经济数学34函数最大值与最小值.pptx

ESC 3.4 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 在资源一定的情况下在资源一定的情况下,要求效益最佳的问题要求效益最佳的问题 是最大值问题是最大值问题 实际中实际中 而在效益一定的情况下而在效益一定的情况下,要要求所消耗的资源最少的问题求所消耗的资源最少的问题 是最小值问题是最小值问题 何谓最大值何谓最大值?最小值最小值?ESC最大值与最小值的定义最大值与最小值的定义 或或设函数设函数 在区间在区间 上上,若若则称则称 是函数是函数 在区间在区间或或分别记作分别记作上的最大值或最小值上的最大值或最小值,且对该区间内一切且对该区间内一切 ,有有由最大值与最小值的定义知由最大值与最小值的定义知最大值与最小值统称最值最大值与最小值统称最值.一一 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 ESC 极值极值1.函数的极值是仅就函数函数的极值是仅就函数 有定义的区间内某有定义的区间内某一点一点 的邻近的邻近,即在局部范即在局部范围内比较函数值的大小围内比较函数值的大小,故故2.一个函数在一个区间上一个函数在一个区间上可以有几个极大值和极小可以有几个极大值和极小值值.3.极值只能在区间内部取极值只能在区间内部取得得.1.而函数的最值是函数而函数的最值是函数 在所考察的区间在所考察的区间上比较函数值的大小上比较函数值的大小,故故必有必有2.一个函数在一个区间上一个函数在一个区间上只能有一个最大值和最小只能有一个最大值和最小值值.3.最值可在区间内部取得最值可在区间内部取得,也可在区间端点处取得也可在区间端点处取得.区别区别 最值最值 若在区间内部求函数的最值若在区间内部求函数的最值,则只能在函数的极值中寻找则只能在函数的极值中寻找.特别是在解极值应用问题时特别是在解极值应用问题时,常常是下述情况常常是下述情况:联系联系 一一 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 若函数若函数 在区间在区间 内仅内仅有一个极大值而没有极小值有一个极大值而没有极小值,则则该极大值就是函数在该区间内该极大值就是函数在该区间内的最大值的最大值.若函数若函数 在区间在区间 内仅内仅有一个极小值而没有极大值有一个极小值而没有极大值,则则该极小值就是函数在该区间内该极小值就是函数在该区间内的最小值的最小值.极大值极大值 最大值最大值 极小值极小值 最小值最小值 ESC 一一 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 ESC 一一 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 对于一个闭区间上的连续函数对于一个闭区间上的连续函数,它的它的最大值、最小值只能在极值点或端点上取得最大值、最小值只能在极值点或端点上取得因此因此,只要求出函数的所有极值和端点值，只要求出函数的所有极值和端点值，它们之中最大的就是最大值，最小的就是最小它们之中最大的就是最大值，最小的就是最小值值.ESC 一一 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 求最大值和最小值的方法如下：求最大值和最小值的方法如下：求出在内的所有驻点和一阶求出在内的所有驻点和一阶导数不存在的连续点，并计算各点的函数值导数不存在的连续点，并计算各点的函数值.求出端点的函数值和求出端点的函数值和.比较前面求出的所有函数值，其中最比较前面求出的所有函数值，其中最大的就是在上的最大值大的就是在上的最大值,最小的最小的就是在上的最小值就是在上的最小值.ESC 一一 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 例例1 1求函数求函数在上的最大值与最小值在上的最大值与最小值.解解令，解得令，解得 ，计算出，计算出，再算出，再算出，ESC 一一 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 比较这五个函数值，得出在比较这五个函数值，得出在上的最大值为，最小值为上的最大值为，最小值为.ESC 一一 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 例例2 2求函数在求函数在上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解解，令，解得，令，解得，计算出，计算出，再算出，再算出，比较这五个函数值，得出在比较这五个函数值，得出在 上上的最大值为的最大值为 ，最小值为，最小值为.ESC 一一 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 例例3 3求函数在求函数在上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解解，令，解得，令，解得，计算出，计算出，再计算出，再计算出，ESC 一一 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 比较以上三个函数值得出比较以上三个函数值得出 在在 上的最大值为上的最大值为 ，最小值为，最小值为 .事实上，有，故是单事实上，有，故是单调增加的，单调函数的最大值和最小值都发调增加的，单调函数的最大值和最小值都发生在区间的端点处生在区间的端点处.ESC 一一 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 特别值得指出的是：特别值得指出的是：在一个区间在一个区间(有有界或无界，开或闭界或无界，开或闭 )内可导且只有一个驻点内可导且只有一个驻点，并且这个驻点是的唯一极值点，那，并且这个驻点是的唯一极值点，那么，当是极大值时，就是在该么，当是极大值时，就是在该区间上的最大值；当是极小值时，区间上的最大值；当是极小值时，就是在该区间上的最小值在应用问题就是在该区间上的最小值在应用问题中往往遇到这样的情形这时可以当作极值中往往遇到这样的情形这时可以当作极值问题来解决，不必与区间的端点值相比较问题来解决，不必与区间的端点值相比较ESC(1)分析问题分析问题,建立目标函数建立目标函数:解最大值与最小值实际应用问题的程序解最大值与最小值实际应用问题的程序(3)作出结论作出结论:按实际问题按实际问题 的要求给出的要求给出 结论结论.在充分理解题意的基础上在充分理解题意的基础上,设出自变量与因变量设出自变量与因变量.一般地一般地,是把是把问题的目标问题的目标,即要求的量作为因变量即要求的量作为因变量,把它所依赖的量作为自变把它所依赖的量作为自变量量,建立二者的函数关系建立二者的函数关系,即目标函数即目标函数,并确定该函数的定义域并确定该函数的定义域;(2)解极值问题解极值问题:应用极值知识应用极值知识,求目标函数的求目标函数的 最大值或最小值最大值或最小值;二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 1.1.最大利润问题最大利润问题例例4 4某厂生产某种产品，其固定成本为某厂生产某种产品，其固定成本为3 3万元，每生产一百件产品，成本增加万元，每生产一百件产品，成本增加2 2万元万元其总收入其总收入(单位：万元单位：万元)是产量是产量(单单位：百件位：百件)的函数的函数.，求达到最大利润时的产量求达到最大利润时的产量ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 解解利润函数为利润函数为，所以当时，函数取，所以当时，函数取得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最大值点大值点.，令，得令，得 (百件百件).).即产量为即产量为300300件时取得最大利润件时取得最大利润.ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 2.2.最小成本问题最小成本问题例例5 5 已知某个企业的成本函数为已知某个企业的成本函数为，其中成本其中成本(单位：千元单位：千元)，产量，产量(单位：吨单位：吨)，求平均可变成本，求平均可变成本(单位：千单位：千元元)的最小值的最小值ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 解解平均可变成本平均可变成本，令，得令，得(吨吨).).ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 ，所以时，取得，所以时，取得极小值，由于是唯一的极值，所以就是最小极小值，由于是唯一的极值，所以就是最小值值(千元千元).).即产量为即产量为4.54.5吨时，平均可变成本取得最吨时，平均可变成本取得最小值小值9 7509 750元元.ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 3 3最大收益问题最大收益问题 例例6 6 一家工厂生产一种成套的电器维修工一家工厂生产一种成套的电器维修工具，厂家规定，订购套数不超过具，厂家规定，订购套数不超过300300套，每套售套，每套售价价400400元；若订购套数超过元；若订购套数超过300300套，每超过一套套，每超过一套可以少付可以少付1 1元问怎样的订购数量，才能使工厂元问怎样的订购数量，才能使工厂销售收入最大？销售收入最大？ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 解解 设订购套数为设订购套数为 ，销售收入为，销售收入为 ；当订购套数超过；当订购套数超过300300套时，每套售套时，每套售价为价为那么，当订购套数不超过那么，当订购套数不超过300300套时，每套售价为套时，每套售价为 即工具每套售价为即工具每套售价为由此可得总收入函数由此可得总收入函数 为为 ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 因为因为 令令 ，得驻点，得驻点 ；且；且 是不可导点是不可导点 当当 时，时，；ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 当当 时，时，；所以由定理所以由定理3.23.2知，知，不是极值点，不是极值点，是极大值点，也是最大值点即工是极大值点，也是最大值点即工厂经营者若想获得最大销售收入，应该将订厂经营者若想获得最大销售收入，应该将订购套数控制在购套数控制在350350套套ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 (成批到货成批到货,一致需求一致需求,不许缺货的库存模型不许缺货的库存模型)(1)工厂生产总量为工厂生产总量为(2)分批投产分批投产,每次投产数量每次投产数量,即批量为即批量为(3)每批生产准备费为每批生产准备费为 (4)每件产品的库存费为每件产品的库存费为 ,且按批量的一且按批量的一 半半,即即 收取库存费收取库存费;(5)存货总费用是生产准备费与库存费之和存货总费用是生产准备费与库存费之和,记作记作 我们的问题是我们的问题是:如何决策每批的生产数量如何决策每批的生产数量,即批量即批量 ,以使存货总费用以使存货总费用 取最小值取最小值 假设假设 前提前提 4 4存货总费用最少存货总费用最少ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 依假设依假设,在一个计划期内在一个计划期内 库存费库存费=每件产品的库存费每件产品的库存费 批量的一半批量的一半=生产准备费生产准备费=每批生产准备费每批生产准备费 生产批数生产批数=于是于是,存货总费用存货总费用 与批量与批量 的函数关系为的函数关系为 实际上实际上,上式中的上式中的 取区间取区间 中中 的整数因的整数因子子.ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 例例7 7 某工厂每年需要某种原料某工厂每年需要某种原料100100万吨，且万吨，且对该种原料的消耗是均匀的已知该原料每吨的对该种原料的消耗是均匀的已知该原料每吨的年库存费是年库存费是0.05 0.05 元，分期分批均匀进货，每次元，分期分批均匀进货，每次进货的费用为进货的费用为10001000元试求最经济的订货批量和元试求最经济的订货批量和年订货总次数年订货总次数ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 解解 设每次订货批量为设每次订货批量为x（万吨），则平均（万吨），则平均库存量为库存量为 总库存费用为总库存费用为 E1 1=0.050.05 10000=10000=250 250 x 一年进货总次数为一年进货总次数为 ，于是采购费用为，于是采购费用为 E2 2=1000=1000=一年内的库存费用与采购费用之和为一年内的库存费用与采购费用之和为 E=E1+E2=250 x+ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 且且 令令 ，得，得 =20 20（万吨）（万吨）=-20-20（舍去）（舍去）又又 故故 =20 20是极小值点所以每批进货是极小值点所以每批进货2020吨，吨，可使两种费用之和最小，即可使两种费用之和最小，即 =20 20是最经济是最经济的订货批量的订货批量 ESC 二、最大值与最小值在经济中的应用二、最大值与最小值在经济中的应用 每年进货次数为：每年进货次数为：n=5(5(次次)ESC 内容小结内容小结本节重点讲了：本节重点讲了：1.连续函数的最值连续函数的最值最值点应在极值点和边界点上找最值点应在极值点和边界点上找;2.最大值与最小值在经济中的应用最大值与最小值在经济中的应用 1.利润最大利润最大 2.平均成本最低平均成本最低 3.收益最大收益最大 4.存货总费用最少存货总费用最少 ESC 课堂练习课堂练习 1.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值求下列函数在给定区间上的最大值与最小值2.设某企业的利润函数为设某企业的利润函数为求使利润最大的产量求使利润最大的产量 .ESC 课堂练习课堂练习 3.设某厂每天生产某种产品设某厂每天生产某种产品 单位时的总单位时的总成本函数为成本函数为问每天生产多少单位的产品时，其平均成本问每天生产多少单位的产品时，其平均成本最低。最低。4.某个体户以每条某个体户以每条1010元的价格进一批牛仔裤，元的价格进一批牛仔裤，设此牛仔裤的需求函数为设此牛仔裤的需求函数为 问该个体问该个体户将销售价定为多少时，才能获得最大利润？户将销售价定为多少时，才能获得最大利润？ESC 课堂练习课堂练习5.某厂生产某种产品某厂生产某种产品 个单位时，其销售收个单位时，其销售收入为入为 ，成本函数为，成本函数为 求使利润达到最大时的产量求使利润达到最大时的产量 .应用题答案应用题答案ESC 布置作业布置作业P51 习题习题3.1 2（2）（）（3）P65 复习题复习题 3、4