算法合集之浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法.pptx
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1、浅析竞赛中一类数学期望问题浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法的解决方法福建省福州第八中学 汤可因预备知识预备知识什么是数学期望什么是数学期望如果X是一个离散的随机变量,输出值为 x1,x2,.,和输出值相应的概率为p1,p2,.(概率和为1),那么期望值预备知识预备知识全期望公式全期望公式E(Y|X=1)=4E(Y|X=2)=3P(X=2)=0.4P(X=1)=0.6E(Y)=0.43+0.64=3.6引言引言一、利用递推或动态规划解决二、建立线性方程组解决模型例题:First Knight例题:Mario引入模型引入模型给出一张有向图G=(V,E)。顶点i的权值为Wi。给出Pu,v表示顶点
2、u经过边(u,v)到顶点v的概率。若某点i发出边概率和为Pi,那么在顶点i时有1Pi的概率停止行动。定义路径权为这条路径上所有点权之和。问从一个顶点s开始,在每次按照指定的概率走的前提下,到某一顶点停止行动时所走的路径权的期望值。引入模型引入模型例如这张有向图,s=1。W1=W2=W3=1,W4=0。可以看到有两条路径。两条路径权分别为3和2,而走这两条路径的概率均为0.5。所以得到的期望为2.5=0.53+0.52。123410.50.51引入模型引入模型对于这种不存在环的有向图。设Fi表示从顶点i出发的路径权期望。可以分成两类情况。从顶点i出发经过相邻顶点k的路径权期望为Fk+Wi,概率P
3、i,k。停止行动路径权Wi。123410.50.51引入模型引入模型可以得到如下的递推式并按照拓扑序来递推但若将这张有向图稍作修改123410.50.51引入模型引入模型可以得到如下的递推式并按照拓扑序来递推但若将这张有向图稍作修改图存在环。123410.50.51引入模型引入模型所以对于一般的有向图,可以设Fi,j为从顶点i出发,经过j步所走路径的路径权期望。那么有:当j 0时123410.50.51引入模型引入模型所以对于一般的情况,可以设Fi,j为从顶点i出发,经过j步所走路径的路径权期望。那么有:当j 0时若Fi,j当 j时收敛,设收敛于Fi那么答案即为Fs。123410.50.51引
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