223向量共线定理解析.pptx
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1、2.2.3向量的数乘运算1.1.向量加法的向量加法的三角形法则三角形法则作法:在平面中任取在平面中任取一点一点O,O,o回顾旧知回顾旧知:过过O作作OA=a过过A作作AB=b则则OB=a+b.a+bbaA如图如图,已知向量已知向量a a和向量和向量b b,作向量作向量a a+b b.bBa首首尾尾相相接接首首尾尾连连2.向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则作法:在平面中任取一点在平面中任取一点O,o以以OA,OBOA,OB为边作为边作平行四边形平行四边形C如图如图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a+b.baaAbB过过O作作OA=a过过O O作作OB=OB=b ba
2、+b则对角线则对角线OC=OC=a+ba+b共起点共起点3.向量的减法向量的减法(三角形法则)三角形法则)如图如图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a-b.ab作法作法:在平面中任取一点在平面中任取一点o o,过过O O作作OA=OA=a a过过O O作作OB=OB=b boaAbB则则BA=BA=a-ba-ba-b共起点共起点实际背景探索探索1:aC CaA AB BaOO-aQQ-aMMN N-aP P已知非零向量已知非零向量 a(如图)(如图)a试作出:试作出:a+a+a 和和(-a)+(-a)+(-a)根据向量加法根据向量加法的法则可得的法则可得 思考思考:相同向量相加以
3、后,相同向量相加以后,和的长度与方向有什么变化?和的长度与方向有什么变化?OABC 由图可知,向量由图可知,向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把我们把a+a+a记记作作3 a,即,即OC=3a.显然,显然,3a的方向与的方向与a的方向相同,的方向相同,3a 的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍,即倍,即|3a|=3|a|.PQMN由图可知,由图可知,PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a),把,把(-a)+(-a)+(-a)记作记作-3 a,即,即PN=-3a显然,显然,-3a的方向与的方向与a的方向相反,的方向相反,-3a的的长度是长度是a的长度的的长度的3倍,即倍,
4、即|-3a|=3|a|。(1 1)一般地,我们规定实数一般地,我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量,这种运算叫做个向量,这种运算叫做向量的数乘向量的数乘,记作,记作 ,它的长度和方向规定如下它的长度和方向规定如下:(2 2)当)当 时,时,的方向与的方向与 的方向相同;的方向相同;当当 时,时,的方向与的方向与 的方向相反。的方向相反。特别的,特别的,当当 时,时,思考思考:向量数乘和实数乘法有那些相同点向量数乘和实数乘法有那些相同点?那些不同点那些不同点?a 是一个向量;是一个向量;a 的长度等于的长度等于 的的绝对值与向量绝对值与向量a的长度的长度的乘积。的乘积。1、实数与向量
5、积的定义实数与向量积的定义=2、实数与向量积的运算律实数与向量积的运算律根据定义,求作向量根据定义,求作向量3(2a)和和(6a)(a为非零向量为非零向量),并进行比较。并进行比较。2、实数与向量积的运算律实数与向量积的运算律2、实数与向量积的运算律实数与向量积的运算律ABCDEADE2、实数与向量积的运算律实数与向量积的运算律结合律结合律分配分配律律分配分配律律逆运算逆运算设设 为实数,那么为实数,那么特别的,我们有特别的,我们有 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算.对于任意向量对于任意向量 ,以及任意实数,以及任意实数 ,恒有恒有例例1.计
6、算:计算:注注:向量与实数:向量与实数之间可以像多项之间可以像多项式一样进行运算式一样进行运算.练习解:解:DC=AB=a BC=BD+DC =(AD-AB)+DC =b-a+a=b-a MN=DN-DM=a-b-a=a-bDANMCB例例1:梯形梯形ABCD,且,且|AB|=2|DC|M、N分别为分别为DC、AB中点。中点。AB=a AD=b 用用a,b表示表示DC、BC、MN。巩固练习巩固练习:设设D D、E E、F F分别是分别是 ABCABC的边的边BCBC、CACA、ABAB上的点上的点,且且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,CE
7、=(1/4)CA.CE=(1/4)CA.若记若记AB=m,CA=n.AB=m,CA=n.试用试用m,nm,n表示表示DEDE、EFEF、FDFDA AB BC CD DE EF F思考思考:问题问题2:如果:如果 向量向量a与与b共线共线 那么,那么,b=a?问题问题1:如果:如果 b=a,那么,向量那么,向量a与与b是否共线?是否共线?对于向量对于向量 a(a0),b,以及实数,以及实数,3.向量共线定理向量共线定理 反过来,已知向量反过来,已知向量a与与b共线,共线,a 0,且向,且向量量b的长度是向量的长度是向量a的的倍,即倍,即|b|a|=,那,那么么当向量当向量a与与b同向同向时,有
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