经济数学41定积分概念与性质.pptx

一一.定积分定义定积分定义 ESC 4.1 定积分概念与性质定积分概念与性质 二二.定积分的几何意义定积分的几何意义 4.1 定积分概念与性质定积分概念与性质 三三.定积分的性质定积分的性质ESC 一一.定积分定义定积分定义 规则图形规则图形 的面积的面积 矩形的面积矩形的面积=长长 宽宽.长长宽宽高高下下底底上上底底直角梯形的面积直角梯形的面积=中位线中位线,长为长为 直角梯形的面积可用矩形面积计算直角梯形的面积可用矩形面积计算.ESC 一一.定积分定义定积分定义 那么那么,不规则不规则图形的面积图形的面积如何求呢如何求呢?一一.定积分定义定积分定义 用用若若干干条条平平行行于于 轴轴及及 轴轴的的直直线线 将将图图形形分分割割,所所求求面面积积应应为为被被分分割割的的 所所有有小小面面积积之之和和.如如左左图图,将将其其放放入入平平面面直直角角坐坐标标系系中中.我们分析我们分析 :由三条直线和一条曲由三条直线和一条曲 线围成线围成,其中两条直线互相平行其中两条直线互相平行,第三条第三条 直线与这两条直线垂直直线与这两条直线垂直,另一边为曲线另一边为曲线,称这样的图形为曲边梯形称这样的图形为曲边梯形.对对四四周周的的不不规规则则图图形形,面面积积怎怎么么求求?只只要要将将其其求求出出,则则大大的的不不规规则则图图形形面面 积积也也即即求求出出.ESC?求不规则图形求不规则图形 的面积问题的面积问题 其其中中,中中间间部部分分为为矩矩形形,易易求求面面积积.转化为转化为 求曲边梯形求曲边梯形 的面积问题的面积问题ESC 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?将曲边梯形放在平面直角坐标系中将曲边梯形放在平面直角坐标系中,则由连续曲线则由连续曲线称为曲边梯形称为曲边梯形.直线直线和和(即即 轴轴)所围成的平面图形所围成的平面图形=面积面积ESC 一一.定积分定义定积分定义 直直 曲曲 对立对立统一统一按下述程序计算曲边梯形的面积按下述程序计算曲边梯形的面积:在区间在区间 上任意选取分点上任意选取分点 ,每个小区间的长度为每个小区间的长度为其中最长的记作其中最长的记作=分成分成 个个小区间小区间 我们从计算矩形面积出发计算曲边梯形面积我们从计算矩形面积出发计算曲边梯形面积.(1)分割分割分曲边梯形为分曲边梯形为 个小曲边梯形个小曲边梯形 ESC 一一.定积分定义定积分定义 =过每个分点过每个分点 ()作作 轴的垂线轴的垂线,把曲边梯形把曲边梯形分成分成 个窄曲边梯形个窄曲边梯形.(1)分割分割分曲边梯形为分曲边梯形为 个小曲边梯形个小曲边梯形 用用 表示所求表示所求曲边梯形的面积曲边梯形的面积.表示第表示第 个小个小曲边梯形面积曲边梯形面积,则有则有:ESC 一一.定积分定义定积分定义 =(2)近似代替近似代替用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积 在每一个小区间在每一个小区间 上任选一点上任选一点 (),用与用与小曲边梯形同底小曲边梯形同底,以以 为高的小矩形的面积为高的小矩形的面积 近似代近似代替小曲边梯形的面积替小曲边梯形的面积,即即 ESC 一一.定积分定义定积分定义 =(3)求和求和求求 个小矩形面积之和个小矩形面积之和 个小矩形构成的阶梯形的面积是个小矩形构成的阶梯形的面积是 ,这是原曲边这是原曲边梯形面积的一个近似值梯形面积的一个近似值.即即ESC 一一.定积分定义定积分定义 (4)取极限取极限由近似值过渡到精确值由近似值过渡到精确值 分割区间分割区间 的点数越多的点数越多,即即 越大越大,且每个小区间的长度且每个小区间的长度越短越短,即分割越细即分割越细,阶梯形的面积阶梯形的面积,即和数即和数 与曲边梯与曲边梯形面积形面积 的误差越小的误差越小.现将区间现将区间 无限地细无限地细分下去分下去,并使每个小区间的并使每个小区间的长度长度 都趋于零都趋于零,这时这时,和和数的极限就是原曲边梯形数的极限就是原曲边梯形面积的精确值面积的精确值.动态描述阶梯形面积动态描述阶梯形面积 与曲边梯形面积的与曲边梯形面积的 无限接近过程无限接近过程 ESC 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?面积面积(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:A 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:A 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:A 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:A 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例如何求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面积?(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经以下四步经以下四步:ESC 一一.定积分定义定积分定义 案案 例例求得曲边梯形的面积求得曲边梯形的面积:(1)分割分割;(2)近似代替近似代替;(3)求和求和;(4)取极限取极限.经经ESC 一一.定积分定义定积分定义 定义定义4.1 定积分定积分 定义定义 用分点用分点 设函数设函数 在闭区间在闭区间 上有定义上有定义,把区间把区间 分成分成 个小区间个小区间 其长度其长度 并记并记 在每一个小区间在每一个小区间 ()上任选一点上任选一点 ,作乘作乘积的和式积的和式 当当 时时,若上述和式的极限存在若上述和式的极限存在,且这极限与区间且这极限与区间 的分法无关的分法无关,与点与点 的取法无关的取法无关,则称函数则称函数 在在 上是可上是可积的积的,并称此极限值为函数并称此极限值为函数 在在 上的定积分上的定积分,记作记作 即即 ESC 一一.定积分定义定积分定义 积分上限积分上限 积分下限积分下限 被积表达式被积表达式 被积函数被积函数 积分变量积分变量 积分号积分号 称为积分区间称为积分区间.曲边梯形面积是曲边方程曲边梯形面积是曲边方程在区间在区间 上的定积分上的定积分,即即ESC 一一.定积分定义定积分定义 积分上限积分上限 1.定积分定积分 是一个数值是一个数值,该数值取决于被积函数该数值取决于被积函数 和积分区间和积分区间 ,与积分变量无关与积分变量无关,即即 积分下限积分下限 注意注意2.交换定积分的上下限交换定积分的上下限,定积分变号定积分变号,即即特别地特别地,有有ESC 一一.定积分定义定积分定义 3.3.可以证明：如果在区间上可可以证明：如果在区间上可积，则在区间上有界，即函数积，则在区间上有界，即函数有界是其可积的必要条件有界是其可积的必要条件这一结论也可以叙述为：如果函数这一结论也可以叙述为：如果函数在区间上无界，则在上不可积在区间上无界，则在上不可积4 4.可积的充分条件可积的充分条件:，且只有有限个第一类，且只有有限个第一类函数函数 在在 上连续上连续在在 上可积。上可积。函数函数 在在 上有界上有界在在 上可积。上可积。间断点间断点ESC 一一.定积分定义定积分定义 例例1 1 下列函数在区间下列函数在区间-1,1-1,1上不可积的是（上不可积的是（）解：选解：选在区间在区间-1,1-1,1 上有上有无穷型间断点无穷型间断点 即无界。即无界。学生思考：为什么选项学生思考：为什么选项 中的中的函数在区间函数在区间-1,1-1,1 上可积。上可积。ESC 二二.定积分的几何意义定积分的几何意义 特别地特别地,在区间在区间 上上,若若则则由定积分的定义知由定积分的定义知面积面积 二二.定积分的几何意义定积分的几何意义 在区间在区间 上上,若若ESC 二二.定积分的几何意义定积分的几何意义 则图中阴影部则图中阴影部分的面积为分的面积为若若有正有负有正有负,在区间在区间 上上,ESC 二二.定积分的几何意义定积分的几何意义 例例2 2ESC用几何图形说明下列等式成立用几何图形说明下列等式成立:(1)(1)由定积分的几何意义由定积分的几何意义,该面该面积就是作为曲边的函数积就是作为曲边的函数 在区间在区间 上的定积分上的定积分,即即上半单位圆的面积为上半单位圆的面积为解解 二二.定积分的几何意义定积分的几何意义 ESC(2)解解 (2)由定积分的几何意义由定积分的几何意义,该面积该面积就是作为直线的函数就是作为直线的函数 在区在区间间 上的定积分上的定积分,即即该三角形的面积为该三角形的面积为 三三.定积分的性质定积分的性质 性质性质1 1ESC常数因子常数因子 可提到积分符号前可提到积分符号前 性质性质2 2代数和的积分等于积分的代数和代数和的积分等于积分的代数和 例例3 3ESC解解 计算定积分计算定积分由上述定积分的性质及例由上述定积分的性质及例2,有有 由性质由性质2 由性质由性质1 由例由例2(1)(2)三三.定积分的性质定积分的性质 三三.定积分的性质定积分的性质 ESC 对任意三个数对任意三个数总有总有(1)当当 时时,由定积分的几何意义可知由定积分的几何意义可知 曲边梯形曲边梯形 的面积的面积=曲边梯形曲边梯形 的面积的面积+曲边梯形曲边梯形 的面积的面积.即即 性质性质3(3(定积分对积分区间的可加性定积分对积分区间的可加性)三三.定积分的性质定积分的性质 性质性质3(3(定积分对积分区间的可加性定积分对积分区间的可加性)对任意三个数对任意三个数总有总有(2)当当 时时,由前一种情形由前一种情形,应有应有 移项移项,有有 交换上交换上下限下限,有有 ESC其他其他情形情形可类可类似推似推出出.例例4 4ESC用几何图形说明下列等式成立用几何图形说明下列等式成立:解解 三三.定积分的性质定积分的性质 (1)(1)由定积分对区间的可加性知由定积分对区间的可加性知 面积面积 由定积分的由定积分的几何意义几何意义 =故故 奇函数奇函数 ESC解解 三三.定积分的性质定积分的性质 (2)由定积分对区间的可加性知由定积分对区间的可加性知 面积面积 由定积分的由定积分的几何意义几何意义 =故故 (2)偶函数偶函数 三三.定积分的性质定积分的性质 ESC则则结论结论则则(1)若若 是奇函数是奇函数,即即设函数设函数 在对称区间在对称区间 上连续上连续,(2)若若 是偶函数是偶函数,即即 三三.定积分的性质定积分的性质 ESC性质性质4(4(比较性质比较性质)若函数若函数 和和 在闭区间在闭区间 上总有上总有 则则由图由图,两个曲边梯形的面积有关系两个曲边梯形的面积有关系:的面积的面积的面积的面积=例例5 5ESC比较下列积分值的大小比较下列积分值的大小:解解 三三.定积分的性质定积分的性质 (1)与与由定积分的比较性质由定积分的比较性质(1)在区间在区间 上上,因因,ESC解解 三三.定积分的性质定积分的性质 由定积分的比较性质由定积分的比较性质(2)在区间在区间 上上,因因,(2)与与ESC 三三.定积分的性质定积分的性质 性质性质5 5（估值定理）（估值定理）如果函数在如果函数在上有最大值和上有最大值和 最小值，则最小值，则性质性质6(6(积分中值定理积分中值定理)如果函数在区间如果函数在区间上连续，则在内至少有一点，使得上连续，则在内至少有一点，使得，(5.1.1)(5.1.1)ESC 三三.定积分的性质定积分的性质 这一性质的几何意义是这一性质的几何意义是:由曲线，轴和直由曲线，轴和直线线 ，所围成的曲边，所围成的曲边梯形面积等于区间上某梯形面积等于区间上某个矩形的面积，这个矩形的个矩形的面积，这个矩形的底是区间，其高为区间底是区间，其高为区间内某一点处的函数值内某一点处的函数值 .ESC 三三.定积分的性质定积分的性质 由由(5.1.1)(5.1.1)式得到的式得到的，称为函数在区间上的平均值称为函数在区间上的平均值例例已知需求函数为已知需求函数为 试求出在区间平均试求出在区间平均 价格的表示式价格的表示式.（单位：元）（单位：元）ESC 三三.定积分的性质定积分的性质 解解 在区间平均价格记为，则在区间平均价格记为，则 例例估计估计 的值的值.解解 令令 =，求导得，求导得 .令令 ，得，得ESC三三.定积分的性质定积分的性质所以所以 .ESC 内容小结内容小结1.定积分的定义定积分的定义 乘积和式的极限乘积和式的极限近似计算近似计算矩形公式矩形公式 梯形公式梯形公式3.定积分的性质定积分的性质4.积分中值定理积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式连续函数在区间上的平均值公式2.定积分的几何意义定积分的几何意义ESC 课堂练习课堂练习 1.比较下列定积分的大小比较下列定积分的大小2.计算下列定积分计算下列定积分ESC课堂练习课堂练习（4）设）设 是上的连续函数，计算：是上的连续函数，计算：.用定积分的几何意义，判别下列不等式成立否？用定积分的几何意义，判别下列不等式成立否？（）在区间上，若（）在区间上，若则则ESC课堂练习课堂练习（）在区间上，若（）在区间上，若.用几何图形说明下列各式对否？用几何图形说明下列各式对否？ESC 布置作业布置作业 .不计算积分，比较下列定积分的大小不计算积分，比较下列定积分的大小.估计下列定积分的值估计下列定积分的值.求函数在区间上的平均值。求函数在区间上的平均值。