利用极限与无穷小的关系进行证明利用极限与无穷小的关系进行证明利用极限与无穷小的关系进行证明利用极限与无穷小的关系进行证明 由归纳法原理,定理由归纳法原理,定理 2 2 可推广至有限多个函数的乘可推广至有限多个函数的乘积的情形,即积的情形,即 如果如果 lim fi(x)=A i,(i=1,2,n),则则 存在,且有存在,且有 需注意的是,定理需注意的是,定理 2 2 不能推不能推广至无穷多个函数的乘积情形,广至无穷多个函数的乘积情形,即无穷多个函数
10、的乘积的极限未即无穷多个函数的乘积的极限未必等于各函数极限的乘积。必等于各函数极限的乘积。定理定理定理定理 2 2 的推广的推广的推广的推广 推论推论推论推论 1 1 1 1幂的极限运算性质幂的极限运算性质幂的极限运算性质幂的极限运算性质 如果如果 lim f(x)存在存在,而,而 n 为正整数,则为正整数,则 lim f(x)n=lim f(x)n.如果如果 lim f(x)存在存在,而,而 C 为常数,则为常数,则 lim C f(x)=C lim f(x).常数可从极限号中提出常数可从极限号中提出常数可从极限号中提出常数可从极限号中提出 推论推论推论推论 2 2 2 2推论推论1 f(x
11、)g(x)推论推论2 g(x)C 对初等函数的讨论,所遇到的幂函数指数常常不对初等函数的讨论,所遇到的幂函数指数常常不一定是正整数,因此推论一定是正整数,因此推论 1 1 的应用会出现一些问题。的应用会出现一些问题。由复合函数的极限运算性质还可得到如下更具一由复合函数的极限运算性质还可得到如下更具一般性的结果:般性的结果:若若 lim f(x)=A 0,则对一切实数,则对一切实数 有有 lim f(x)=lim f(x).(5)(5)(5)(5)函数商的极限函数商的极限函数商的极限函数商的极限 定理定理定理定理 3 3 3 3 商的极限运算法则商的极限运算法则商的极限运算法则商的极限运算法则
12、如果如果 lim f(x)=A,lim g(x)=B,且且 B 0,则则 由极限与无穷小的关系,为证明此商的极限运由极限与无穷小的关系,为证明此商的极限运算法则,可设法证明在自变量的一定趋向下算法则,可设法证明在自变量的一定趋向下 为无穷小。为无穷小。为证为证 (x)为无穷小,首先需使为无穷小,首先需使 (x)有意义,即有意义,即使使 g(x)在在自变量的相应趋向下自变量的相应趋向下没有零点。没有零点。利用极限与无穷小的关系证明利用极限与无穷小的关系证明利用极限与无穷小的关系证明利用极限与无穷小的关系证明 证明证明 x x 0 时的情形。时的情形。因为因为 由局部保号性定理可推出由局部保号性定
13、理可推出,存在存在 1 0 0 ,使得当,使得当 0 x-x 0 1 时时从而当从而当 0 x-x 0 2 0 的的 2,使使得得当当 0 x-x 0 2 时时有有 于是有于是有即即当当 0 x-x 0 0 0 ,使得当,使得当 x X 1 时时从而当从而当 x X 1 时,时,总有意义。总有意义。因为因为 f(x)=A+(x),g(x)=B+(x),其中,其中 由无穷小的性质知,由无穷小的性质知,当当 x 时,时,B(x)+A(x)为无穷小,故要证为无穷小,故要证 (x)为无穷小,只需证为无穷小,只需证在当在当 x 的充分大时的充分大时有界。有界。因为因为当当 x 时,时,(x)为无穷小,由
14、极限定义知为无穷小,由极限定义知 对对 ,存在满足条件,存在满足条件 X 2 X 1 0 的的 X 2,使得使得当当 x X 2 时时有有 于是有于是有即即当当 x X 2 时时 有界。有界。从而当从而当 x 时时 为无穷小。为无穷小。由极限与无穷小的关系知由极限与无穷小的关系知定理定理定理定理 4 4 4 4局部比较定理局部比较定理局部比较定理局部比较定理 如果如果 (x)(x),而,而 lim (x)=a,lim(x)=b,那么那么 a b.如果将定理如果将定理 1 3 理解成在等式两边实施极限理解成在等式两边实施极限运算的条件和规则的话,定理运算的条件和规则的话,定理 4 则可理解成在不
15、等式两则可理解成在不等式两边实施极限运算的条件和规则,即如果边实施极限运算的条件和规则,即如果 (x)(x),而,而 lim (x),lim(x)存在,存在,则可则可在在不等式不等式 (x)(x)两边取极限,且有两边取极限,且有 lim(x)lim (x).利用局部保号性定理进行证明利用局部保号性定理进行证明利用局部保号性定理进行证明利用局部保号性定理进行证明 作辅助函数作辅助函数 f(x)=(x)-(x).由和的极限运算法则有由和的极限运算法则有 lim f(x)=lim (x)-(x)=lim (x)-lim (x)=a-b.由条件知由条件知 f(x)=(x)-(x)0,故由局部保号性定理
16、推论有故由局部保号性定理推论有 lim f(x)0,即有即有 a-b 0,因此,因此 a b.条件条件 (x)(x)仅是局部性的要求,并非要求仅是局部性的要求,并非要求在函数在函数 (x)、(x)的定义域内恒成立,方可在其的定义域内恒成立,方可在其两两边取极限。边取极限。对对 x x 0 的情形,不等式的情形,不等式 (x)(x)仅要求在仅要求在点点x 0 的某空心邻域内成立即可。的某空心邻域内成立即可。对对 x 的情形,不等式的情形,不等式 (x)(x)仅要求对仅要求对某个正数某个正数 X,当,当 x X 时时成立即可。成立即可。对定理对定理对定理对定理 4 4 条件的理解条件的理解条件的理
17、解条件的理解 定理定理 4 4 可理解为在不等式两边取极限的运算条件可理解为在不等式两边取极限的运算条件和规则,需注意的是,若将条件改成和规则,需注意的是,若将条件改成 (x)(x),定理定理结果仍为结果仍为 a b,即即 如果如果 (x)(x),而,而 lim (x)=a,lim(x)=b,那么那么 a b.不能将此定理想当然地推广为不能将此定理想当然地推广为 如果如果 (x)(x),而,而 lim (x)=a,lim(x)=b,那么那么 a b.对定理对定理对定理对定理 4 4 结论的理解结论的理解结论的理解结论的理解 例:例:设设 (x)=x 4+x 2+1,(x)=x 2+1,由极限运
18、算法则容易求得由极限运算法则容易求得 结果分析:结果分析:由给定函数表达式易见,当由给定函数表达式易见,当 x 0 时有时有 x 4+x 2+1=(x)(x)=x 2+1,因此由因此由 (x)(x)只能导出只能导出 lim(x)lim (x).应用极限运算法则进行计算应用极限运算法则进行计算应用极限运算法则进行计算应用极限运算法则进行计算 用极限四则运算法则讨用极限四则运算法则讨论和计算函数极限,首先需论和计算函数极限,首先需注意的是,这些法则都是在一定条件下成立的,应用时注意的是,这些法则都是在一定条件下成立的,应用时应注意考察相应条件是否满足。只有当应注意考察相应条件是否满足。只有当运算法
19、则运算法则条件满条件满足时,才能应用这些法则进行计算。足时,才能应用这些法则进行计算。然而然而,对于某些极限,尽管其不满足对于某些极限,尽管其不满足运算法则的条运算法则的条件,极限却仍可能存在。件,极限却仍可能存在。因此,因此,从计算角度可将极限可分为两从计算角度可将极限可分为两类,一类称之为类,一类称之为“定定式式”,一,一类类称之为称之为“不定式不定式”。所谓所谓“定式定式”就是满足极限运算法则条件的极限式就是满足极限运算法则条件的极限式,而而“不定式不定式”则是指虽不满足极限运算法则条件,但其则是指虽不满足极限运算法则条件,但其极限仍可能存在的那类极限式。极限仍可能存在的那类极限式。对于
20、对于“定式定式”,只需按极限运算法则计算就可以,只需按极限运算法则计算就可以了,而对于了,而对于“不定式不定式”,通常不能直接根据法则计算,通常不能直接根据法则计算,而需先对给定而需先对给定“不定式不定式”进行适当的进行适当的变形或转化,使其满足运算法则条件,变形或转化,使其满足运算法则条件,再考虑按极限运算法则进行计算。再考虑按极限运算法则进行计算。由于由于“定式定式”计算相对简单,计算相对简单,所以极限计算主要研究所以极限计算主要研究“不定式不定式”的计算。的计算。(1)(1)(1)(1)定式极限的计算定式极限的计算定式极限的计算定式极限的计算例:例:求极限求极限 对此三次多项式的极限计算
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