材料力学第五章弯曲应力.pptx
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1、回顾与比较内力内力应力公式及分布规律应力公式及分布规律FAyFSM均匀分布均匀分布线形分布线形分布5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 强度条件强度条件5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力5-6 5-6 提高梁强度的措施提高梁强度的措施5-1 5-1 纯弯曲纯弯曲一、纯弯曲一、纯弯曲梁段梁段CDCD上,只有弯矩,没有剪力上,只有弯矩,没有剪力梁段梁段ACAC和和BDBD上,既有弯矩,又有剪力上,既有弯矩,又有剪力5-1 5-1 纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲FsMFaFaFF5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力1、变
2、形几何关系、变形几何关系2、物理关系、物理关系3、静力学关系、静力学关系纯弯曲的内力纯弯曲的内力剪力剪力Fs=0横截面上没有切应力横截面上没有切应力只有正应力。只有正应力。弯曲正应力的弯曲正应力的分布规律分布规律和和计算公式计算公式1、变形几何关系、变形几何关系(一)实验观察现象:(一)实验观察现象:施加一对正弯矩,观察变形施加一对正弯矩,观察变形观察到纵向线与横向线有何变化?观察到纵向线与横向线有何变化?纵向线纵向线由直线由直线曲线曲线横向线横向线由直线由直线直线直线相对旋转一个角度后,相对旋转一个角度后,仍然与纵向弧线垂直。仍然与纵向弧线垂直。变化的是:变化的是:1 1、纵向线的长度、纵向
3、线的长度2 2、两横截面的夹角、两横截面的夹角各纵向线的长度还相等吗?各纵向线的长度还相等吗?各横向线之间依然平行吗?各横向线之间依然平行吗?3 3、横截面的宽度、横截面的宽度横截面绕某一轴线发生了偏转。横截面绕某一轴线发生了偏转。(二)提出假设:(二)提出假设:1、平面假设:、平面假设:变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面;变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面;于于16951695年提出梁弯曲的平面假设年提出梁弯曲的平面假设瑞士科学家瑞士科学家Jacob.贝努力贝努力纵向纤维之间没有相互挤压,纵向纤维之间没有相互挤压,2、假设:、假设:观察纵向纤维之间有无相互作用力观察纵向纤维之间有无相
4、互作用力各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。凹入凹入一侧纤维一侧纤维凸出凸出一侧纤维一侧纤维观察纵向纤维的变化观察纵向纤维的变化在正弯矩的作用下,在正弯矩的作用下,偏上的纤维偏上的纤维缩短,缩短,偏下的纤维偏下的纤维伸长。伸长。缩短;缩短;伸长。伸长。纤维长度不变纤维长度不变中性层中性层中性层中性层LL000LL=0=0既不伸长也不缩短既不伸长也不缩短中性轴中性轴中性轴上各点中性轴上各点=0各横截面绕各横截面绕 中性轴发生偏转。中性轴发生偏转。中性轴的位置中性轴的位置过截面形心过截面形心你能解释一下托架开孔合理吗?托架会不会破坏?你能解释一下托架
5、开孔合理吗?托架会不会破坏?(三)理论分析:(三)理论分析:y y的物理意义的物理意义纵向纤维到中性层的距离;纵向纤维到中性层的距离;点到中性轴的距离。点到中性轴的距离。zy两直线间的距离两直线间的距离公式推导公式推导线应变的变化规律线应变的变化规律与纤维到中性层的距离成正比。与纤维到中性层的距离成正比。从横截面上看:从横截面上看:点离开中性轴越远,点离开中性轴越远,该点的线应变越大。该点的线应变越大。2、物理关系、物理关系虎克定律虎克定律弯曲正应力的分布规律弯曲正应力的分布规律a、与点到中性轴的距离成正比;、与点到中性轴的距离成正比;c、正弯矩作用下,、正弯矩作用下,上压下拉;上压下拉;当当
6、 5的细长梁,的细长梁,用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力,用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力,误差误差2%满足工程中所需要的精度。满足工程中所需要的精度。推导弯曲正应力计算公式的方法总结推导弯曲正应力计算公式的方法总结(1 1)理想模型法:)理想模型法:纯弯曲(剪力为零,弯矩为常数)纯弯曲(剪力为零,弯矩为常数)(2 2)“实验实验观察观察假设假设”:梁弯曲假设梁弯曲假设(3)外力外力内力内力变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系(4 4)三关系法)三关系法积分积分应力合成内力应力合成内力横力弯曲横力弯曲应力法应力法(5 5)数学方法)数学方法注意注意(1 1)计算
7、正应力时,必须清楚所求的是)计算正应力时,必须清楚所求的是哪个截面哪个截面上上的应力,的应力,(3 3)特别注意正应力)特别注意正应力沿高度呈线性分布沿高度呈线性分布;从而确定该截面上的从而确定该截面上的弯矩弯矩及该截面对中性轴的及该截面对中性轴的惯性矩;惯性矩;(2)必须清楚所求的是该截面上)必须清楚所求的是该截面上哪一点哪一点的正应力,的正应力,(4)中性轴中性轴上正应力上正应力为零为零,并确定该并确定该点到中性轴的距离点到中性轴的距离,而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。以及该点处以及该点处应力的符号应力的符号(4 4)必须熟记
8、矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩)必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。的计算式。(6 6)熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。)熟记矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。(5 5)梁在中性轴的两侧分别受拉或受压)梁在中性轴的两侧分别受拉或受压;注意注意正应力的正正应力的正 负号(拉或压)可根据负号(拉或压)可根据弯矩的正负弯矩的正负及及梁的变形状态梁的变形状态来来 确定。确定。作弯矩图,寻找最大弯矩的截面作弯矩图,寻找最大弯矩的截面分析:分析:非对称截面,非对称截面,例例1 T1 T型截面铸铁梁,截面尺寸如图。型截面铸铁梁,截面尺寸如图。求最大拉应力、最大压应力。
9、求最大拉应力、最大压应力。计算最大拉应力、最大压应力计算最大拉应力、最大压应力zc52889KN1m1m4KN1mACB要寻找中性轴位置;要寻找中性轴位置;(2 2)计算应力:)计算应力:(1 1)求支反力,作弯矩图)求支反力,作弯矩图B B截面应力分布截面应力分布9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmM应用公式应用公式zc5288(3 3)结论)结论C C截面应力计算截面应力计算2.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KNC C截面应力分布截面应力分布应用公式应用公式zc528830zy180120K1、C 截面上截面上K点正应力点正应力2
10、、C 截面上最大正应力截面上最大正应力3 3、全梁上最大正应力、全梁上最大正应力4、已知、已知E=200GPa,C 截面的曲率半径截面的曲率半径例例2:矩形截面简支梁承受均布载荷作用:矩形截面简支梁承受均布载荷作用,如图所示如图所示1m3mq=60KN/mACB1、截面几何性质计算、截面几何性质计算确定形心主轴的位置确定形心主轴的位置z确定中性轴的位置确定中性轴的位置180120确定形心的位置确定形心的位置F FAYAYF FBYBYq=60KN/m1m3mACB2.2.求支反力求支反力(压应力)(压应力)3、C 截面上截面上K点正应力点正应力30zy180120K4、C 截面上最大正应力截面
11、上最大正应力弯矩弯矩公式公式MxFSx作内力图作内力图F FAYAYF FBYBYq=60KN/m1m3mACB90kN90kN5 5、全梁上最大正应力、全梁上最大正应力危险截面危险截面公式公式F FAYAYF FBYBYq=60KN/m1m3mACB6、已知、已知E=200GPa,C 截面的曲率半径截面的曲率半径练习练习1:计算下图中:计算下图中11截面上、两点的正应截面上、两点的正应力,并求梁内的最大正应力,画危险面上正应力,并求梁内的最大正应力,画危险面上正应力的分布规律。已知矩形截面的宽为力的分布规律。已知矩形截面的宽为75毫毫米,高米,高150毫米。毫米。101.2m1m1m1-1P
12、=8KN40ab练习练习2:圆型截面梁的横截面直径为:圆型截面梁的横截面直径为D50毫米,受力如图。毫米,受力如图。计算最大正应力并画危险面上的正应力分布规律。计算最大正应力并画危险面上的正应力分布规律。q=10KN/m1m练习练习3:求下图中:求下图中11截面上点的正应力、此截截面上点的正应力、此截面上的最大正应力、此梁上的最大正应力。已知面上的最大正应力、此梁上的最大正应力。已知矩形截面的宽为矩形截面的宽为120毫米,高毫米,高180毫米。毫米。q=60KN/m1m2m1-130a三、弯曲正应力强度条件三、弯曲正应力强度条件弯曲正应力弯曲正应力的分布规律的分布规律危险点:危险点:距离中性轴
13、最远处;距离中性轴最远处;分别发生分别发生最大拉应力最大拉应力与与最大压应力最大压应力;1、塑性材料、塑性材料抗拉压强度相等抗拉压强度相等无论内力图如何无论内力图如何梁内最大应力梁内最大应力其强度条件为其强度条件为通常将梁做成矩形、圆形、工字形等通常将梁做成矩形、圆形、工字形等对称于中性轴对称于中性轴的截面;的截面;此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。因此:因此:强度条件可以表示为强度条件可以表示为无论截面形状如何,无论截面形状如何,a但对于塑性材料,但对于塑性材料,b2.2.离中性轴最远处。离中性轴最远处。要综合考虑弯矩要综合考虑弯矩M与截面形状与截面
14、形状Iz1.1.弯矩的绝对值最大的截面上;弯矩的绝对值最大的截面上;塑性材料塑性材料c、塑性材料制成的、塑性材料制成的 变截面梁变截面梁总之,总之,梁内最大应力发生在:梁内最大应力发生在:3.强度条件为强度条件为2、脆性材料、脆性材料抗拉压强度不等。抗拉压强度不等。内力图形状有关。内力图形状有关。梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在最大应力通常与截面形状,最大应力通常与截面形状,通常将梁做成通常将梁做成T T形、倒形、倒T T形等形等 关于关于中性轴不对称中性轴不对称的截面。的截面。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。由于脆性
15、材料抗压不抗拉,由于脆性材料抗压不抗拉,a a脆性材料的最大应力与截面形状有关脆性材料的最大应力与截面形状有关MM或者或者 脆性材料梁的危险截面与危险点脆性材料梁的危险截面与危险点上压下拉上压下拉上拉下压上拉下压b b脆性材料的最大应力与内力图有关脆性材料的最大应力与内力图有关危险截面只有一个。危险截面只有一个。危险截面处分别校核:危险截面处分别校核:二个强度条件表达式二个强度条件表达式M危险截面有二个;危险截面有二个;每一个截面的最上、最下边缘均是危险点;每一个截面的最上、最下边缘均是危险点;脆性材料梁的危险截面与危险点脆性材料梁的危险截面与危险点各危险截面处分别校核:各危险截面处分别校核:
16、四个强度条件表达式四个强度条件表达式弯曲正应力强度计算的三个方面弯曲正应力强度计算的三个方面1、强度校核、强度校核2、设计截面、设计截面3、确定许可载荷、确定许可载荷例例1 1:图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。:图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。材料的许用应力材料的许用应力分析分析(2 2)危险截面:危险截面:(3 3)危险点危险点截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称弯矩弯矩 最大的截面最大的截面抗弯截面系数抗弯截面系数 最小的截面;最小的截面;危险截面的最上、下边缘处。危险截面的最上、下边缘处。(1)轮轴为塑性材料轮轴为塑性材料,公式公式(1 1)计算简图)计算简图(2 2)绘
17、弯矩图)绘弯矩图MFaFbFbB B截面,截面,C C截面截面(3)危险截面危险截面(4 4)强度校核)强度校核B B截面:截面:C C截面:截面:(5 5)结论)结论MFaFbFb轮轴满足强度条件轮轴满足强度条件例例2 2:某车间欲安装简易吊车,大梁选用工字钢。已知电葫芦:某车间欲安装简易吊车,大梁选用工字钢。已知电葫芦材料的许用应力材料的许用应力起重量起重量跨度跨度试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。自重自重分析分析(2 2)确定危险截面)确定危险截面(5 5)计算)计算(6 6)计算)计算 ,选择工字钢型号,选择工字钢型号(3 3)截面为关于中性轴对称)截面为关于中性轴对称(1 1)
18、简化为力学模型)简化为力学模型(4 4)应力计算公式)应力计算公式FFF(1 1)计算简图)计算简图(2 2)绘弯矩图)绘弯矩图MFL/4(3 3)危险截面)危险截面(4 4)强度计算)强度计算(5 5)选择工字钢型号)选择工字钢型号36c36c工字钢工字钢F=F1+F2例例3 3:T T型截面铸铁梁,截面尺寸如图示。型截面铸铁梁,截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。9KN1m1m4KN1mACB2080120205 5、作弯矩图,确定危险截面、作弯矩图,确定危险截面6 6、确定危险点,进行强度校核、确定危险点,进行强度校核分析:分析:非对称截面;非对称截面;确定形心主轴位置;确定
19、形心主轴位置;1、脆性材料,、脆性材料,2、寻找形心、寻找形心3、确定中性轴位置;、确定中性轴位置;4、计算图形对中性轴的主惯性矩、计算图形对中性轴的主惯性矩危险截面与内力图有关危险截面与内力图有关(2 2)求截面对中性轴)求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩(1 1)求截面形心)求截面形心z152208012020yz(4 4)确定危险截面)确定危险截面(3 3)求支反力,作弯矩图)求支反力,作弯矩图B B截面应力强度计算截面应力强度计算9KN1m1m4KN1mACBFAFBFA=2.5KN2.5KNm4KNmM应用公式应用公式zc5288(5 5)结论)结论C截面强度计算截面强度计算应用公
20、式应用公式zc52882.5KNm4KNmM9KN1m1m1mACBFAFB4KN满足强度条件满足强度条件例例4:一简支梁受力如图所示。已知:一简支梁受力如图所示。已知 ,空心圆截面,空心圆截面的内外径之比的内外径之比 ,试选择截面直径,试选择截面直径D;若外径;若外径D增加增加一倍,比值一倍,比值 不变,则载荷不变,则载荷 q 可增加到多大?可增加到多大?L=4mABq=0.5KN/m3 3、作弯矩图,确定危险截面;、作弯矩图,确定危险截面;分析:分析:对称截面;对称截面;1、塑性材料,、塑性材料,2、已知图形对中性轴的主惯性矩、已知图形对中性轴的主惯性矩5、公式、公式4 4、确定危险点,进
21、行强度校核、确定危险点,进行强度校核L=4mABq=0.5KN/m1、求支座反力,并作弯矩图、求支座反力,并作弯矩图FAFBFA=FB=ql/2M2、确定危险截面、确定危险截面强度计算强度计算若外径若外径D增加一倍,增加一倍,不变不变例例5:已知已知 材料的材料的 ,由,由M图知:图知:,试校核其强度。,试校核其强度。16281448单位:cm5 5、确定危险点,进行强度校核、确定危险点,进行强度校核分析:分析:非对称截面;非对称截面;确定形心主轴位置;确定形心主轴位置;1、塑性材料,、塑性材料,2、寻找形心、寻找形心3、确定中性轴位置;、确定中性轴位置;4、计算图形对中性轴的主惯性矩、计算图
22、形对中性轴的主惯性矩6、公式、公式(1 1)确定中性轴的位置)确定中性轴的位置(2 2)计算截面对形心主轴的惯性矩)计算截面对形心主轴的惯性矩16281448单位:cmzyz(4)正应力校核)正应力校核所以结构安全。所以结构安全。问题:问题:若材料为铸铁,截面这样放置是否合理若材料为铸铁,截面这样放置是否合理?28zz1、已知、已知T型截面的惯性矩为型截面的惯性矩为IZC10-6m4,材料的,材料的许用拉应力为许用拉应力为t30MP,许用压应力,许用压应力c60MP,校核梁的强度。,校核梁的强度。3KN1m1m9KNm1mzc52882、AB梁为梁为10号工字钢,在号工字钢,在B点用圆杆支撑,
23、点用圆杆支撑,BC杆的直径为杆的直径为D20毫米,梁与杆采用同种材料,毫米,梁与杆采用同种材料,许用应力为许用应力为160MP,求许用载荷?,求许用载荷?q2m1mABC3、图示中的梁由二根槽钢组成,许用应力为、图示中的梁由二根槽钢组成,许用应力为120MP,选择槽钢的型号。,选择槽钢的型号。q=5KN/m3mM=7.5KNm4、矩形截面悬臂梁的跨度为、矩形截面悬臂梁的跨度为L4米,截面的高、宽比米,截面的高、宽比为为3:2,均布载荷的集度为,均布载荷的集度为10KN,许用应,许用应力为力为10MP,确定矩形截面的尺寸。,确定矩形截面的尺寸。bhq=10KN/m5、已知、已知T型截面的惯性矩为
24、型截面的惯性矩为IZC21.7610-6m4,材料,材料的许用拉应力的许用拉应力t=30MP,许用压应力,许用压应力c=60MP,设计载荷?,如果截面倒置,设计载荷?,如果截面倒置?q4m2mzc601006、20工工字字钢钢,许许用用应应力力为为160MP,求求载载荷荷P。P1m1m1mP7、已知、已知T型截面的惯性矩为型截面的惯性矩为IZC10000cm4,材料的,材料的许用拉应力为许用拉应力为t40MP,许用压应力,许用压应力c160MP,h196.4,求力,求力P?。?。P2P1.4m0.6m250h18、许用应力为60MP,校核强度。10KNm30KNm1m1m1m601201206
25、09 9、2525号槽钢,许用应力为号槽钢,许用应力为120MP120MP,求,求M M?,画危险面的正应力的分布规律。?,画危险面的正应力的分布规律。2m3mM10、球墨铸铁材料,采用、球墨铸铁材料,采用T型截面,惯性矩为型截面,惯性矩为IZC30000cm4,画危险面上的正应力的分布规律,并,画危险面上的正应力的分布规律,并求梁内的最大拉应力、最大压应力。求梁内的最大拉应力、最大压应力。q=20KN/m4mM=20KNm1206011、已知、已知T型截面的惯性矩为型截面的惯性矩为IZC2010-6m4,材,材料的许用拉应力为料的许用拉应力为t32MP,许用压应力,许用压应力c75MP,校核
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