经济数学二重积分.pptx
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1、calculus 一元函数定积分是求与定义在某一区一元函数定积分是求与定义在某一区间上的函数有关的某种总量的数学模型,间上的函数有关的某种总量的数学模型,作为推广,二元函数的二重积分是求与定作为推广,二元函数的二重积分是求与定义在某一平面区域上的函数有关的某种总义在某一平面区域上的函数有关的某种总量的数学模型,这些模型的数学结构相同,量的数学模型,这些模型的数学结构相同,都是和式的极限。都是和式的极限。calculus 8.1 8.1 二重积分二重积分的基本概念的基本概念一、曲顶柱体的体积一、曲顶柱体的体积曲顶柱体是指它的底面是在曲顶柱体是指它的底面是在 平面上的有界闭区域,平面上的有界闭区域
2、,它的侧面是以的边界为准线,母线平行于轴的柱面,它的它的侧面是以的边界为准线,母线平行于轴的柱面,它的顶是连续曲面顶是连续曲面 ocalculus平顶柱体的高是不变的,它的体积可以用公式平顶柱体的高是不变的,它的体积可以用公式体积底面积高体积底面积高 来计算。而对于曲顶柱体,当点来计算。而对于曲顶柱体,当点 在区域在区域 上变动时,高度是一个变量,因此它的上变动时,高度是一个变量,因此它的 体积不能直接用上式来计算。体积不能直接用上式来计算。calculus3)作和)作和4)取极限)取极限则则曲顶柱体的体积求解过程曲顶柱体的体积求解过程1 1)将区域任意分割成个小区域:)将区域任意分割成个小区
3、域:也表示第块小区域的面积。也表示第块小区域的面积。2 2)任取点)任取点ocalculus二、二、二重积分的定义及几何意义二重积分的定义及几何意义 设二元函数设二元函数 在有界闭区域在有界闭区域 上有定义,上有定义,用任意分法将分成个小闭区域用任意分法将分成个小闭区域其中表示第个小区域(也表示它的面积),表示其中表示第个小区域(也表示它的面积),表示 的直径中的最大者。在上任取一点的直径中的最大者。在上任取一点,作乘积,作乘积 ,并作和并作和当时,如果这个和的极限存在,则称此极限为函数当时,如果这个和的极限存在,则称此极限为函数 在区域上的二重积分,记为,在区域上的二重积分,记为,即即定义定
4、义calculus积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素calculus注:注:1 在二重积分定义中,对区域在二重积分定义中,对区域D的划分是任意的,的划分是任意的,故如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分故如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,则除了包含边界的一些小闭区域外,其余的小闭区域,则除了包含边界的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域 的边长为的边长为 和和 则则calculus0 xyD直
5、角坐标系下面积元素直角坐标系下面积元素calculus2 2 存在性:当存在性:当在闭区域在闭区域 D D上连续时,函数上连续时,函数在 D D上的二重积分必定存在。以后总假定上的二重积分必定存在。以后总假定在在 D D 上的二重积分是存在的。上的二重积分是存在的。3 3 由二重积分的定义可知:曲顶柱体的体积是函数由二重积分的定义可知:曲顶柱体的体积是函数在在D D上的二重积分上的二重积分calculus几何意义几何意义1)1)、若、若 ,表示以区域表示以区域 为底的曲为底的曲顶柱体的体积。顶柱体的体积。2)2)、若、若 ,表示以区域表示以区域 为底的曲为底的曲顶柱体的体积的相反数。顶柱体的体
6、积的相反数。3)3)、若、若 在区域在区域 上的值有正有负,则曲顶柱体上的值有正有负,则曲顶柱体的体积取其二重积分的代数和。的体积取其二重积分的代数和。(其中(其中xoyxoy面上方柱体的体积取正,面上方柱体的体积取正,xoyxoy面下方柱体的体面下方柱体的体积取负)。积取负)。calculus三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面,即:的外面,即:性质性质2 有限个函数的和(或差)的二重积分等于各有限个函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和(或差)。个函数的二重积分的和(或差)。calcul
7、us性质性质3 (区域可加性区域可加性)如果闭区域如果闭区域D被有限条曲线分为有被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在个部分闭区上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和域上的二重积分的和.calculus性质性质4 若在若在D上,上,则:则:特别地,特别地,calculus高为高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。性质性质如果在上恒有如果在上恒有 ,是是 的面积,的面积,则则 性质性质设设 和和 分别是函数分别是函数 在闭区域在闭区域 上上 的最大值和最小值,是的最大值和最小值,是 的面积,则的面积
8、,则calculus性质性质中值定理如果中值定理如果 在闭区域在闭区域 上连续,上连续,是的面积,则在是的面积,则在 内至少存在一点内至少存在一点 ,使得使得中值定理的中值定理的几何意义几何意义:在区域:在区域 上以曲顶上以曲顶 为顶为顶 的曲顶柱体的体积,等于区域的曲顶柱体的体积,等于区域 上以某一点上以某一点 的函数值的函数值 为高的平顶柱体的体积。为高的平顶柱体的体积。calculus0yx(3,0)(1,0)(0,1).D解解:在区域:在区域 D内,显然有内,显然有故在故在D内内例例1 比较下列积分的大小:比较下列积分的大小:1)与与其中其中D:calculus ,其中区域其中区域 D
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