最小二乘快速横向滤波.pptx
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1、 由已知的 来估计 ,这时,横向滤波器的输出是 的最小二乘估计 ,即滤波方程为 (3.4.125)其中,采用前加窗法时的数据矩阵 由于最小二乘横向滤波器的权矢量由下式决定:(3.4.126)定义横向滤波算子(又称横向滤波器的投影矩阵):(3.4.127)则式(3.4.126)可写成 (3.4.128)上式表明,权矢量 是横向滤波算子 各行矢量与 的内积.将式(3.4.128)代入式(3.4.125),可得 (3.4.129)估计误差矢量为 (3.4.130)式中,和 分别是数据子空间 的投影矩阵和正交投影矩阵。利用单位现时矢量 ,可求出误差矢量 的当前分量:(3.4.131)(2)前向预测误差
2、滤波器 最小二乘前向预测器是用 时刻以前相继的 个数据,对该时刻的 做最小二乘估计,即 (3.4.132)在最小二乘意义下,预测系数(权系数)矢量的最佳解为引入横向滤波算子 (3.4.133)考虑到数据子空间 的投影矩阵:因此得到 (3.4.134)式(3.4.134)表明,用横向滤波算子 作用于数据矢量 ,便可求出最小二乘前向预测系数矢量 (即最佳权矢量).最小二乘前向预测误差矢量为 (3.4.135)其当前分量为 (3.4.136)根据前向线性预测滤波器的输入输出关系,上式还可表示为(3.4.137)预测误差能量为(3.4.138)(3)后向预测误差滤波器 最小二乘后向预测器,是利用 时刻
3、以后的 个相继数据 ,向后一步预测 即延时数据 .根据上节分析,的最小二乘后向预测矢量为 (3.4.139)在最小二乘意义下,后向预测系数(权系数)矢量的最佳解为引入横向滤波算子 (3.4.140)考虑到子空间 的投影矩阵因此得到 (3.4.141)(3.4.142)式(3.4.141)表明,用横向滤波算子 作用于延时数据矢量 ,便可求出最小二乘后向预测系数矢量 (即最佳权矢量).最小二乘后向预测误差矢量为 (3.4.143)其当前分量为 (3.4.144)误差能量为 (3.4.145)(4)增益滤波器 a)什么是增益滤波器?确切而言,增益滤波器实际是关于角参量的滤波器.现以图3.4.9所示的
4、一维数据空间为例予以说明.设 时刻的数据子空间为 ,时刻的数据子空间为 ,两者之间的夹角为 ,角参量为 (3.4.146)若一维子空间 的投影矩阵为 ,单位现时矢量 在上投影为 ,令 (3.4.147)很明显,矢量 就是 对 的最小二乘估计.如果把这种估计看成是 通过一个最小二乘滤波器的输出,则 便是这个最佳滤波器的增益(即最小二乘滤波器系数),因此,把该滤波器称为增益滤波器.图3.4.9 最小二乘增益滤波器的几何说明b)估计误差矢量与角参量 在上述情况下,由 对 进行最小二乘估计的误差矢量为 (3.4.148)式中,是对 的正交投影矩阵.由角参量的定义可知,的当前分量等于该时刻的角参量 (3
5、.4.149)将式(3.4.148)代入上式,得即 (3.4.150)参见华中教材p83,式(3.186):由上式得到 (3.4.151)可以看出,增益滤波器的增益 与 一样,也是两个子空间 与 之间夹角的一种度量.c)维情况 这时,数据子空间为 ,相应的投影矩阵为 ,将一维的式(3.4.147)推广,得 (3.4.152)式中,称为增益滤波器的增益矢量(或系数矢量,权矢量).上式两边同乘以 ,可进一步得到 (3.4.153)其中,是增益滤波器的横向滤波算子.上式说明,增益矢量可以通过 作用于单位现时矢量 来得到.维时的角参量为 (3.4.154)式中,(3.4.155)小结小结 由上得到4种
6、滤波器的权矢量(或预测系数矢量,增益矢量)的计算公式:最小二乘横向滤波器 前向预测误差滤波器 后向预测误差滤波器 增益滤波器 以上权矢量的时间更新,皆归结为相应的横向滤波算子的时间更新问题.wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到2.横向滤波算子的时间更新横向滤波算子的时间更新(1)子空间 的横向滤波算子 的更新 设 是 (行)(列)数据矩阵,则横向滤波算子定义为又设:列矢量;由 的 个列矢量张成的 维子空间;的投影矩阵;对 的正交投影矩阵;将
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