激光原理-第三章.pptx
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1、第三章第三章 高斯光束高斯光束一、高斯光束的基本性质一、高斯光束的基本性质二、高斯光束的传输二、高斯光束的传输三、高斯光束通过薄透镜的变换三、高斯光束通过薄透镜的变换四、高斯光束的聚焦四、高斯光束的聚焦五、高斯光束的自再现变换和五、高斯光束的自再现变换和ABCD定律在光学谐振腔定律在光学谐振腔中的应用中的应用六、高斯光束的匹配六、高斯光束的匹配七、高斯光束的准直七、高斯光束的准直第一节第一节 高斯光束的基本性质高斯光束的基本性质一、波动方程的基模一、波动方程的基模(TEM00模模)高斯光束高斯光束在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程:这里
2、标量这里标量u0 表示相干光的场分量表示相干光的场分量,式中式中u0与电场强度的复表与电场强度的复表示示u之间的关系为之间的关系为:可以证明它不是上述亥姆霍兹方程的精确解可以证明它不是上述亥姆霍兹方程的精确解,它是在缓变它是在缓变振幅近似下的一个特解振幅近似下的一个特解,它可被表示为它可被表示为:(3-1-1)这里这里 (x,y,z)可看成是振幅函数可看成是振幅函数,一般是一个沿一般是一个沿z轴缓慢轴缓慢变化的复函数变化的复函数.设该方程的试探解设该方程的试探解:P(z)为与光波传输有关的复相移为与光波传输有关的复相移,q(z)是复光束参数是复光束参数,即复曲即复曲率半径率半径,表示光强距离轴
3、距离表示光强距离轴距离r呈高斯变化呈高斯变化,也表示也表示xy平面上平面上的相移的相移.(3-1-2)(3-1-3)将将x和和y的同次幂项合并得的同次幂项合并得:欲使该式对欲使该式对 x 和和 y 的任何值都成立的任何值都成立,要求要求x和和y同次幂的系数同次幂的系数之和分别等于零之和分别等于零.结果可得下列两个简单的常微分方程结果可得下列两个简单的常微分方程:(3-1-4)(3-1-5)由(由(3-1-4)可得:)可得:(3-1-6)q 0 是是 z=0 处的复光束参数处的复光束参数,适当选择适当选择 z=0,就可消去就可消去q 0 的实部的实部,因此因此q 0为纯虚数为纯虚数,令令 q 0
4、=i z 0 上式可写为上式可写为:将将3-1-7 代入代入 3-1-3,并令并令 z=0,得得 z=0 处基模的振幅分布处基模的振幅分布:(3-1-7)(3-1-8)第一指数项是实数,当第一指数项是实数,当 时时,振幅下降到中心值振幅下降到中心值的的 ,此时的此时的 r 值定义为光斑尺寸值定义为光斑尺寸(光斑半径光斑半径),用用 0 表表示示,则:则:(3-1-9)在任意在任意 z 处处,q 值按值按 3-1-7 式变化式变化,下面讨论下面讨论 q 的倒数的倒数(3-1-10)那么(那么(3-1-3)可得:)可得:第一指数项是振幅因子。那么光束的光斑尺寸可表示为:第一指数项是振幅因子。那么光
5、束的光斑尺寸可表示为:(3-1-11)(3-1-12)(3-1-13)第二指数项中第二指数项中,令令=k r 2 z 2(z 2+z0 )k r 2 2 R(z)2 R(z)=z1(z 2+z0 )2式中式中:将将 z0=0 /代入上式得代入上式得:2 R(z)=z 1+()0 z 22(3-1-16)(3-1-15)(3-1-14)(3-1-16)式表示式表示 z 处波阵面曲率半径处波阵面曲率半径.R(z)rz该指数项表示与横向坐标该指数项表示与横向坐标(x,y)有关的相有关的相位移动位移动,它表明近轴高斯光束的等相面是它表明近轴高斯光束的等相面是球面球面,球面上各点相位相同球面上各点相位相
6、同,而在固定而在固定 z 的平面上径向各点相位随的平面上径向各点相位随 r 而变而变,且与该且与该处等相面曲率半径处等相面曲率半径 R(z)有关有关由上式解得由上式解得:现在利用关系式现在利用关系式:(3-1-17)(3-1-18)求出求出 P(z)的实部和虚部的实部和虚部这样这样,我们关心的我们关心的(3-1-4)式的第三指数项变为式的第三指数项变为:将将(3-1-20),(3-1-14)代入代入(3-1-2)式式,并考虑到前面所作的并考虑到前面所作的各种定义各种定义,求得波动方程的解求得波动方程的解:(3-1-20)(3-1-19)u0(x,y,z)=exp-0(z)r 2 2(z)振幅因
7、子振幅因子 exp-i k z-arc tan()z02纵向相位纵向相位 exp -i k r 22 R(z)径向相位径向相位(3-1-21)(1)1()(2020zzzzwzzR+=+=plp200wz=与轴线交于与轴线交于z z点的等相平点的等相平面上的光斑半径面上的光斑半径 与轴线相交于与轴线相交于z z点的高斯光点的高斯光束等相位面的曲率半径束等相位面的曲率半径 基模光束腰基模光束腰斑半径斑半径式中:式中:二、基模高斯光束的性质二、基模高斯光束的性质1、振幅:在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的、振幅:在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心向外平滑降落。光斑半径随规律从
8、中心向外平滑降落。光斑半径随z的变化规律为:的变化规律为:光斑半径随着坐标光斑半径随着坐标z按双曲线规律变化:按双曲线规律变化:2、高斯光束的相移和等相位面分布、高斯光束的相移和等相位面分布基模高斯光束的相移特性由相位因子决定基模高斯光束的相移特性由相位因子决定它描述高斯光束在点它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点处相对于原点(0,0)处的相位处的相位滞后滞后描述几何相移描述几何相移描述高斯光束在空间行进距离描述高斯光束在空间行进距离z时相时相对几何相移的附加相位超前对几何相移的附加相位超前描述与径向有关的相移描述与径向有关的相移在近轴条件下,沿高斯光束轴线每一点处的等相位面为半在近轴条件
9、下,沿高斯光束轴线每一点处的等相位面为半径为径为R的球面的球面:)(1)1()(2020zzzzwzzR+=+=p1.1.,束腰处的等相位面为平面,束腰处的等相位面为平面,曲率中心在无穷远处曲率中心在无穷远处 2.2.为最小值为最小值3.3.在远场处可将高斯光束近似为一个由在远场处可将高斯光束近似为一个由z=0发出,半径为发出,半径为z的球面波的球面波4.4.无穷远处等相位面为平无穷远处等相位面为平面,曲率中心在面,曲率中心在z=0处处 3、瑞利长度、瑞利长度光斑半径随光斑半径随z的变化规律为的变化规律为:当当 时时u从最小光斑面积增大到它的二倍的范围是瑞利范围,从最小从最小光斑面积增大到它的
10、二倍的范围是瑞利范围,从最小光斑处算起的这个长度叫瑞利长度。光斑处算起的这个长度叫瑞利长度。u-z 0+z 0,这段长度内这段长度内,可近似认为高斯光束是平行的可近似认为高斯光束是平行的,这这段距离为高斯光束的准直距离段距离为高斯光束的准直距离.4、远场发散角、远场发散角远场发散角:远场发散角:高斯光束振幅减小到中心最大值高斯光束振幅减小到中心最大值1/e1/e处处与与z z轴的交角。轴的交角。包含在发散全角范围内的功率占高斯基模光束总功率的包含在发散全角范围内的功率占高斯基模光束总功率的86.55、高斯光束的基本性质小结:、高斯光束的基本性质小结:u高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯
11、球面波;高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯球面波;u在其传播过程中曲率中心不断改变;在其传播过程中曲率中心不断改变;u其振幅在横截面内为一高斯光束;其振幅在横截面内为一高斯光束;为全角发散角。为全角发散角。u强度集中在轴线及其附近;强度集中在轴线及其附近;u等相位面保持球面。等相位面保持球面。三、高阶高斯光束三、高阶高斯光束在直角坐标下,高阶高斯光束场的形式:由厄米多项在直角坐标下,高阶高斯光束场的形式:由厄米多项式与高斯函数乘积描述:式与高斯函数乘积描述:1、垂直于光轴的横截面上的厄米高斯分布、垂直于光轴的横截面上的厄米高斯分布高阶高斯光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的高阶高斯
12、光束在垂直于光轴的横截面上场振幅或光强的分布由厄米多项式与高斯函数的乘积决定:分布由厄米多项式与高斯函数的乘积决定:对应着不同整数对应着不同整数m和和n,场振幅的横向分布不同,场振幅的横向分布不同2、高阶模的总相移、波面的曲率半径光斑半径、高阶模的总相移、波面的曲率半径光斑半径高阶模的总相移与模阶数高阶模的总相移与模阶数m和和n有关,表示为有关,表示为u相移因子随模阶数的变化导致了谐振腔中不同横模之相移因子随模阶数的变化导致了谐振腔中不同横模之间谐振频率的差异间谐振频率的差异.u高阶模波面的曲率半径高阶模波面的曲率半径R(z)与模阶数与模阶数m和和n无关,说明无关,说明在同一传播距离在同一传播
13、距离z处,各阶厄米高斯光束波面的曲率半处,各阶厄米高斯光束波面的曲率半径都相同,且随径都相同,且随z的变化规律也相同。的变化规律也相同。u高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数m和和n而增大。而增大。3、波动方程在圆柱坐标系统下的场分布、波动方程在圆柱坐标系统下的场分布在圆柱坐标下,高阶高斯光束场的形式:由拉盖尔多项在圆柱坐标下,高阶高斯光束场的形式:由拉盖尔多项式与高斯函数乘积描述:式与高斯函数乘积描述:赫姆霍兹方程在缓慢振幅近似下的一个特解,对应着赫姆霍兹方程在缓慢振幅近似下的一个特解,对应着具有圆对称光学谐振腔的振荡模式。具有圆对称光学谐振腔的振
14、荡模式。拉盖尔高斯光束的横向分布、总相移及光斑半径和拉盖尔高斯光束的横向分布、总相移及光斑半径和光束发散角光束发散角在垂直于光束的任意一个横截面上,振幅的分布为在垂直于光束的任意一个横截面上,振幅的分布为:总相移:总相移:高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数高阶光束的光斑半径和光束发散角也随模阶数p和和l而增而增大。大。四、高斯光束的孔径四、高斯光束的孔径基模基模(TEM00模模)高斯光束的场分布:高斯光束的场分布:基模基模(TEM00模模)高斯光束在某一横截面上的光场振幅分布高斯光束在某一横截面上的光场振幅分布和光强分布:和光强分布:r为从光斑中心算起的距离,为从光斑中心算起的距离,w为
15、该截面处的光斑尺寸为该截面处的光斑尺寸功率透过率功率透过率T:开孔半径为:开孔半径为a的圆孔,高斯光束通过半径的圆孔,高斯光束通过半径为为a的圆孔的功率的圆孔的功率Pa与总的功率与总的功率P之比。之比。高斯光束功率透过率与孔径的关系高斯光束功率透过率与孔径的关系:孔径半径孔径半径a a透过功率百透过功率百分比分比39.300086.500098.890099.9877第二节第二节 高斯光束的传输高斯光束的传输一、普通球面波在自由空间的传播规律一、普通球面波在自由空间的传播规律普通球面波波前曲率半径随传播过程的变化为:普通球面波波前曲率半径随传播过程的变化为:R1(z)R2(z)z1z2zL00
16、R1R2zz当傍轴波面通过焦距为当傍轴波面通过焦距为f的透镜时,其波前曲率半径满足关系的透镜时,其波前曲率半径满足关系:沿光束传播方向的发散球面波曲率半径为正沿光束传播方向的发散球面波曲率半径为正,会聚球面波曲率会聚球面波曲率半径为负半径为负.对球面波经透镜的传输可用矩阵表示为对球面波经透镜的传输可用矩阵表示为:反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间反映了近轴球面波曲率半径的传输与光学系统矩阵元之间的关系的关系高斯光束可由波前曲率半径高斯光束可由波前曲率半径R(z)、光斑半径光斑半径w(z)和位置和位置z中中任意两个参量来描述。任意两个参量来描述。引入复参数引入复参数q(z)将这三
17、个参量联系起来将这三个参量联系起来(描述高斯光束的传播规律非常方便描述高斯光束的传播规律非常方便)。二二.高斯光束的复参数高斯光束的复参数 q 表示表示复参数复参数q的定义的定义:写成倒数形式写成倒数形式:这样这样,已知已知 q(z)便可确定高斯光束便可确定高斯光束q值表达的基模值表达的基模(TEM00模模)高斯光束:高斯光束:三三.高斯光束高斯光束 q 参数的传输参数的传输研究高斯光束在空间的传输规律研究高斯光束在空间的传输规律,就是研究其光斑半径就是研究其光斑半径(z),波面曲率半径波面曲率半径 R(z)在传输过程中的变化规律在传输过程中的变化规律.从上式中从上式中解出解出 0 与与 z
18、,它们分别为它们分别为:下面证明下面证明,高斯光束的复曲率半径在传输过程中与高斯光束的复曲率半径在传输过程中与球面波球面波的曲率半径所遵从的规律是相同的的曲率半径所遵从的规律是相同的.球面波传输规律为球面波传输规律为:可见高斯光束的可见高斯光束的 q 传输与球面波具有同样的规律传输与球面波具有同样的规律.四四.高斯光束传输的高斯光束传输的 ABCD 定律定律现在讨论如何用矩阵方法来描述高斯光束的传播和变换。现在讨论如何用矩阵方法来描述高斯光束的传播和变换。q 参数起着和球面波中曲率半径一样的作用参数起着和球面波中曲率半径一样的作用,因此将其称为因此将其称为高高斯光束的复曲率半径斯光束的复曲率半
19、径,根据球面波传输的矩阵变换根据球面波传输的矩阵变换:A、B、C、D为该光学系统的光线矩阵元,为该光学系统的光线矩阵元,q1和和q2分别分别为在入射平面为在入射平面(1)和出射平面和出射平面(2)的复光束参数。的复光束参数。光线传输的矩阵理论和高斯光束用简单的方式联系起来光线传输的矩阵理论和高斯光束用简单的方式联系起来如果复参数如果复参数q1的高斯光束顺次通过传输矩阵的高斯光束顺次通过传输矩阵总矩阵元总矩阵元M:高斯光束的高斯光束的q参数和参数和ABCD定律给出研究高斯光束传输的定律给出研究高斯光束传输的一个基本方法。一个基本方法。第三节第三节 高斯光束通过薄透镜的变换高斯光束通过薄透镜的变换
20、一、一、高斯光束通过薄透镜的高斯光束通过薄透镜的q变换公式变换公式当傍轴波面通过焦距为当傍轴波面通过焦距为f的透镜时,其的透镜时,其波前曲率半径满足波前曲率半径满足 关系式关系式:出射光束在透镜处的光斑尺寸满足:出射光束在透镜处的光斑尺寸满足:表示入射高斯光束在透镜处的表示入射高斯光束在透镜处的q参数:参数:表示出射高斯光束在透镜处的表示出射高斯光束在透镜处的q参数:参数:由上面的四个式子可以得到:由上面的四个式子可以得到:距离透镜分别为距离透镜分别为z和和zl处的复参数:处的复参数:可以得到可以得到zl处的处的ql:已知透镜的焦距,只要知道入射高斯光束的已知透镜的焦距,只要知道入射高斯光束的
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