理学高等数学二0.pptx
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1、高等数学l第二章第二章 导数与微分导数与微分 导数(Derivative)是反映函数相对于自变量的变化快慢程度,微分(Differential)指明了当自变量有微小变化时引起函数变化的大小,它们是微分学(Differential calculus)的重要概念,在理论研究和生产实践中有着非常广泛的应用.在这一章里我们主要介绍导数和微分的概念和它们的计算方法.第二章函数的导数与微分第二章函数的导数与微分绪绪n第一节 导数的概念n第二节 函数的微分法n第三节 高阶导数n第四节 隐函数和参数方程求导n第五节 函数的微分n第二章小结第第二二章章函函数数的的导导数数与与微微分分目目 录录n学习要点:学习要
2、点:n1.函数在一点的导数和导函数的定义;n2.左、右导数;n3.导数的几何与物理意义。n绪绪n导数的概念是函数变化率概念的一个精确描述,是变量的变n化速度在数学上的抽象,是研究函数各种性态的有效工具.n1817年捷克数学家波尔察诺在他发表的论文纯粹分析证n明中第一个把函数的导数定义为当自变量增量趋于零时,n函数增量与自变量增量比值的极限,并引入了左右导数的概n念。第一节第一节 导数的概念导数的概念第第二二章章函函数数的的导导数数与与微微分分一、引例一、引例 导数是客观世界中许多自然现象在数量关系上抽象出来的概念.它源于对切线、极值和运动速度等问题的处理,如物体运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,
3、非恒稳的电流强度等都是导数的问题.实例实例1 1 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度.设某质点沿直线作变速运动设某质点沿直线作变速运动,其运动方程为其运动方程为s=f(t),s=f(t),求质点在质点在t0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.设质点于时刻设质点于时刻t t在数轴上的位置的坐标为在数轴上的位置的坐标为s,s,取从取从时刻时刻t t0 0到到t t0 0+t+t这样一个时间间隔,在这段时间内这样一个时间间隔,在这段时间内质点的平均速度为质点的平均速度为于是质点在时刻于是质点在时刻t t0 0的瞬时速度为的瞬时速度为实例实例2 2 曲线的切线斜率曲线的切线斜率设曲线的方程为设曲线
4、的方程为y=f(x),在点在点M(x0,y0)处的附近取处的附近取一点一点N(x0+x,y0+y),那么,那么割线割线MN的斜率为的斜率为当点当点N沿曲线趋向沿曲线趋向M时,割线时,割线 在在M点处的切线,此时的切线点处的切线,此时的切线MN的极限位置的极限位置MT就就曲线上曲线上斜率为斜率为二、导数定义 1.定义1:设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量在x0处取得增量x(x0+x)点仍在该邻域)时,相应地函数取得增量y=f(x0+x)-f(x0),若极限存在,则称函数f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数在点x0 处的导数(derivative),记为即变速直线运动的瞬
5、时速度:曲线的切线斜率:2.定义1的等价形式:3.左、右导数:函数在点x0处的导数是一个极限,而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等,记 这两个极限分别称为函数f(x)在点x0处的左导数(leftderivative)和右导数(progressive derivative),函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是f(x)在点x0处左导数和右导数都存在且相等。4.导函数的定义:如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都可导,则称函数y=f(x)在区间I内可导。此时,对任何点xI都对应一个导数值这一对应关系确定了一个新的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作5.求导数的步骤:
6、(1)求增量(2)算比值(3)求极限例1解例2.求函数解:对一般幂函数(为常数)例3解特别地例4解特别地例5解类似可证得例例6 6解三、导数的几何意义与物理意义1.几何意义切线方程为法线方程为例例7 求曲线在点(1,1)处的切线和法线方程。解所以切线方程为所以法线方程为例8解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为*练习:练习:问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线2.2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时
7、速度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;n学习要点:学习要点:n1.四则运算求导法则;n2.复合函数求导法则;n3.导数基本公式。n绪绪n求导数的方法称为
8、微分法。用定义只能求出一些较简单的n函数的导数(常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函n数、对数函数),对于比较复杂的函数则往往很困难。本n节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则,借助于这n些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数初等函n数的导数,从而是初等函数的求导问题系统化,简单化。第二节第二节 函数的微分法函数的微分法第第二二章章函函数数的的导导数数与与微微分分一、四则运算求导法则 定理定理1:1:的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且则推论:(C为常数)解 例1 例2 yex(sin xcos x)求y 2excos x 解 y(ex)(sin xcos x)e x
9、(sin xcos x)e x(sin xcos x)e x(cos x sin x)例3 ysec x 求y 例3解二、反函数的求导法则 定理2:y 的某邻域内单调可导,证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此则 例5 求(arctan x)及(arccot x)解 因为因为yarctan x是是xtan y的反函数的反函数 所以所以 例4 求求(arcsin x)及及(arccos x)解 因为因为yarcsin x是xsin y的反函数的反函数 所以所以在点 x 可导,三、复合函数求导法则定理3:在点可导.复合函数且在点 x 可导,证:在点 u 可导,故(当 时
10、)故有则 例6 例7.求下列导数:解:(1)(2)解 函数函数212sinxxy是由是由ysin u 212xxu复合而成的复合而成的 因此因此dxdududydxdy 例8 例9 解 解 四、基本求导法则与导数公式 1.常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数2.2.导数的四则运算法则导数的四则运算法则(C为常数为常数)4.4.复合函数求导法则复合函数求导法则3.3.反函数求导法则反函数求导法则 例10.求求解:由于由于例11.设设解:求求例12.求求解:例13.若若存在存在 ,求求的导数的导数.这两个记号含义不同这两个记号含义不同例14解本节小结注意:分段函数求导时分段函数求导时,
11、分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则反函数的求导法则(注意成立条件)(注意成立条件);复合函数的求导法则复合函数的求导法则(注意函数的复合过程(注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法)导法);已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.关键关键:正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.n学习要点:学习要点:n1.高阶导数的定义;n2.高阶导数数的求法;n3.特殊函数的n阶导数。第三节第三节 高阶导数高阶导数第第二二章章函函数数的的导
12、导数数与与微微分分一、高阶导数的概念速度速度即即加速度加速度即即引例:变速直线运动变速直线运动定义定义.若函数若函数的导数的导数可导可导,或或即即或类似地类似地 ,二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数,或或的二阶导数的二阶导数,记作记作的导数为的导数为依次类推依次类推 ,分别记作分别记作则称则称所以所以y 3y10 证明 例1 证明证明 函数函数22xxy满足关系式满足关系式013 yy 设设求求解解:依次类推依次类推 ,例2.思考思考:设设问问可得可得例3.设设求求解:特别有特别有:解:规定规定 0!=1例4.设设求求例5
13、.设设解:一般地一般地 ,类似可证类似可证:二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数例6.求解:设则代入莱布尼兹公式,得(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法 利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,例例7.如何求下列函数的如何求下列函数的 n 阶导数阶导数?解:解:(3)解:n学习要点:学习要点:n1.隐函数求导方法;n2.取对数求导法;n3.参数方程所确定的函数求导法。第四节第四节 隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导第第二二章章函函数数的的导导数数与与微微分分一、隐函数的导数显函数与隐函数显函数与隐函数
14、形如形如y f(x)的函数称为显函数的函数称为显函数 例如例如 y sin x y ln x ex 都是显函数都是显函数 由方程由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化叫做隐函数的显化 例如例如 方程方程x y3 1 0确定的隐函数为确定的隐函数为 隐函数的求导法隐函数的求导法 把方程两边分别对把方程两边分别对x x求导数求导数 然后从所得的新的方然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出程中把隐函数的导数解出.例1 求由方程求由方程ey xy e 0所确定的隐函数所确定的隐函数y的导数的导数 (ey)(xy)(
15、e)(0)即即 eyyy+xy0 方程中每一项对方程中每一项对x求导得求导得 解 例2 求由方程求由方程y52yx3x70所确定的隐函数所确定的隐函数yf(x)在在 x0处的导数处的导数y|x0 因为当因为当x 0时时 从原方程得从原方程得y 0 所以所以 5y4y2y121x60方程两边分别对方程两边分别对x求导数得求导数得 解 例3.求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解:椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导故切线方程为故切线方程为即即 解 上式两边再对上式两边再对x x求导求导 得得 的二阶导数的二阶导数 例4 方程两边对方程两边对x求导求导 得 求由方程求由方程0sin
16、21yyx所确定的隐函数所确定的隐函数y 于是于是 ydxdycos22 y f(x)ln f(x)对数求导法适用于求幂指函数对数求导法适用于求幂指函数y u(x)v(x)的导数及的导数及多因子之积和商的导数多因子之积和商的导数 此方法是先在此方法是先在y f(x)的两边取对数的两边取对数 然后用隐函数然后用隐函数求导法求出求导法求出y的导数的导数 设设y f(x)两边取对数两边取对数 得得ln y ln f(x)两边对两边对x 求导求导 得得对数求导法 例5 求求y x sin x(x0)的导数的导数 解法二解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.解
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