华东师范大学数学分析.pptx
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1、8.1 不定积分概念与 基本积分公式一、原函数 不定积分是求导运算的逆运算.四、基本积分表三、不定积分的几何意义二、不定积分返回返回返回返回微分运算的逆运算是由已知函数微分运算的逆运算是由已知函数 f(x),求函数求函数F(x),一、原函数例如例如定义定义1例例1数数:从从(iii)(iv)可以看出可以看出,尽管象尽管象研究原函数有两个重要的问题研究原函数有两个重要的问题:1.满足何种条件的函数必定存在原函数满足何种条件的函数必定存在原函数?如果存如果存2.若已知某个函数的原函数存在若已知某个函数的原函数存在,如何把它求出如何把它求出这种形式简单的函数这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不
2、是要求出它们的原函数也不是一件容易的事一件容易的事.在原函数在原函数,它是否惟一它是否惟一?来来?第一个问题由以下定理回答第一个问题由以下定理回答.定理定理8.1 (原函数存在性定理原函数存在性定理)在第九章中将证明此定理在第九章中将证明此定理.数数 F,即即定理定理8.2 (原函数族的结构性定理原函数族的结构性定理)(ii)f(x)在在 I 上的任意两个原函数之间上的任意两个原函数之间,只可能相差只可能相差 一个常数一个常数.证证(ii)设设 F(x)和和 G(x)是是 f(x)在在 I 上的任意两个原上的任意两个原由第六章拉格朗日中值定理的推论由第六章拉格朗日中值定理的推论,即知即知 函数
3、函数,则则 二、不定积分定义定义2在在 I 上的上的不定积分不定积分,为方便起见为方便起见,我们记我们记由此由此,从例从例 1(ii)(iii)(iv)可得可得:若若F(x)是是 f(x)的一个原函数的一个原函数,则称则称 y=F(x)的图的图所有的积分曲线所有的积分曲线都是都是 三、不定积分的几何意义像是像是 f(x)的一条的一条积分曲线积分曲线.到的到的.沿纵轴沿纵轴方向平移而得方向平移而得由其中一条由其中一条积分曲线积分曲线例如例如,质点以匀速质点以匀速 v0 运动时运动时,其路程函数其路程函数若若 t0 时刻质点在时刻质点在 s0 处处,且速度为且速度为 v0,则有则有的原函数正是在积
4、分曲线中的原函数正是在积分曲线中通过点通过点的那一条积分曲线的那一条积分曲线.由基本求导公式可得以下基本积分公式由基本求导公式可得以下基本积分公式:四、基本积分表由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算定理定理 8.3 (不定积分的线性运算法则不定积分的线性运算法则)上都存在原函数上都存在原函数,k1,k2为为任意常数任意常数,则则例例1则则法则法则.例例2例例3例例48.2 换元积分法与分部积分法一、第一换元积分法二、第二换元积分法三、分部积分法 不定积分是求导运算的逆运算,相应 部积分法.求导公式,不定积分有换元积分法和分于复合函数求导数的链式法
5、则和乘法 返回返回返回返回定理定理8.4 (第一换元积分法第一换元积分法)则则证证一、第一换元积分法所以所以(1)式成立式成立.第一换元积分法亦称为凑微分法第一换元积分法亦称为凑微分法,即即常见的凑微分形式有常见的凑微分形式有例例1解解例例2解解例例3解解解解例例5解解例例4(解法二解法二)解解(解法一解法一)例例6定理定理8.5 (第二换元积分法第二换元积分法)上可导上可导,证证二、第二换元积分法等类型的不定积分上等类型的不定积分上,对此可分别设对此可分别设于是于是第二类换元积分法常用在第二类换元积分法常用在所以所以(2)式成立式成立.例例7解解求求例例8解解这里可借助辅助直角三这里可借助辅
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