误差理论与平差原则.pptx
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1、第一节 偶然误差的统计规律1 1、描述偶然误差分布的三种方法、描述偶然误差分布的三种方法1 1)列表法)列表法误差区间误差区间为负值的为负值的为正值的为正值的个数个数 i i相对个数个数相对个数个数 i i/n/n个数个数 i i相对个数个数相对个数个数 i i/n/n0.0-0.50.0-0.51231230.1580.1581161160.1490.1490.5-1.00.5-1.099990.1270.12798980.1250.1251.0-1.51.0-1.572720.0920.09274740.0950.095和和3933930.5030.5033883880.4970.497相
2、同条件下,对测区781个三角形内角进行观测,求出内角和的真误差第一节 偶然误差的统计规律1 1、描述偶然误差分布的三种方法、描述偶然误差分布的三种方法2 2)绘图法)绘图法第一节 偶然误差的统计规律1 1、描述偶然误差分布的三种方法、描述偶然误差分布的三种方法3 3)密度函数法)密度函数法第一节 偶然误差的统计规律2 2、偶然误差的分布特性、偶然误差的分布特性(1 1)有界性:)有界性:uu在一定的观测条件下,误差的绝对值不会超过一定的限值,在一定的观测条件下,误差的绝对值不会超过一定的限值,或偶然误差的绝对值大于某个值的概率为零。或偶然误差的绝对值大于某个值的概率为零。(2 2)聚中性:)聚
3、中性:uu绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大(3 3)对称性:)对称性:uu绝对值相等的正负误差出现的概率相等绝对值相等的正负误差出现的概率相等(4 4)抵偿性:)抵偿性:uu偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0 0第一节 偶然误差的统计规律3 3、由偶然误差特性引出的两个测量依据、由偶然误差特性引出的两个测量依据制定测量限差的依据制定测量限差的依据uu依据偶然误差的有界性,在实际工作中可根据观测条件确定依据偶然误差的有界性,在实际工作中可根据观测条件确定一个误差限值,若
4、观测值的误差绝对值小于该限值,认为观一个误差限值,若观测值的误差绝对值小于该限值,认为观测值符合要求,否则应剔除或重测。测值符合要求,否则应剔除或重测。判断系统误差(粗差)的依据判断系统误差(粗差)的依据uu依据抵偿性,若误差的理论平均值不为零,且数值较大,说依据抵偿性,若误差的理论平均值不为零,且数值较大,说明观测成果中含有系统误差和粗差。明观测成果中含有系统误差和粗差。第二节 衡量精度的指标1 1、精度、精度定义:定义:uu误差分布的密集或离散的程度。误差分布的密集或离散的程度。uu若两组观测成果的误差分布相同,便是两组观测成果的精度若两组观测成果的误差分布相同,便是两组观测成果的精度相同
5、;反之,若误差分布不同,则精度也就不同。相同;反之,若误差分布不同,则精度也就不同。uu所谓精度高低,是对不同观测组而言。对于同一组的若干个所谓精度高低,是对不同观测组而言。对于同一组的若干个观测值,因对应于同一种误差分布,故每个观测值的精度都观测值,因对应于同一种误差分布,故每个观测值的精度都相同。相同。uu在相同观测条件下进行的一组观测,每一观测值都称为等精在相同观测条件下进行的一组观测,每一观测值都称为等精度观测值。度观测值。第二节 衡量精度的指标1 1、精度、精度精确精确准确准确第二节 衡量精度的指标2 2、衡量精度的指标、衡量精度的指标1 1)方差)方差uu设有一组同精度的独立观测值
6、,其相应的一组真误差为设有一组同精度的独立观测值,其相应的一组真误差为1 1、2 2、n n,则独立误差平方的平均值的极限为该组观测值,则独立误差平方的平均值的极限为该组观测值的方差。的方差。2 2)中误差)中误差uu方差的算术平方根(统计学称为标准差),恒为正。方差的算术平方根(统计学称为标准差),恒为正。第二节 衡量精度的指标2 2、衡量精度的指标、衡量精度的指标上述公式都是在上述公式都是在 情况下定义的,实际工作中,情况下定义的,实际工作中,观测次数不能无限多,一般只能得到方差和中误差的观测次数不能无限多,一般只能得到方差和中误差的估计值:估计值:第二节 衡量精度的指标例题例题某测区的某
7、测区的1616个三角形内角和的误差如下,试求三角形个三角形内角和的误差如下,试求三角形内角和中误差。内角和中误差。-5.2+3.10.0-0.2+1.1-1.7+0.1+1.2-0.6+2.2-3.2+1.4-0.8+1.0-0.2+1.0第二节 衡量精度的指标练习练习 设设有有一一列列等等精精度度观观测测值值的的真真误误差差为为:+0.22+0.22,-0.42-0.42,+0.12+0.12,-0.32-0.32,+0.65+0.65,+0.81+0.81,-0.45-0.45,-0.67-0.67,-0.74-0.74,+0.90+0.90。试试求求其中误差。其中误差。第二节 衡量精度的
8、指标练习练习为了鉴定经纬仪的精度,对已知的水平角为了鉴定经纬仪的精度,对已知的水平角(=(=4545 0000 0000)作了作了1212次观测,其结果为:次观测,其结果为:45 00 06,44 59 55,44 59 58,45 00 04,45 00 0345 00 06,44 59 55,44 59 58,45 00 04,45 00 0345 00 04,45 00 00,44 59 58,44 59 59,44 59 59 45 00 04,45 00 00,44 59 58,44 59 59,44 59 59 45 00 0645 00 06,45 00 0345 00 03假设
9、无误差,试求观测值的中误差。假设无误差,试求观测值的中误差。第二节 衡量精度的指标观测值方差的估算方法观测值方差的估算方法1 1)当真值或理论值已知时)当真值或理论值已知时2 2)当真值未知时)当真值未知时第二节 衡量精度的指标练习练习 在测站在测站D D上用经纬仪分别观测了三个方向上用经纬仪分别观测了三个方向A A、B B、C C,得,得1010个测回的方向观测读数个测回的方向观测读数a a、b b、c c,试估算各个方向观测,试估算各个方向观测值的方差。值的方差。abc2847294718196950343420352818333317353524313518303116292925322
10、71932321837第二节 衡量精度的指标2 2、衡量精度的指标、衡量精度的指标3 3)极限误差)极限误差uu绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为31.7%31.7%;绝对值;绝对值大于二倍中误差的观测误差出现的概率为大于二倍中误差的观测误差出现的概率为4.5%4.5%;绝对值大于;绝对值大于三倍中误差的观测误差出现的概率仅为三倍中误差的观测误差出现的概率仅为0.3%0.3%。uu观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因此,实际工观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因此,实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限,称为极限误差。作中通常以三倍中
11、误差作为观测误差的极限,称为极限误差。若对观测要求较严,也可规定两倍中误差为极限误差。若对观测要求较严,也可规定两倍中误差为极限误差。第二节 衡量精度的指标练习练习有一段距离,其观测值及其中误差为有一段距离,其观测值及其中误差为345.675345.675m m 1515m mm m,试估计这个观测值的真误差实际可能出现的试估计这个观测值的真误差实际可能出现的范围是多少范围是多少?求出该观测值的相对中误差。求出该观测值的相对中误差。第二节 衡量精度的指标2 2、衡量精度的指标、衡量精度的指标4 4)相对误差)相对误差uu观测值的误差与观测值之比,称为相对误差观测值的误差与观测值之比,称为相对误
12、差uu相对误差是衡量单位长度的精度,是个无名数,在测量中经相对误差是衡量单位长度的精度,是个无名数,在测量中经常将分子化为常将分子化为1 1,分母化为整数,分母化为整数N N,即用,即用 表示。表示。uu一般来说,当观测误差随着观测量的大小而变化时,用相对一般来说,当观测误差随着观测量的大小而变化时,用相对误差来描述其精度。误差来描述其精度。uu相对真误差、相对中误差、相对极限误差相对真误差、相对中误差、相对极限误差uu为了与相对误差区别,真误差、中误差和极限误差统称为绝为了与相对误差区别,真误差、中误差和极限误差统称为绝对误差。对误差。第二节 衡量精度的指标练习练习 已知已知S S1 1=3
13、00.445m=300.445m 4.5cm,4.5cm,S S2 2=660.844m=660.844m 4.5cm4.5cm,试试说明:它们的真误差是否相等?它们的最大误差是否说明:它们的真误差是否相等?它们的最大误差是否相等?它们的精度是否相等?它们的相对误差是否相相等?它们的精度是否相等?它们的相对误差是否相等?等?第三节 观测向量的精度1 1、观测量间的协方差、观测量间的协方差当观测量之间不再误差独立时当观测量之间不再误差独立时,观测量观测量L Li i和和L Lj j之间的误之间的误差相关差相关,描述这种相关程度的指标是协方差描述这种相关程度的指标是协方差 ,表示观测值表示观测值L
14、 Li i和和L Lj j不相关不相关,即相互独立即相互独立 ,表示观测值表示观测值L Li i和和L Lj j相关相关,不相互独立不相互独立第三节 观测向量的精度|协方差的估算1)当真值已知时2)当真值未知时第三节 观测向量的精度|练习 试估算三个方向观测值a、b、c之间的协方差。a b c-2.3-0.41.22.70.62.2-3.3-1.40.21.7-2.42.23.74.6-1.83.7-1.4-2.8-0.3-3.4-3.8-2.35.6-0.8-4.3-0.4-0.80.7-1.44.2abc2847294718196950343420352818333317353524313
15、51830311629292532271932321837第三节 观测向量的精度2 2、观测向量的方差阵、观测向量的方差阵观测向量:观测向量:uu若观测值有若观测值有L L1 1、L L2 2、L Ln n个,可将它们表示成一个向量个,可将它们表示成一个向量L=L=(L L1 1,L,L2 2,L Ln n)T T方差阵方差阵D DLLLLuu观测向量的精度一般用方差矩阵观测向量的精度一般用方差矩阵D DLLLL表示表示uuD DLLLL中既有各个观测向量的方差,表示其中既有各个观测向量的方差,表示其 精度,也有观测量之间的协方差,表示精度,也有观测量之间的协方差,表示 观测值之间的误差相关关
16、系。观测值之间的误差相关关系。第三节 观测向量的精度2 2、观测向量的方差阵、观测向量的方差阵uu主对角线上的元素为相应观测值的方差,其余元素为两个主对角线上的元素为相应观测值的方差,其余元素为两个观测值的协方差观测值的协方差uu如果观测向量相互均不相关,则所有非对角线元素为零如果观测向量相互均不相关,则所有非对角线元素为零第三节 观测向量的精度|练习第三节 观测向量的精度|练习第四节 误差传播律实际工作中,往往会遇到某些量的大小不是直接测实际工作中,往往会遇到某些量的大小不是直接测定,而是由观测值通过一定的函数关系计算出来的,定,而是由观测值通过一定的函数关系计算出来的,即常常遇到的某些量是
17、观测值的函数。即常常遇到的某些量是观测值的函数。观测值函数的中误差与观测值的中误差之间,观测值函数的中误差与观测值的中误差之间,存在着怎样的关系?存在着怎样的关系?中误差可由相应的方差开方得到,所以可通过方差中误差可由相应的方差开方得到,所以可通过方差和协方差的运算规律来导出。和协方差的运算规律来导出。第四节 误差传播律|1、线性函数 若观测值间独立,则函数的方差为:若观测值间不独立,则函数的方差为:第四节 误差传播律|1、线性函数 第四节 误差传播律|1、线性函数 第四节 误差传播律|1、线性函数倍乘函数和(差)函数 1、观测量独立时?2、n个独立观测量?3、各观测值精度相同时?第四节 误差
18、传播律|练习 在1:500的图上,量得某两点的距离d=20.5mm,d的量测中误差 ,求该两点实地距离S及其中误差。第四节 误差传播律|例题 如图所示,观测了、三个角度,已知其中误差分别为12、24、24,求角度的中误差。第四节 误差传播律例题 用钢尺分五段测量某距离,得到各段距离及其相应用钢尺分五段测量某距离,得到各段距离及其相应的中误差如下,试求该距离的中误差如下,试求该距离S S的中误差及相对中误差的中误差及相对中误差。S S1 1=50.350=50.350mm 1.5mm 1.5mm S S2 2=1 150.50.5 55 55m5m 2.5mm 2.5mm S S3 3=1010
19、0.0.6 65050mm 2.0mm2.0mm S S4 4=10100.0.4 45050mm 2.0mm 2.0mm S S5 5=50.=50.455m455m 1.5mm 1.5mm 第四节 误差传播律例题例题 同精度观测三角形的三个内角同精度观测三角形的三个内角L L1 1、L L2 2、L L3 3,其相应,其相应中误差为中误差为,且观测值之间相互独立。试求:三角形闭,且观测值之间相互独立。试求:三角形闭合差合差 的中误差;将闭合差平均分配后角的中误差;将闭合差平均分配后角A A的中误差。的中误差。第四节 误差传播律练习练习 导线的转折角的中误差为导线的转折角的中误差为 求方位角
20、求方位角 的中误差。的中误差。第四节 误差传播律练习练习 随机向量随机向量L L的协方差阵为:的协方差阵为:求求 的方差。的方差。第四节 误差传播律|练习 第四节 误差传播律|2、一般函数第四节 误差传播律例题例题 已知长方形的厂房,经过测量,其长已知长方形的厂房,经过测量,其长x x的观测值为的观测值为90m90m,宽,宽y y观测值为观测值为50m50m,中误差分别为,中误差分别为2mm2mm、3mm3mm,求其面积及相应的中误差。求其面积及相应的中误差。第四节 误差传播律练习练习 已知观测值已知观测值L L1 1、L L2 2的中误差的中误差 1 1=2 2=,1212=0=0,设设X
21、X=2=2 L L1 1+5,+5,Y Y=L L1 1-2 -2 L L2 2,Z Z=L L1 1 L L2 2,t t=X X+Y Y,试求,试求X X、Y Y、Z Z和和t t的中误差。的中误差。第四节 误差传播律练习练习 设有观测值向量设有观测值向量L=LL=L1 1 L L2 2 L L3 3 T T,其协方差阵为,其协方差阵为试分别求下列函数的方差:试分别求下列函数的方差:F F1 1=L=L1 1-3L-3L3 3;F F2 2=3L=3L2 2L L3 3第四节 误差传播律练习练习 由已知点由已知点A A丈量距离丈量距离S S并测量坐标方位角,借以计并测量坐标方位角,借以计算
22、算P P点的坐标。观测值及中误差为点的坐标。观测值及中误差为S=127.00m0.03mS=127.00m0.03m,=30002.5,=30002.5,设设A A点坐标无误差,试求待定点点坐标无误差,试求待定点P P的点的点位中误差位中误差P P。第四节 误差传播律第四节 误差传播律练习练习设测得导线边长设测得导线边长 ,坐标方位角坐标方位角 ,试求纵横坐标增量,试求纵横坐标增量 的中误差。的中误差。第四节 误差传播律多个观测向量线性函数的方差阵多个观测向量线性函数的方差阵若观测向量的多个线性函数为:若观测向量的多个线性函数为:于是,观测向量的多个线性函数可写为于是,观测向量的多个线性函数可
23、写为Z=KX+KZ=KX+K0 0方差为:方差为:第四节 误差传播律多个观测向量线性函数的方差阵多个观测向量线性函数的方差阵若还有观测向量的另外若还有观测向量的另外r r个线性函数:个线性函数:第四节 误差传播律练习练习设有观测值向量设有观测值向量L=LL=L1 1 L L2 2 L L3 3 T T,其协方差阵为,其协方差阵为现有函数现有函数 1 1=L=L1 1L L2 2;2 2=2L=2L1 1-L-L3 3,试求函数的方差,试求函数的方差D D 1 1、D D 2 2和互协方和互协方差差D D 1 1 2 2第五节 误差传播律在测量中的应用1 1、水准测量的精度、水准测量的精度设经过
24、设经过n n个测站测定个测站测定A A、B B两水准点间的高差,且第两水准点间的高差,且第i i站站的观测高差为的观测高差为h hi i,则,则A A、B B两点的总高差两点的总高差h hABAB为:为:h hABAB=h h1 1+h h2 2+.+.+h hn n设各测站观测高差的精度相同,其中误差为设各测站观测高差的精度相同,其中误差为 站站,则:,则:第五节 误差传播律在测量中的应用1 1、水准测量的精度、水准测量的精度若水准路线布设在平坦地区,则各测站的距离若水准路线布设在平坦地区,则各测站的距离s s大致大致相等,令相等,令A A、B B两点间的距离为两点间的距离为S S,测站数,
25、测站数 ,则,则如果如果S S及及s s均以公里为单位,则均以公里为单位,则 表示单位距离表示单位距离(1km)(1km)的测站数,的测站数,就是单位距离观测高差的中误差。就是单位距离观测高差的中误差。第五节 误差传播律在测量中的应用1 1、水准测量的精度、水准测量的精度当各测站高差的观测精度相同时,水准测量中高差的当各测站高差的观测精度相同时,水准测量中高差的中误差与测站数的平方根成正比中误差与测站数的平方根成正比当各测站的距离大致相等时,水准测量中高差的中误当各测站的距离大致相等时,水准测量中高差的中误差与距离的平方根成正比差与距离的平方根成正比第五节 误差传播律在测量中的应用练习练习 在
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- 误差 理论 原则
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