第6章测量误差.pptx

6.1 测量误差概述测量误差概述测量误差及其来源测量误差及其来源测量误差（真误差测量误差（真误差=观测值-真值）测量误差的表现形式测量误差的表现形式（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）测量误差的来源测量误差的来源（1）仪器误差：仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等温度变化、风、大气折光等6.2 测量误差的种类测量误差的种类n测量误差分为：测量误差分为：粗差粗差、系统误差系统误差和和偶然误差偶然误差n1.粗差粗差(错误错误)超限的误差超限的误差n2.系统误差系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按误差出现的大小、符号相同，或按n 规律性变化，具有规律性变化，具有积累性积累性。n例：例：误差误差 处理方法处理方法n 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 ld 计算改正计算改正n 钢尺温度误差钢尺温度误差 lt 计算改正计算改正 n 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差I 操作时抵消操作时抵消(前后视等距前后视等距)n 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C 操作时抵消操作时抵消(盘左盘右取平均盘左盘右取平均)n n系统误差可以消除或减弱系统误差可以消除或减弱。n (计算改正、观测方法、仪器检校计算改正、观测方法、仪器检校)n3.偶然误差偶然误差误差出现的大小、符号各不相同，误差出现的大小、符号各不相同，n 表面看无规律性。表面看无规律性。n 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，n 导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。n4.几个概念几个概念:准确度 (测量成果与真值的差异）精（密）度（观测值之间的离散程度）最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）测量平差（求解最或是值并评定精度）6.3 偶然误差的特性偶然误差的特性n举例举例:n 在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了358个三角形的内个三角形的内n 角之和，得到角之和，得到358个三角形闭合差个三角形闭合差 i(偶然误偶然误n 差，也即真误差差，也即真误差)，然后对三角形闭合差，然后对三角形闭合差 i n 进行分析。进行分析。n 分析结果表明，分析结果表明，当观测次数很多时，偶然当观测次数很多时，偶然n 误差的出现，呈现出统计学上的规律性误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而而n 且，观测次数越多，规律性越明显。且，观测次数越多，规律性越明显。用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计：n频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区n 间的频率间的频率k/n，而所有条形的，而所有条形的总面积等于总面积等于1。n频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，n 对称于对称于y轴。轴。各条形顶边中点连线经光各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律偶然误差的普遍规律 偶然误差的特性偶然误差的特性n从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个四个特性特性：n(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定n 的限值的限值(有界性有界性)；n(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋势性趋势性)；n(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性对称性)；n(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零(抵偿性抵偿性)：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性特性(4)具有实用意义。具有实用意义。偶然误差具有正态分布的特性偶然误差具有正态分布的特性n当观测次数当观测次数n无限增多无限增多(n)、误差区间误差区间d 无限缩小无限缩小n(d 0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，n这条曲线称为这条曲线称为n“正态分布曲正态分布曲n线线”，又称为，又称为n“高斯误差分高斯误差分n布曲线布曲线”。n所以偶然误差所以偶然误差n具有具有正态分布正态分布n的特性。的特性。正态分布曲线 -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 [phone] +6 +12 +18 +24x=y6.4 衡量精度的指标衡量精度的指标1.方差与标准差方差与标准差由正态分布密度函数Y标准差的数学意义标准差的数学意义上式中，称为方差方差：称为标准差标准差：测量工作中，用中误差中误差作为衡量观测值精度的标准。中误差中误差:观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形观测次数观测次数n有限有限时，用时，用中误差中误差m表示偶然误差的离散情形表示偶然误差的离散情形上式中，偶然误差为观测值与真值X之差：i=i-Xnm1=2.7是第一组观测值的中误差；n m2=3.6是第二组观测值的中误差。nm1小于小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较说明第一组观测值的误差分布比较集中集中，n 其其精度较高精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比；相对地，第二组观测值的误差分布比n 较较离散离散，其，其精度较低：精度较低：2.容许误差容许误差(极限误差)n根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概n率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(|m)=0.683=68.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|n3.相对误差相对误差(相对中误差)n 误差绝对值与观测量之比。n用于表示距离距离的精度。n用分子为1的分数表示。n分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。n例例2：用钢尺丈量两段距离分别得用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米米,m1=0.02m；n S2=200米米,m2=0.02m。计算。计算S1、S2的相对误差。的相对误差。0.02 1 0.02 1 K1=；K2=100 5000 200 10000解：解：K2K1，所以距离，所以距离S2精度较高。精度较高。6.5 误差传播定律误差传播定律n n在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。这时函数中误差与观测值中误差必定有一定的关系。本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。一一.观测值的函数观测值的函数例：例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数设有函数为独立独立观测值 (a)对(a)全微分(b)用偶然误差 、代替微量元素 、得：(c)转换成中误差关系式即误差传播定律误差传播定律：(6-5)二二.一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式误差传播定律误差传播定律n通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结求观测值函通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结求观测值函数中误差的步骤数中误差的步骤：n1.列出函数式；列出函数式；n 2.对函数式求全微分；对函数式求全微分；n 3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。n 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数)全微分 得中误差式例：例：量得地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：解：解：列函数式 求全微分 中误差式三三.几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式例例：设有某线性函数设有某线性函数 其中其中 、分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求Z的中误差 。解：解：对上式全微分：由中误差式得：2.线性函数的中误差线性函数的中误差 函数式 全微分 中误差式 3.算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式 由于等精度观测时，代入上式：得 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差当等精度观测时：上式可写成：例例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中误差 。解：解：函数式：全微分：中误差式：观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 例例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？=(1+2+3)-180解：解：由题意：2m=15,则 m=7.5每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m m1515 。四四.误差传播定律的应用误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度 基本公式：求全微分：其中：水平距离中误差：例例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(2)测量高差的精度 基本公式：求全微分：其中：高差中误差：例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差.(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.解:(1)周长 ,全微分:周长的中误差为 面积 ,全微分:面积的中误差为 (2)周长 ;周长的中误差为 面积全微分:但由于 得周长的中误差为 例例4：已知直线MP的坐标方位角=722000，水平距离D=240m。如已知方位角中误差 ，距离中误差 ，求由此引起的P点的坐标中误差 、，以及P点的点位中误差 。XYOxyDMP解：解：由误差传播定律：P点的点位中误差：6.6 同（等）精度直接观测平差同（等）精度直接观测平差n 观测值的算术平均值观测值的算术平均值(最或是值)n 用观测值的改正数用观测值的改正数v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差n (即:白塞尔公式)6.6.1.观测值的观测值的算术平均值算术平均值(最或是值、最可靠值)证明算术平均值为该量的最或是值：设该量的真值为X，则各观测值的真误差为 1=1-X 2=2-X n=n-X上式等号两边分别相加得和：对某未知量未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值为：x=1+2+nnn两边除以n：由当观测无限多次时：得当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。观测值的改正数观测值的改正数v ：Vi=L-i(i=1,2,n)特点特点1 改正数总和为零：改正数总和为零：对上式取和：以 代入：通常用于计算检核L=nv=nL-nv=n -=0v=0特点特点2 vv符合符合“最小二乘原则最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x=n 以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数 v，符合vv=min 的“最小二乘原则”。6.6.2精度评定精度评定用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在 与 中：证明如下证明如下：真误差：真误差：改正数：改正数：由上两式得对上式取n项的平方和其中:中误差定义:白塞尔公式:n算例算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距该距离的算术平均值离的算术平均值；观测值的中误差观测值的中误差 ；算术平均值的算术平均值的中误中误 差差；算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差 ：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。6.7 不同精度直接观测平差n一、权的概念一、权的概念n 权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。n1 权的定义：n设一组不同精度的观测值为l i,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为称Pi为观测值l i 的权。1 1 权的定义：权的定义：权的定义：权的定义：对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：2 权的性质（1 1）权表示观测值的相对精度；）权表示观测值的相对精度；（2 2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；度高；（3 3）权的大小由选定的）权的大小由选定的值确定，但测值权之间权的比例值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个关系不变，同一问题仅能选定一个值。值。二、测量中常用的定权方法二、测量中常用的定权方法1 同精度观测值的权对于一组同精度观测值l i，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定=m2，则一次观测值的权为：n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：同精度观测值算术平均值的权为：n2 单位权与单位权中误差单位权与单位权中误差n对于一组不同精度的观测值l i，一次观测的中误差为mi，设某次观测的中误差为m，其权为P0，选定=m2，则有：数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用表示。对于中误差为mi的观测值，其权为：相应中误差的另一表示方法为n3 水准测量的水准测量的权与测站数成反比权与测站数成反比，或者，或者与路线长度成反比与路线长度成反比。4 4 角度测量的角度测量的权与测回数成正比权与测回数成正比。5 5 距离测量的距离测量的权与长度成反比权与长度成反比三、非等精度观测值的最或是值三、非等精度观测值的最或是值加权平均值加权平均值设对某量进行了n次非等精度观测，观测值分别为l1,l2,ln,其权分别为P1，P2，Pn。则观测量的最或是值为加权平均值：四、加权平均值的中误差四、加权平均值的中误差