研究生计量经济学.pptx
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1、第二章第二章 简单回归模型简单回归模型Chapter Outline 本章大纲Definition of the Simple Regression Model 简单回归模型的定义简单回归模型的定义Deriving the Ordinary Least Squares Estimates 普通最小二乘法的推导普通最小二乘法的推导Mechanics of OLS OLS的操作技巧的操作技巧Units of Measurement and Functional Form测量单位和函数形式测量单位和函数形式Expected Values and Variances of the OLS estima
2、tors OLS估计量的期望值和方差估计量的期望值和方差Regression through the Origin 过原点回归过原点回归 回归分析回归分析(regression analysis)是研究一是研究一个变量关于另一个(些)变量的具体依赖关系个变量关于另一个(些)变量的具体依赖关系的计算方法和理论的计算方法和理论。其用意其用意:在于通过后者的已知或设定值,去在于通过后者的已知或设定值,去估计和(或)预测前者的(总体)均值估计和(或)预测前者的(总体)均值。回归分析的基本概念回归分析的基本概念 回归分析构成计量经济学的方法论基础,其主要内回归分析构成计量经济学的方法论基础,其主要内容包
3、括:容包括:(1)根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计,求得回归方程;回归方程;(2)对回归方程、参数估计值进行显著性检验;(3)利用回归方程进行分析、评价及预测。简单回归模型:简单回归模型:y=b b0+b b1x+u 等式只有一个非常数解释变量。等式只有一个非常数解释变量。我我们们称称之之为为简简单单回回归归模模型型,一一元元线线性性回回归归模模型型.Some Terminology 术语注解术语注解Some Terminology 术语注解术语注解简单回归模型:简单回归模型:y=b b0+b b1x+u y通常被称为通常被称为-因变量因变量(Dependent Variable)-左
4、边变量左边变量(Left-Hand Side Variable)-被解释变量被解释变量(Explained Variable)-回归子回归子(Regressand)-响应变量(响应变量(response variable)-被预测变量(被预测变量(predicted variable)术语注解术语注解简单回归模型:简单回归模型:y=b b0+b b1x+u x通常被称为通常被称为-自变量自变量(independent Variable)-右边变量右边变量(right-Hand Side Variable)-解释变量解释变量(explanatory Variable)-回归元回归元(regres
5、sor)-控制变量(控制变量(control variable)-预测变量(预测变量(predictor variable)术语注解术语注解在简单回归模型:在简单回归模型:y=b b0+b b1x+ub b0,b b1被称为被称为回归系数回归系数(regression coefficients)。)。b b0也被称为也被称为常数项或截矩项常数项或截矩项(intercept term),或,或 截矩参数截矩参数(intercept parameter)。b b1代表了解释变量代表了解释变量x的边际效果,也被成为斜率参的边际效果,也被成为斜率参数(数(slope parameter)。)。术语注解
6、术语注解在简单回归模型:在简单回归模型:y=b b0+b b1x+uu 为误差项为误差项(error term)或扰动或扰动(disturbance)它代表了除了它代表了除了x之外可以影响之外可以影响y的因素。的因素。随机误差项主要包括下列因素的影响:随机误差项主要包括下列因素的影响:1)在解释变量中被忽略的因素的影响;2)变量观测值的观测误差的影响;3)模型关系的设定误差的影响;4)其它随机因素的影响。产生并设计随机误差项的主要原因:产生并设计随机误差项的主要原因:1)理论的含糊性;2)数据的欠缺;3)节省原则。术语注解术语注解线性回归的含义(线性回归的含义(P45):):y 和和x 之间并
7、不一定之间并不一定存在线性关系,但是,只要通过转换可以使存在线性关系,但是,只要通过转换可以使y的的转换形式和转换形式和x的转换形式存在的转换形式存在相对于参数的线性相对于参数的线性关系关系,该模型即称为线性模型。,该模型即称为线性模型。For example,y=eb0+b1x+u.转化为:log(y)=b0+b1x+u For example,For example,简单回归模型例子(例简单回归模型例子(例2.2)A simple wage equationwage=b b0+b b1educ+u 上述简单工资函数描述了受教育年限和工资之间上述简单工资函数描述了受教育年限和工资之间的关系,
8、的关系,educ用受教育的年限来度量用受教育的年限来度量 u:包含了其他非观测因素,如劳动经验、天生素包含了其他非观测因素,如劳动经验、天生素质、任现职时间等。质、任现职时间等。b b1:衡量了在其他条件不变的情况下,多接受一年衡量了在其他条件不变的情况下,多接受一年教育,工资可以增加多少教育,工资可以增加多少.A Simple Assumption关于关于u的假定的假定我们假定总体中误差项我们假定总体中误差项u的平均值为零的平均值为零.:E(u)=0(2.5)思考:该假定是否具有很大的限制性思考:该假定是否具有很大的限制性(restrictive)呢)呢?A Simple Assumptio
9、n关于关于u的假定的假定If for example,E(u)=5.Then y=(b b0+5)+b b1x+(u-5),therefore,E(u)=E(u-5)=0.上述推导说明我们总可以通过调整上述推导说明我们总可以通过调整常数项常数项来实现来实现误差项的均值为零误差项的均值为零,因此该假定的限制性不大因此该假定的限制性不大.Zero Conditional Mean Assumption 条件期望零值假定(条件期望零值假定()y=b b0+b b1x+u 我们需要对我们需要对u和和 x之间的关系做一个关键假之间的关系做一个关键假定。理想状况是对定。理想状况是对x的了解并不增加对的了解
10、并不增加对u的的任何信息。换句话说,我们需要任何信息。换句话说,我们需要u和和 x相互相互独立。独立。E(u|x)=E(u)=0条件期望条件期望令(X,Y)代表一个工人总体,X是受教育程度,Y为小时工资。则:E(Y|x=12):是总体中所有受了12年教育的工人的平均小时工资。E(Y|x=16):是总体中所有受了16年教育的工人的平均小时工资。那么E(Y|X)可能=f(X)Zero Conditional Mean Assumption 条件期望零值假定条件期望零值假定 由于我们已经假定了由于我们已经假定了E(u)=0,因此有,因此有:E(u|x)=E(u)=0.(2.6)思考:该假定是何含义?
11、思考:该假定是何含义?思考:为什么有这种条件期望的假定,而思考:为什么有这种条件期望的假定,而不直接给出不直接给出cov(x,u)=0的形式?的形式?思考:为什么有这种条件期望的假定,而思考:为什么有这种条件期望的假定,而不直接给出不直接给出cov(x,u)=0的形式?的形式?cov(x,u)=0表示不相关,但在统计学中其含表示不相关,但在统计学中其含义是无线性相关,不能保证无非线性相关。义是无线性相关,不能保证无非线性相关。Zero Conditional Mean Assumption 条件期望零值假定条件期望零值假定 简单回归模型:简单回归模型:y=b b0+b b1x+uE(u|x)=
12、E(u)=0.(2.6)(2.6)说明总体回归函数应满足说明总体回归函数应满足 E(y|x)=b b0+b b1x.E(y|x)是是x的线性函数,的线性函数,y的分布以它为中心。的分布以它为中心。.x1=5x2=10E(y|x)=b0+b1xyf(y)给定x时y的条件分布下标的使用惯例:横截面数据 i时间序列数据 t 例例2:一个假想的社区有100户家庭组成,要研究该社区每月家庭消费支出家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入家庭可支配收入X的关系。Population Regression Function,PRF 总体回归函数总体回归函数 为达到此目的,将该100户家庭划分为组内收入差不多的10
13、组,以分析每一收入组的家庭消费支出。(1)由于不确定因素的影响,对同一收入水平X,不同家庭的消费支出不完全相同;(2)但由于调查的完备性,给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的,即以X的给定值为条件的Y的条件分布条件分布(Conditional distribution)是已知的,如:P(Y=561|X=800)=1/4。因此,给定收入X的值Xi,可得消费支出Y的条件条件期望期望(conditional expectation):E(Y|X=Xi)该例中:E(Y|X=800)=605分析:分析:描出散点图发现:随着收入的增加,消费“平均地说平均地说”也在增加,且Y的条件均值均落在一根正斜率的
14、直线上。这条直线称为总体回归线总体回归线。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X(元)每月消费支出Y(元)概念:概念:在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线总体回归线(population regression line),或更一般地称为总体回归曲线总体回归曲线(population regression curve)。称为(双变量)总体回归函数总体回归函数(population regression function,PRF)。相应的函数:例2中,个别家庭的消费支出为:(*
15、)式称为总体回归函数总体回归函数(方程)(方程)PRFPRF的随机设定形式。的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外,还受其他表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外,还受其他因素的随机性影响因素的随机性影响。又称为。又称为总体回归模型总体回归模型。(1)该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi),称为系统性(系统性(systematic)或确定性确定性(deterministic)部分部分。(2)其他随机随机或非确定性非确定性(nonsystematic)部分部分ui。即,给定收入水平Xi,个别家庭的支出可表示为两部分之和:(*)Sample Regression
16、Function,SRF 样本回归函数样本回归函数 问题:问题:能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗?如果可以,如何从抽样中获得总体的近似信息?问:能否从该样本估计总体回归函数PRF?回答:能 例例2.2:在例2.1的总体中有如下一个样本,总体的信息往往无法掌握,现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本。核样本的散点图散点图(scatter diagram):样本散点图近似于一条直线,画一条直线以尽好地拟合该散点图,由于样本取自总体,可以该线近似地代表总体回归线。该线称为样本回归线样本回归线(sample regression lines)。)。记样本回归线的函数形式为:称为样本回归函数
17、样本回归函数(sample regression function,SRF)。这里将样本回归线样本回归线看成总体回归线总体回归线的近似替代 注意:注意:样本回归函数的随机形式样本回归函数的随机形式/样本回归模型样本回归模型:同样地,样本回归函数也有如下的随机形式:由于方程中引入了随机项,称为由于方程中引入了随机项,称为样本回归样本回归模型模型(sample regression model)。回回归归分分析析的的主主要要目目的的:根据样本回归函数SRF,估计总体回归函数PRF。注意:注意:这里PRF可能永远无法知道。即,根据 估计四个概念总体回归模型总体回归函数样本回归模型样本回归函数四个概念
18、总体回归模型总体回归函数样本回归模型样本回归函数估计Deriving the Ordinary Least Squares Estimates 普通最小二乘法的推导普通最小二乘法的推导 回归的基本思想是从样本去估计总体参数。回归的基本思想是从样本去估计总体参数。我们用我们用(xi,yi):i=1,n 来表示一个随机样本,并来表示一个随机样本,并假定每一观测值满足假定每一观测值满足 yi=b b0+b b1xi+ui。估计方法估计方法有多种,其种最广泛使用的是普通普通最小二乘法最小二乘法(ordinary least squares,OLS)。.y4y1y2y3x1x2x3x4u1u2u3u4x
19、yPopulation regression line,sample data pointsand the associated error terms总体回归线,样本观察点和相应误差E(y|x)=b b0+b b1xDeriving OLS Estimates普通最小二乘法的推导普通最小二乘法的推导假定:假定:E(u|x)=E(u)=0 可以得到:可以得到:Cov(x,u)=E(xu)=0 since u=y b b0 b b1x,所以有:所以有:E(y b b0 b b1x)=0 Ex(y b b0 b b1x)=0These are called moment(矩)(矩)restrict
20、ionsDeriving OLS using M.O.M.使用矩方法推导普通最小二乘法使用矩方法推导普通最小二乘法 矩方法是将总体的矩限制应用于样本中。目标是矩方法是将总体的矩限制应用于样本中。目标是通过选择参数值,使得在样本中矩条件也可以成通过选择参数值,使得在样本中矩条件也可以成立。立。The sample versions are as follows:Derivation of OLS普通最小二乘法的推导普通最小二乘法的推导根据样本均值的定义以及加总的性质,可将第一根据样本均值的定义以及加总的性质,可将第一个条件写为个条件写为Derivation of OLS普通最小二乘法的推导普通最
21、小二乘法的推导第二个条件:第二个条件:So the OLS estimated slope is因此因此OLS估计出的斜率为估计出的斜率为思考:条件说明什么?思考:条件说明什么?斜率估计量等于样本中x 和 y 的协方差除以x的方差。若x 和 y 正相关则斜率为正,反之为负。Alternate approach to derivation推导方法二推导方法二 给定一组样本观测值(Xi,Yi)(i=1,2,n)要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法普通最小二乘法(Ordinary least squares,OLS)给出的判断标准是:二者之差的平方和最小方程组(*)称为正规方程组正规
22、方程组(normal equations)为什么不是残差的其他某个函数的最小化?Using Eviews for OLS regressions使用 Eviews 进行OLS回归我们已经推导出公式计算参数的OLS估计值,所幸的是我们不必亲手去计算它们。在Eviews中进行回归非常简单,例2.4 工资和受教育程度526个样本的OLS估计结果:例2.5 投票结果和竞选支出1988年美国众议院173次两党竞选的选举结果:voteA为候选人A所得票数的百分比;shareA为候选人A在竞选支出中所占百分比 Example2.3:CEO Salary and Return on Equity 例:首席执行
23、官的薪水和例:首席执行官的薪水和资本权益报酬率资本权益报酬率Example:CEO Salary and Return on Equity 例:CEO的薪水和资本权益报酬率变量salary衡量了以1000美元为单位的年薪,其最小值,均值和最大值分别如下:(min,mean,max)=(223,1281,14822).Roe净收入/所有者权益,为三年平均值。其最小值,均值和最大值分别为:(0.5,17.18,56.3)salary 对roe的回归方程为:Example:CEO Salary and Return on Equity 例:CEO的薪水和资本权益报酬率对估计量的解释:963.19:常
24、数项的估计值衡量了当roe为零时CEO的薪水。18.5:b1 的估计值反应了ROE若增加一个百分点工资将平均增加18500美元。If roe=30,what is the estimated salary?思考思考:两条线分别代表什么意思?两条线分别代表什么意思?拟合值和残差Salaryhat是拟合值,uhat是残差第二章第二章 简单回归模型(简单回归模型(2)Chapter Outline 本章大纲本章大纲Definition of the Simple Regression Model 简单回归模型的定义简单回归模型的定义Deriving the Ordinary Least Square
25、s Estimates 推导普通最小二乘法的估计量推导普通最小二乘法的估计量Mechanics of OLS OLS的操作技巧的操作技巧Unites of Measurement and Functional Form 测量单位和回归方程形式测量单位和回归方程形式Expected Values and Variances of the OLS estimators OLS估计量的期望值和方差估计量的期望值和方差Algebraic Properties of OLS OLS的代数性质(1)OLS 残差和为零残差和为零(一阶条件(一阶条件)因此因此 OLS 的样本残差平均值也为零的样本残差平均值也
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