复习-一等价.pptx

复习复习一、等价一、等价 A 中每个向量都可由中每个向量都可由B线性表示线性表示A可由可由B线性表示线性表示A与与B可以互相线性表示可以互相线性表示ABA与与B等价等价等价关系等价关系任一向量任一向量“突出突出”于其余于其余 n 1 个向量生成的个向量生成的“空间空间”之外之外B 对应方程组的对应方程组的解都是解都是A 的解的解其任一向量都不能由其余的向量线性表出其任一向量都不能由其余的向量线性表出向量组向量组 A与与B 等价等价 对应的方程组同解对应的方程组同解二、二、线性相关、线性无关线性相关、线性无关三、线性组合与线性相关的关系三、线性组合与线性相关的关系三个简单性质三个简单性质四、线性相关性的判定四、线性相关性的判定整体与部分整体与部分接长维数接长维数维数与个数维数与个数注注1n个个n 维向量线性无关维向量线性无关 m个个n 维向量线性无关维向量线性无关注注2注注3若若 K 为满秩阵，则为满秩阵，则 方程组方程组向量组向量组矩阵矩阵 (I)线性运算线性运算？初等变换、初等方阵初等变换、初等方阵秩秩 s R(K)s r 你能举个你能举个反例吗？反例吗？推论推论1 等价向量组的秩相等。等价向量组的秩相等。例例6 n必须注意：必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。有相同秩的两个向量组不一定等价。例例7 证明任意两个线性无关的等价向量组所含向量证明任意两个线性无关的等价向量组所含向量 个数相等。个数相等。仅等价结论不成立仅等价结论不成立设有两个向量组设有两个向量组证证例例8这是个非常有用的结论这是个非常有用的结论 推论推论2证证定理定理5的矩阵的矩阵表达形式表达形式关于秩的非常重要的不等式！关于秩的非常重要的不等式！用向量组解决矩阵问题用向量组解决矩阵问题的一个很典型的例子的一个很典型的例子推论推论3若向量组若向量组 A 的部分组的部分组 B 满足：满足：(1)向量组向量组 B 线性无关线性无关;(2)向量组向量组 A 能由向量组能由向量组 B 线性表示线性表示;则向量组则向量组 B 是向量组是向量组 A 的一个最大无关组。的一个最大无关组。证证设向量组设向量组 B 含有含有 r 个向量个向量,则则 R(B)=r.由条件由条件(2)及定理及定理 5 知知 R(A)r，向量组向量组 A 中的任意中的任意 r+1 个向量线性相关个向量线性相关,B 是是 A 的最大无关组。的最大无关组。最大无关组定义的最大无关组定义的等价形式等价形式(2)(ii)(ii)(2)(ii)小结小结1.最大无关组最大无关组2.秩秩3.求秩和最大无关组求秩和最大无关组最大性最大性无关性无关性不唯一，但所含不唯一，但所含向量个数唯一向量个数唯一Th5可被线性表出的可被线性表出的秩小秩小 向量组的秩向量组的秩=矩阵的秩矩阵的秩=行秩行秩=列秩列秩两等价的线性无关两等价的线性无关向量组含向量个数相同向量组含向量个数相同 任任n+1个线性相关个线性相关 再添一个就线性相关再添一个就线性相关 A能由能由A 线性表示线性表示简单性质简单性质等价组等秩等价组等秩与最大无关组等价的与最大无关组等价的线性无关组也是最大无关组线性无关组也是最大无关组例例9(P.109 例例6)设向量组设向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，线性表示，证明向量组证明向量组 A 与与B 等价等价.证一证一 （只需证向量组（只需证向量组 A 能由向量组能由向量组 B 线性表示）线性表示）设设R(A)(B)r,向量组向量组 A0能由能由B0 线性表示线性表示 向量组向量组 A 能由能由B 线性表示线性表示 向量组向量组 A 与与B等价等价且且R(A)R(B),证二证二设同上，并考察向量组设同上，并考察向量组(A,B)，向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，线性表示，向量组向量组(A,B)也能由也能由向量组向量组 A 线性表示，线性表示，又向量组又向量组 A 是向量组是向量组(A,B)的部分组，的部分组，向量组向量组A也能由也能由向量组向量组(A,B)线性表示，线性表示，向量组向量组A与与向量组向量组(A,B)等价，等价，R(A,B)=r,又向量组又向量组 R(B)=r,B 的最大无关组的最大无关组 B1 是向量组是向量组(A,B)的极大无关组，的极大无关组，同理同理,A的最大无关组的最大无关组A1也是向量组也是向量组(A,B)的极大无关组，的极大无关组，向量组向量组 A1与与B1等价等价,向量组向量组 A 与向量组与向量组 B 等价。等价。证极大无关组证极大无关组等价等价例例10(P.110 例例7)证一证一证二证二列变换列变换 证三证三