第6章弯曲变形.pptx
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1、6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6-3 6-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6-6 6-6 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施6-1 6-1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题一、为何要研究弯曲变形一、为何要研究弯曲变形仅保证构件不会发生破坏,仅保证构件不会发生破坏,但如果构件的变形太大也不能正常工作。但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。、构件的变形限制在允许的范围内。车削加工一等截面构件,车削加工一等截面构件,如果构件的的变
2、形过大,如果构件的的变形过大,会加工成变截面;会加工成变截面;案例案例1:如果钻床的变形过大,如果钻床的变形过大,受工件的反力作用;受工件的反力作用;摇臂钻床简化为刚架,摇臂钻床简化为刚架,不能准确定位。不能准确定位。案例案例2:车间桁吊大梁的变形车间桁吊大梁的变形车间桁吊大梁的过大变形车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难,造成爬坡现象;会使梁上小车行走困难,造成爬坡现象;还会引起较严重的振动;还会引起较严重的振动;案例案例3:桥梁如果产生过大变形桥梁如果产生过大变形楼板、楼板、床、床、双杠横梁双杠横梁等都必须把它们的变形等都必须把它们的变形限制限制在在允许的范围内允许的范围内。屋顶屋顶
3、案例案例4:、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用;才能更好的起到缓和减振的作用;案例案例1:安装在工程机械驾驶室上方的安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过程中有较大的变形要求其在碰撞的过程中有较大的变形吸收落物或碰撞能量,吸收落物或碰撞能量,保证驾驶员的人身安全保证驾驶员的人身安全案例案例2:案例案例3:当今时代汽车工业飞速发展,当今时代汽车工业飞速发展,道路越来越拥挤,道路越来越拥挤,一旦发生碰撞,你认为车身的变形是大好还是小好?一旦发生碰撞,你认为车
4、身的变形是大好还是小好?案例案例4:蹦床蹦床要有大变形,要有大变形,才能积蓄能量,才能积蓄能量,将人体弹射到一定高度。将人体弹射到一定高度。3、研究弯曲变形、研究弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析稳定性分析以及振动分析等方面。以及振动分析等方面。除了除了解决构件的刚度解决构件的刚度外,外,二、弯曲变形的物理量二、弯曲变形的物理量扭转:扭转:F FF F拉伸拉伸弯曲变形的物理量如何?弯曲变形的物理量如何?1 1、挠曲线、挠曲线2 2、挠度、挠度 向上为正向上为正3 3、转角、转角逆时针为正逆时针为正截面形心在力的方向的位移截面形心在力的方向的位移截面绕中性
5、轴转过的角度截面绕中性轴转过的角度弯曲变形的物理量弯曲变形的物理量挠度挠度 弯曲变形的物理量弯曲变形的物理量转角转角+6-2 6-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程2 2、挠曲线方程:、挠曲线方程:1、建立坐标系、建立坐标系Xoy平面平面 就是梁的纵向对称面;就是梁的纵向对称面;在平面弯曲的情况下,变形后梁的轴线将成为在平面弯曲的情况下,变形后梁的轴线将成为xoy面内面内的一条平面曲线;的一条平面曲线;该曲线方程为该曲线方程为:3 3、挠度、转角物理意义、挠度、转角物理意义:挠度的物理意义:挠度的物理意义:挠曲线在该点处的纵坐标;挠曲线在该点处的纵坐标;:转角的物理意义:转角的物理意义过挠曲
6、线上点作挠曲线的切线过挠曲线上点作挠曲线的切线 该切线与水平线的夹角为该切线与水平线的夹角为挠曲线在该点处的切线斜率;挠曲线在该点处的切线斜率;挠曲线方程在该点处的一阶导数;挠曲线方程在该点处的一阶导数;转角的正方向:转角的正方向:从从x x轴正向向切线旋转,逆时针转动为正。轴正向向切线旋转,逆时针转动为正。4 4、挠曲线微分方程、挠曲线微分方程中性层处曲率中性层处曲率:对于对于曲线曲线 y=f(x)在任一点处曲率在任一点处曲率(瑞士科学家(瑞士科学家Jacobi.Jacobi.贝努利得到)贝努利得到)正好为正好为xoy平面内的一条曲线,平面内的一条曲线,平面弯曲的平面弯曲的挠曲线挠曲线所以曲
7、线所以曲线y=f(x)y=f(x):从数学上讲从数学上讲 是一条普通的平面曲线,是一条普通的平面曲线,从力学上讲从力学上讲就是梁发生弯曲变形的挠曲线。就是梁发生弯曲变形的挠曲线。瑞士科学家瑞士科学家Jacbi.Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程;贝努利得到梁的挠曲线微分方程;挠曲线微分方程挠曲线微分方程由于没有采用曲率的简化式,由于没有采用曲率的简化式,且弹性模量且弹性模量E无定量结果,无定量结果,挠曲线微分方程挠曲线微分方程故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。该挠曲线微分方程是该挠曲线微分方程是适用于弯曲变形的任何情况。适用于弯曲变形的任何情况。非线性的
8、,非线性的,5 5、挠曲线、挠曲线近似近似微分方程微分方程在在小变形小变形的条件下,的条件下,挠曲线是一条光滑平坦的曲线,挠曲线是一条光滑平坦的曲线,较小,较小,转角转角故得挠曲线近似微分方程:故得挠曲线近似微分方程:符号规定:符号规定:MM挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线为凹曲线挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线挠曲线为凸曲线弯矩弯矩M与二阶导数与二阶导数符号一致。符号一致。适用范围:适用范围:xxMM小变形。小变形。挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程积分一次:积分一次:转角方程转角方程积分二次:积分二次:挠曲线方程挠曲线方程C C、D D为积分常数,由梁的约束条件决定。为积分常数
9、,由梁的约束条件决定。6-3 6-3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形悬臂梁:悬臂梁:x梁的边界条件梁的边界条件L简支梁:简支梁:xL梁的边界条件梁的边界条件连续性条件:CPABaLx边界条件边界条件连续性条件连续性条件连续性条件:ABLaCMx特别强调特别强调在中间铰两侧转角不同,但挠度却是唯一的。在中间铰两侧转角不同,但挠度却是唯一的。例例1 1:写出梁的边界条件、连续性条件:写出梁的边界条件、连续性条件:xkCPABaL边界条件边界条件连续性条件连续性条件例例2 2:写出梁的边界条件、连续性条件:写出梁的边界条件、连续性条件:hEACPABaL边界条件边界条件连续性条件连续性条件讨论:挠
10、曲线分段讨论:挠曲线分段讨论:挠曲线分段讨论:挠曲线分段(1 1)凡弯矩方程分段处,应作为分段点;)凡弯矩方程分段处,应作为分段点;(2 2)凡截面有变化处,或材料有变化处,应作为分段点;)凡截面有变化处,或材料有变化处,应作为分段点;(3 3)中间铰视为两个梁段间的联系,此种联系体现为两)中间铰视为两个梁段间的联系,此种联系体现为两 部分之间的相互作用力,故应作为分段点;部分之间的相互作用力,故应作为分段点;ABLaCM(4 4)凡分段点处应列出连续条件;)凡分段点处应列出连续条件;根据梁的变形的连续性,对同一截面只可能有唯一确定根据梁的变形的连续性,对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角;
11、的挠度和转角;ABLaCM讨论:挠曲线分段讨论:挠曲线分段讨论:挠曲线分段讨论:挠曲线分段在中间铰两侧转角不同,但挠度却是唯一的。在中间铰两侧转角不同,但挠度却是唯一的。边界条件边界条件连续性条件连续性条件例例1悬臂梁受力如图所示。求悬臂梁受力如图所示。求 和和 。xx取参考坐标系取参考坐标系1、列写弯矩方程、列写弯矩方程2、代入挠曲线近似微分方程中、代入挠曲线近似微分方程中积分一次:积分一次:积分二次:积分二次:转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程AqBL3、确定常数、确定常数C、D.边界条件:边界条件:AqBLAqBL4、计算、计算A截面的挠度和转角截面的挠度和转角A截面处截面处CFABa
12、Lx例例2 一简支梁受力如一简支梁受力如图所示。试求图所示。试求 和和 。1、求支座反力、求支座反力2、分段列出梁的弯矩方程、分段列出梁的弯矩方程bBC段段AC段段xx3、代入各自的挠曲线近似微分方程中、代入各自的挠曲线近似微分方程中4、各自积分、各自积分5、确定积分常数、确定积分常数边界条件:边界条件:连续条件:连续条件:FaLxBC段段AC段段7、求转角、求转角6、挠曲线方程、挠曲线方程6-4 6-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理在在小变形小变形,是线性的;是线性的;材料材料服从胡克定律服从胡克定律的情况下,的情况下,挠曲线的近似微
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