机构学与机器人学6机器人的动力学.pptx

分分析析机机器器人人操操作作的的动动态态数数学学模模型型，主主要要采采用用下下列列两种理论：两种理论：（1 1）动力学基本理论，包括牛顿）动力学基本理论，包括牛顿-欧拉方程。欧拉方程。（2 2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程。）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程。拉拉格格朗朗日日函函数数L L被被定定义义为为系系统统的的动动能能K K和和位位能能P P之之差差，即即:（4.14.1）其中，其中，K K和和P P可以用任何方便的坐标来表示。可以用任何方便的坐标来表示。第1页/共50页系统动力学方程式，即拉格朗日方程如下：系统动力学方程式，即拉格朗日方程如下：（4.24.2）式中，式中，为表示动能和位能的坐标，为表示动能和位能的坐标，速度，而速度，而 为相应的为相应的Fi是力或是力矩，由是力或是力矩，由qi为直线坐标或角坐标所决定。为直线坐标或角坐标所决定。这些力、力矩和坐标称为广义力、广义力矩和广义坐这些力、力矩和坐标称为广义力、广义力矩和广义坐标，标，n为连杆数目。为连杆数目。Fi为作用在第为作用在第i个坐标上的力或是力矩。个坐标上的力或是力矩。第2页/共50页4.1.1 刚体的动能与位能刚体的动能与位能 在在理理论论力力学学或或物物理理力力学学部部分分，曾曾对对如如图图4.1所所示示的的一一般般物物体体平平动动时时所所具具有有的的动动能能和和位位能能进进行行过过计计算，其求法是大家所熟悉的，如下：算，其求法是大家所熟悉的，如下：第3页/共50页式式中中，表表示示物物体体所所具具有有的的动动能能K、位位能能P，所所消消耗耗的的能能量量D和和外外力力所所做做的的功功W；M0和和M1为为支支架架和和运运动动物物体体的的质质量量；x0和和x1为为运运动动坐坐标标；g为为重重力力加加速速度度；k为为弹弹簧簧虎虎克克系系数数；c为为摩摩擦擦系系数数；F为为外外施施作用力。作用力。对于这一问题，存在两种情况。对于这一问题，存在两种情况。1、为广义坐标为广义坐标第4页/共50页其中，左式第一项为动能随速度（或角速度）和其中，左式第一项为动能随速度（或角速度）和时间的变化；第二项为动能随位置（或角度）的时间的变化；第二项为动能随位置（或角度）的变化；第三项为能耗随速度的变化；第四项为位变化；第三项为能耗随速度的变化；第四项为位能随位置的变化。右式为实际外加力或力矩。代能随位置的变化。右式为实际外加力或力矩。代入相应各项的表达式，并化简可得入相应各项的表达式，并化简可得:第5页/共50页表示为一般形式为表示为一般形式为:即为所求即为所求x0=0时的动力学方程式。其中，左式三时的动力学方程式。其中，左式三项分别表示物体的加速度、阻力和弹力，而右式项分别表示物体的加速度、阻力和弹力，而右式两项分别表示外加作用力和重力。两项分别表示外加作用力和重力。第6页/共50页2、均为广义坐标均为广义坐标这时有下式这时有下式:或用矩阵形式表示为或用矩阵形式表示为:第7页/共50页 下下面面来来考考虑虑二二连连杆杆机机械械手手（见见图图4.2）的的动动能能和和位位能能。这这种种运运动动机机构构具具有有开开式式运运动动链链，与与复复摆摆运运动动有有许许多多相相似似之之处处。图图中中，T1和和T2为为转转矩矩，m1和和m2为为连连杆杆1和和连连杆杆2的的质质量量，且且以以连连杆杆末末端端的的点点质质量量表表示示；d1和和d2分分别别为为两两连连杆杆的的长长度度，1和和2为为广广义义坐坐标标；g为重力加速度。为重力加速度。第8页/共50页先计算连杆先计算连杆1的动能的动能K1和位能和位能P1。因为。因为:，所以有，所以有:再求连杆再求连杆2的动能的动能K2和位能和位能P2:第9页/共50页式中式中:于是可求得于是可求得:以及以及:第10页/共50页这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为:（4.3）（4.4）第11页/共50页第12页/共50页将相应各导数和偏导数代入将相应各导数和偏导数代入(4.2)，即可求得力矩，即可求得力矩T1和和T2的动的动力学方程式：力学方程式：第13页/共50页第14页/共50页重力项：重力项：第15页/共50页 在分析简单的二连杆机械手系统的基础在分析简单的二连杆机械手系统的基础 上，上，我们分析由一组我们分析由一组A变换描述的任何机械手，变换描述的任何机械手，求出动力学方程。推导过程分五步进行。求出动力学方程。推导过程分五步进行。l（1）计算任一连杆上任一点的速度；）计算任一连杆上任一点的速度；（2）计算各连杆的动能和机械手的总动能；）计算各连杆的动能和机械手的总动能；（3）计算各连杆的位能和机械手的总位能；）计算各连杆的位能和机械手的总位能；（4）建立机械手系统的拉格朗日函数；）建立机械手系统的拉格朗日函数；（5）对拉格朗日函数求导，以得到动力学方程式。）对拉格朗日函数求导，以得到动力学方程式。第16页/共50页 图图4.4表表示示一一个个四四连连杆杆机机械械手手的的结结构构。我我们们先先从从这这个个例例子子出出发发，求求得得此此机机械械手手某某个个连连杆杆（例例如如连连杆杆3）上上某某一一点点（如如点点P）的的速速度度、质质点点和和机机械械手手的的动动能能与与位位能能、拉拉格格朗朗日日算算子子，再再求求系系统统的的动动力力学学方方程程式式。然然后后，由由特特殊殊到到一一般般，导导出出任任何何机机械械手手的的速速度度、动能、位能和动力学方程的一般表达式。动能、位能和动力学方程的一般表达式。第17页/共50页4.2.1 速度的计算速度的计算图图4.4中连杆中连杆3上点上点P的位置为：的位置为：式中，式中，为总（基）坐标系中的位置矢量；为总（基）坐标系中的位置矢量；为局部（相对关节为局部（相对关节O3）坐标系中的位置矢量；）坐标系中的位置矢量；T3为变换矩阵，包括旋转变换和平移变换。为变换矩阵，包括旋转变换和平移变换。对于任一连杆对于任一连杆i上的一点，其位置为上的一点，其位置为:（4.14）第18页/共50页点点P的速度为的速度为:式中，式中，所以有，所以有 对于连杆对于连杆i上任一点的速度为上任一点的速度为第19页/共50页P点的加速度点的加速度P点速度的平方点速度的平方第20页/共50页对于任一机械手上一点的速度平方为对于任一机械手上一点的速度平方为式式中中，Trace表表示示矩矩阵阵的的迹迹。对对于于n阶阶方方程程来来说说，其其迹即为它的主对角线上各元素之和。迹即为它的主对角线上各元素之和。第21页/共50页4.2.2 动能和位能的计算动能和位能的计算令连杆令连杆3上任一质点上任一质点p的质量为的质量为dm，则其动能为，则其动能为第22页/共50页任一机械手连杆任一机械手连杆i上位置矢量上位置矢量 其动能如下式表示：其动能如下式表示：的质点，的质点，第23页/共50页对连杆对连杆3积分积分dK3，得连杆，得连杆3的动能为的动能为式中，积分式中，积分 称为连杆的伪惯量矩阵，并记为称为连杆的伪惯量矩阵，并记为这样，这样，第24页/共50页任何机械手上任一连杆任何机械手上任一连杆i动能为动能为（4.17）式中，式中，Ii为伪惯量矩阵，其一般表达式为为伪惯量矩阵，其一般表达式为第25页/共50页 根根据据理理论论力力学学或或物物理理学学可可知知，物物体体的的转转动动惯惯量量、矢量积以及一阶矩量为矢量积以及一阶矩量为如果令如果令于是可把于是可把Ii表示为表示为（4.18）具有具有n个连杆的机械手总的动能为个连杆的机械手总的动能为（4.19）此外，连杆此外，连杆i的传动装置动能为的传动装置动能为式中，式中，Iai为传动装置的等效转动惯量，对于平动关为传动装置的等效转动惯量，对于平动关节，节，Iai为等效质量；为等效质量；为关节为关节i的速度。的速度。所有关节的传动装置总动能为所有关节的传动装置总动能为于是得到机械手系统（包括传动装置）的总动能为于是得到机械手系统（包括传动装置）的总动能为（4.20）下面再来计算机械手的位能，一个在高度下面再来计算机械手的位能，一个在高度h处质量为处质量为m的物体，其位能为的物体，其位能为连杆连杆i上位置上位置 处的质点处的质点dm，其位能为，其位能为式中，式中，其中，其中，mi为连杆为连杆i的质量：的质量：关节坐标系的重心位置。关节坐标系的重心位置。为连杆为连杆i相对于其相对于其由由于于传传动动装装置置的的重重力力作作用用Pai一一般般是是很很小小的的，可可以以略略之不计，所以，机械手系统的总位能为之不计，所以，机械手系统的总位能为（4.21）4.2.3 动力学方程的推导动力学方程的推导 据式（据式（4.1）求拉格朗日函数）求拉格朗日函数（4.22）再据式（再据式（4.2）求动力学方程。先求导数）求动力学方程。先求导数据式（据式（4.18）知，）知，Ii为对称矩阵，即为对称矩阵，即，所以下式成立，所以下式成立当当pi时，后面连杆变量时，后面连杆变量qp对前面各连杆不产生影对前面各连杆不产生影响，即响，即。这样可得。这样可得因为因为所以所以再求再求 项项在在上上列列两两式式运运算算中中，交交换换第第二二项项和和式式的的哑哑元元j和和k，然然后后与与第第一一项项和和式式合合并并，获获得得化化简简式式。把把上上述述两两式式代代入（入（4.2）的右式得）的右式得交交换换上上列列各各和和式式中中的的哑哑元元，以以i代代替替p，以以j代代替替i，以以m代代替替j，即即可可得得具具有有n个个连连杆杆的的机机械械手手系系统统动动力力学学方程如下方程如下这这些些方方程程式式是是与与求求和和次次序序无无关关的的。我我们们把把式式（4.23）写成下列形式：）写成下列形式：（4.24）（4.25）(4.26)（4.27）式中取式中取n=6，而且，而且惯量项惯量项加速度系数项加速度系数项重力项重力项 上上述述各各方方程程与与4.1.2节节的的惯惯量量项项及及重重力力项项一一样样。这这些些项项在在机机械械手手控控制制中中特特别别重重要要，因因为为它它们们直直接接影影响响机机械械手手系系统统的的稳稳定定性性和和定定位位精精度度。只只有有当当机机械械手手高高速速运运动动时时，向向心心力力和和哥哥氏氏力力才才是是重重要要的的。这这时时，它它们们所所产产生生的的误误差差不不大大。传传动动装装置置的的惯惯量量Iai往往往往具具有有相相当当大大的的值值，而而且且对对减减少少有有效效惯惯量量的的结结构构相相关关性性和和耦合惯量项的相对重要性有显著影响。耦合惯量项的相对重要性有显著影响。4.3.1 二连杆机械手动力学方程二连杆机械手动力学方程 在在前前面面讨讨论论过过二二连连杆杆机机械械手手的的动动力力学学方方程程，下下面面讨讨论论二二连杆机械手惯量项及重力项的计算。连杆机械手惯量项及重力项的计算。首首先先，规规定定机机械械手手的的坐坐标标系系，如如图图，并并计计算算A矩矩阵阵和和T矩阵。表矩阵。表4.2表示各连杆参数。表示各连杆参数。表表4.2 二连杆机械手连杆参数二连杆机械手连杆参数连杆连杆变量变量ad110d10220d20A矩阵和矩阵和T矩阵如下：矩阵如下：对于旋转关节，可得微分平移矢量和微分旋转矢量如下：对于旋转关节，可得微分平移矢量和微分旋转矢量如下：对于平移关节，可得各矢量如下：对于平移关节，可得各矢量如下：以以 为基础，有下式为基础，有下式(p=1，i=1)以以 为基础，可得下式为基础，可得下式(p=2，i=2)以以 为基础，可得下式为基础，可得下式(p=2，i=1)因两关节均属旋转型，根据因两关节均属旋转型，根据 来计算来计算d和和：前述惯量项简化为：前述惯量项简化为：对于这个简单机械手，其所有惯性力矩为零，即对于这个简单机械手，其所有惯性力矩为零，即 前述重力项简化为：前述重力项简化为：对于旋转关节对于旋转关节i：所以可得下列各式：所以可得下列各式：n o a p 再求各质心矢量再求各质心矢量 以上所求得各项，可与以上所求得各项，可与4.1.2节中节中D1和和D2加以比较，加以比较，以检验计算结果的正确性。以检验计算结果的正确性。