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习题课习题课 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质1.静电平衡条件:导体内部场强处处为零，导 体表面上的场强垂直于该点表面。推论：1）整个导体是等势体，表面是等势面。2）导体内部电荷体密度为零，电荷只分布表面。2.在静电平衡条件下，导体上的电荷分布:1)实心导体实心导体:(不论导体是否带电不论导体是否带电,不论导体是否在外电场中）不论导体是否在外电场中）导体内部没有导体内部没有净净电荷电荷,电荷只能分布在导体电荷只能分布在导体表面表面上。上。2）空腔导体：）空腔导体：腔内腔内无无电荷时电荷时-电荷只分布在外表面上；电荷只分布在外表面上；腔内腔内有有电荷时电荷时-腔体内表面电荷与腔内电荷腔体内表面电荷与腔内电荷 等值异号等值异号。一、静电场中的导体3）导体表面电荷密度与场强关系）导体表面电荷密度与场强关系：3.电容和电容器平行平板电容器 同心球电容器 同轴圆柱形电容器等效电容:串联等效电容并联等效电容充有电介质充有电介质(r),则则二、静电场中的电介质1.电介质对电场的影响:2.电介质中的高斯定律电位移矢量电位移矢量在各向同性线性介质中在各向同性线性介质中:当均匀介质充满电场全部空间当均匀介质充满电场全部空间,或分界面是等势面时或分界面是等势面时:三、静电场能量1、电容器能量2、静电场能量(A)F/q0比比P点处原先的场强值大点处原先的场强值大(B)F/q0.小小(C)F/q0等于原先等于原先P点处的场强值点处的场强值(D)无法确定无法确定例例1 带负电的大导体附近带负电的大导体附近P点有点有试验电荷试验电荷q0，测，测得得q0受力为受力为F,若电量若电量q0不是足够小，则：不是足够小，则：-+q0P 例例2 不带电金属球壳内外半径不带电金属球壳内外半径R1和和R2,今在球心今在球心处放点电荷处放点电荷q,则球壳的电势则球壳的电势?q-q+q Pr q Pr答：答：E内内=0，降低为，降低为 0,右，负右，负思考：比较思考：比较-q,导导？例例4 金属球金属球(+Q),与金属球壳与金属球壳(r1,r2)同心，取同心，取 为电势零点，则壳内为电势零点，则壳内P点点的的E=_,=_Qr1r2r P答：答：例例3 负电荷负电荷(-q)移近不带电导体移近不带电导体A，则该导体内则该导体内E_,导体电势导体电势_.此此时若导体接地，则导体上时若导体接地，则导体上_端端_电荷入地。电荷入地。(-q 导导 R1)的两个同心的两个同心导体薄球壳，分别带有电荷导体薄球壳，分别带有电荷Q1和和Q2，今将，今将内球壳用细导线与远处半径为内球壳用细导线与远处半径为r的导体球相的导体球相联，如图所示联，如图所示,导体球原来不带电，试求相导体球原来不带电，试求相联后导体球所带电荷联后导体球所带电荷q解：设导体球带电解：设导体球带电q，取无穷远处为电势零点，取无穷远处为电势零点，则则 导体球电势导体球电势 内球壳电势：内球壳电势：二者等电势，即二者等电势，即 解得解得 例例7 如图所示，一封闭的导体壳如图所示，一封闭的导体壳A内有两个导体内有两个导体B和和CA、C不带电，不带电，B带正电，则带正电，则A、B、C三导体三导体的电势的电势UA、UB、UC的大小关系是的大小关系是 (A)UA=UB=UC (B)UB UA=UC (C)UB UC UA (D)UB UA UC(C)例例8 两个同心薄金属球壳，半径分别为两个同心薄金属球壳，半径分别为R1和和R2(R2 R1)，若分别带上电荷，若分别带上电荷q1和和q2，则两，则两者的电势分别为者的电势分别为U1和和U2 (选无穷远处为电势零选无穷远处为电势零点点)现用导线将两球壳相连接，则它们的电势现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为为 (A)U1 (B)U2 (C)U1+U2 (D)(B)例例9 金属球壳金属球壳(q,R),(1)壳内真空壳内真空,壳外电介质壳外电介质(),则此球壳的电势则此球壳的电势 1？(2)壳外真空壳外真空,壳内电介质壳内电介质(),则此球壳的电势则此球壳的电势 2？解解:(1)(2)同理同理qq例例10 平行板电容器，平行板电容器，解：解：1 当当Q不变不变(充电后断电充电后断电),则则d 时时,U,E,C,W如何变化如何变化？2 当当U不变不变(接上电源接上电源),则则d 时时,U,E,C,W如何变化？如何变化？1 Q不变不变E不变；不变；2 U不变不变,d，则，则E ，Q ，W=(QU)/2 d 时时，则，则U ，C=(Q/U)，W=(QU)/2 例例11 一平行板电容器，上极板固定，下极一平行板电容器，上极板固定，下极板悬空，极板面积为板悬空，极板面积为S，间距为，间距为d，极板质，极板质量为量为m，问：当电容器两极板间加多大电，问：当电容器两极板间加多大电压时，下极板才能保持平衡？（忽略边缘压时，下极板才能保持平衡？（忽略边缘效应）效应）例例12 平行板电容器平行板电容器1 当当Q不变不变(充电后断电充电后断电),插入插入(r)时时,U,E,C,W如何变化如何变化?2 当当U不变不变(接上电源接上电源),插入插入(r)时时,U,E,C,W如何变化如何变化?C r解：解：E=(U/d),W=(QU)/2 2 C=rC0 ,U不变，故不变，故Q=CU 1 C=rC0 ,Q不变，故不变，故U=(Q/C),W=(QU)/2 ,E=U/d(不变不变)可见可见:有电介质时，介质内部的有电介质时，介质内部的E未必未必都减都减弱为真空中的弱为真空中的(1/r)，要看前提条件是什么！要看前提条件是什么！例例13 两相同电容器两相同电容器C1,C2，串联后与电源相连，串联后与电源相连，C1中插入电介质，则：中插入电介质，则：rC1C2(A)C总总(C)U1 U2(B)Q1 Q2(D)W总总 解解:(A)(B)串联，则串联，则Q1=Q2=Q，且都且都(C)Q1=Q2=Q，由，由U=Q/C，得得U1 1 感应电荷在球心处的场强感应电荷在球心处的场强?此时球心的电势此时球心的电势?2 2 若球接地若球接地,则球上净电荷？则球上净电荷？11球表面球表面,等量异号等量异号q q,2 2 球接地，则球接地，则 球球=O O=0=0+q+q-q-q球心处球心处:ROr q(P109/4.4)(P109/4.4)例17 平行板电容器一半充满介质，一半为空气，当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质点（m、-q）平衡在空气区域中。此后，若把电介质抽去，则该质点如何运动?计计1 球壳球壳(内径内径a,外径外径b,带电带电Q),内腔有点电荷内腔有点电荷(q,距球心距球心r)，设设 =0.求求:1 球壳内外表面电荷球壳内外表面电荷.3 O点总电势点总电势.2 球壳内表面电荷在球壳内表面电荷在O处所产生的处所产生的.qOrab1 内内:-q;外：外：Q+q32方法：已知带电体电势电势迭加原理 计计2 单芯电缆单芯电缆,电缆芯半径电缆芯半径r r1 1=1515mmmm，铅包皮的内，铅包皮的内半径半径r r2 25050mmmm。其间充满电介质。其间充满电介质(r r=2.3=2.3)电缆芯电缆芯与铅包皮间电压与铅包皮间电压U U1212600600v v,求：长求：长l1 1kmkm的电缆的电缆中储存的静电能？中储存的静电能？r r1 1r r2 2 解解1：可将电缆视为圆柱形电容器可将电缆视为圆柱形电容器解解2：场能公式场能公式drl(1)(1)(2)(2)计计3 一平行板电容器中有两层厚度分别为一平行板电容器中有两层厚度分别为 d1 和和d2，相对介电常数分别为，相对介电常数分别为 和和 的电介质，的电介质，极板面积为极板面积为 S，求该电容器的电容。，求该电容器的电容。解解:设两极板带电量分别为设两极板带电量分别为+q0 和和 q0，设自由电荷面密度为设自由电荷面密度为和和两层介质中的场强分别为两层介质中的场强分别为 E1 和和 E2，s作正圆柱形高斯面，有：作正圆柱形高斯面，有：方法一：电容定义式方法一：电容定义式两极板间电势差为：两极板间电势差为：电容为：电容为：方法二：电容串并联方法二：电容串并联 可看成两个电容的串连可看成两个电容的串连s串联等效电容串联等效电容计计4 两块平行金属板间原为真空两块平行金属板间原为真空,分别带上等分别带上等量异号电荷量异号电荷 ，这时两板间电压，这时两板间电压 保保持两板上电量不变，将板间一半空间充以持两板上电量不变，将板间一半空间充以 的电介质，求的电介质，求:（1）板间有介质和无介质处的）板间有介质和无介质处的 D，E 和板上自由电荷密度和板上自由电荷密度;（2）板间电压变为板间电压变为多少？电介质上、下表面束缚电荷面密度多大多少？电介质上、下表面束缚电荷面密度多大?Sd解解 插入介质前电容器电容为插入介质前电容器电容为:插入介质相当于两电容器并联插入介质相当于两电容器并联:(1)求板左右求板左右D，E 和和:Sd又由又由-(1)得得-(2)两式联立两式联立由介质中高斯定律由介质中高斯定律:插入介质前插入介质前,有有插入介质后插入介质后:以及以及得得Sd(2)有介质时有介质时U和和证明题：证明题：有两块有两块“无限大无限大”带电导体平板平行放带电导体平板平行放置试证明：静电平衡时置试证明：静电平衡时 1相向两面的电荷面密度总是大小相等、符号相向两面的电荷面密度总是大小相等、符号相反的；相反的；2相背两面的电荷面密度总是大小相等、符号相背两面的电荷面密度总是大小相等、符号相同的相同的