功率谱估计模型法模板.pptx
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1、功率谱估计功率谱估计功率谱估计功率谱估计 -参数估计方法参数估计方法参数估计方法参数估计方法周期图法的不足周期图法的不足v估计方法的方差性能差估计方法的方差性能差在功率谱密度计算中没有实现求均值的运算v分辨率低分辨率低样本数据x(n)是有限长的,相当于在无限长样本数据中加载了窗函数(矩形窗、Hanning等)参数模型功率谱估计参数模型功率谱估计vMA模型模型vAR模型模型vARMA模型模型平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型v如果一个宽平稳随机信号如果一个宽平稳随机信号x(n)通过一个线性时不通过一个线性时不变系统变系统(LSI)h(n),则系统输出,则系统输出y(n)也是宽平稳随也是
2、宽平稳随机过程,并且机过程,并且y(n)的功率谱密度和的功率谱密度和x(n)的功率谱的功率谱密度满足下式:密度满足下式:v其中其中Pyy、Pxx分别为系统输出、输入的功率谱密分别为系统输出、输入的功率谱密度,而度,而H(w)为系统脉冲响应的傅立叶变换。为系统脉冲响应的傅立叶变换。平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型v如果系统输入为白噪声信号如果系统输入为白噪声信号u(n),其功率谱密度,其功率谱密度为常数为常数2,则输出信号功率谱密度,则输出信号功率谱密度Pxx(w)完全由完全由系统传递函数系统传递函数|H(w)|2决定,因此我们通过对决定,因此我们通过对H(w)进行建模,从而得到输出
3、信号的功率谱密进行建模,从而得到输出信号的功率谱密度。度。平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型v在上图中,输入在上图中,输入u(n)为白噪声信号,其方差为为白噪声信号,其方差为2,则系统输出,则系统输出x(n)的功率谱密度的功率谱密度Pxx(w)为:为:平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型v因此我们利用确定性系统传递函数因此我们利用确定性系统传递函数H(z)的特性的特性去表征随机信号去表征随机信号x(n)的功率谱密度,称为参数模的功率谱密度,称为参数模型功率谱估计。型功率谱估计。v参数模型功率谱估计的步骤:参数模型功率谱估计的步骤:对H(z)选择合适的模型:MA模型、AR模型、
4、ARMA模型根据已知样本数据x(n),或者x(n)的自相关函数,确定H(z)的参数利用H(z)估计x(n)的功率谱。平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型vH(z)的模型:的模型:AR模型:auto-Regressive此模型只有极点,没有零点,对应其幅度谱结构存在谱峰平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型MA模型:Moving-Average此模型只有零点,没有极点,对应幅度谱结构中存在谱谷点。平稳随机信号的参数模型平稳随机信号的参数模型ARMA模型:此模型同时有零点、极点,对应幅度谱结构中存在谱峰、谱谷系统模型系统模型v对于一阶全极点传递函数对于一阶全极点传递函数传递函数所对应
5、的幅度响应实际上是:v当当a0v当当ap,因此我们利用,因此我们利用p个估计的自相关函数,个估计的自相关函数,可以对可以对mp所有的自相关函数所有的自相关函数rxx(m)进行延拓,进行延拓,从而提高了自相关函数窗的长度,增加了功率从而提高了自相关函数窗的长度,增加了功率谱估计的频域分辨率。谱估计的频域分辨率。AR模型阶数模型阶数p的选择的选择v如果模型的阶数过小,则会增加对功率谱的平如果模型的阶数过小,则会增加对功率谱的平滑作用,降低谱的分辨率滑作用,降低谱的分辨率v但如果阶数太高,虽然会降低预测误差的方差,但如果阶数太高,虽然会降低预测误差的方差,但会导致谱峰的分裂,增加估计误差。但会导致谱
6、峰的分裂,增加估计误差。v这是由于阶数实际上对应于谱结构中的谱峰情这是由于阶数实际上对应于谱结构中的谱峰情况。况。AR模型阶数模型阶数p的选择的选择AR模型阶数模型阶数p的选择的选择AR模型阶数模型阶数p的选择的选择v在进行在进行AR谱估计时,首先需要确定阶数谱估计时,首先需要确定阶数p。p的的选择可以基于以下三种准则进行。选择可以基于以下三种准则进行。v最终预测误差准则最终预测误差准则(FPE)v其中其中k为阶数,为阶数,N为样本数据为样本数据x(n)的长度,而的长度,而k表表示示k阶阶AR模型得到的白噪声方差。模型得到的白噪声方差。v上式最小值对应的阶数为最终选择的阶数。上式最小值对应的阶
7、数为最终选择的阶数。AR模型阶数模型阶数p的选择的选择v阿凯克信息论准则阿凯克信息论准则(AIC)v同样选择使上式最小的同样选择使上式最小的k值作为模型的阶数。值作为模型的阶数。vAIC准测和准测和FPE准则在样本数据准则在样本数据x(n)长度较长时,长度较长时,估计得到的模型阶数相似。对于较短的样本数估计得到的模型阶数相似。对于较短的样本数据,建议使用据,建议使用AIC准则。准则。AR模型阶数模型阶数p的选择的选择v自回归传递函数准则自回归传递函数准则(CAT)v同样使得上式最小的同样使得上式最小的k为模型阶数。为模型阶数。AR模型参数的求解模型参数的求解v自相关法自相关法v利用利用Yule
8、-Walker方程得到方程得到AR模型参数模型参数ai:AR模型参数的求解模型参数的求解vYule-Walker方程中的自相关函数方程中的自相关函数rxx(m)为有偏为有偏估计值:估计值:AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v系数矩阵不仅仅是对称的,而且沿着和主对角系数矩阵不仅仅是对称的,而且沿着和主对角线平行的任意一条对角线上的元素都相等,这线平行的任意一条对角线上的元素都相等,这样的矩阵称为样的矩阵称为Toeplitz矩阵,可以利用矩阵,可以利用Levinson-Durbin递推算法得到递推算法得到p个参数个参数ai以及方差以及方差2。AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v如果采用
9、有偏估计得到自相关函数,就可以利如果采用有偏估计得到自相关函数,就可以利用用Levinson-Durbin高效的求解高效的求解AR模型参数,并模型参数,并且可以保证求解的系数且可以保证求解的系数ai在单位圆内,即保证在单位圆内,即保证AR模型的稳定性。这种方法称为自相关法模型的稳定性。这种方法称为自相关法v同时自相关法计算的白噪声信号功率会随着阶同时自相关法计算的白噪声信号功率会随着阶数的增加而减小或者保持不变。数的增加而减小或者保持不变。AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v但自相关法也存在一定的问题,由于在求解自但自相关法也存在一定的问题,由于在求解自相关函数的时候,进行了矩形加窗处理
10、,降低相关函数的时候,进行了矩形加窗处理,降低了分辨率。了分辨率。v同时当样本数据长度较短时,估计误差会比较同时当样本数据长度较短时,估计误差会比较大,出现谱峰偏移和谱线分裂。大,出现谱峰偏移和谱线分裂。AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v协方差法协方差法AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v其中的自相关函数为:其中的自相关函数为:v同时白噪声的方差为:同时白噪声的方差为:AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v计算自相关函数时,样本数据的取值范围与自计算自相关函数时,样本数据的取值范围与自相关法不同,这样保证了不对样本数据进行矩相关法不同,这样保证了不对样本数据进行矩形窗的截断,
11、因此如果样本函数的长度较短时,形窗的截断,因此如果样本函数的长度较短时,可以获得比自相关法更好的谱分辨率。如果样可以获得比自相关法更好的谱分辨率。如果样本函数的长度远远大于阶数本函数的长度远远大于阶数p时,自相关法和协时,自相关法和协方差法的性能是差不多的。方差法的性能是差不多的。v同时协方差法求解的是非同时协方差法求解的是非Toeplitz阵,不能用迭阵,不能用迭代的方法计算,因此运算复杂度较大。同时也代的方法计算,因此运算复杂度较大。同时也不能像自相关法一样保证不能像自相关法一样保证AR模型的稳定性。模型的稳定性。AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v修正的协方差法修正的协方差法v与协
12、方差法类似,自相关函数的求解修正为:与协方差法类似,自相关函数的求解修正为:v同时估计的白噪声方差为:同时估计的白噪声方差为:AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度v修正的协方差法从线性预测的角度分析,实际修正的协方差法从线性预测的角度分析,实际上是同时进行前向、后向预测,因此其估计谱上是同时进行前向、后向预测,因此其估计谱的分辨率比较高,谱峰的偏移也比较小。的分辨率比较高,谱峰的偏移也比较小。v但缺点同样是需要求解非但缺点同样是需要求解非Toeplitz阵,计算比较阵,计算比较复杂。复杂。AR模型估计功率谱密度模型估计功率谱密度vBurg递推法递推法以上提到的自相关法、协方差法和修正的协方
13、差以上提到的自相关法、协方差法和修正的协方差都要估计样本数据的自相关函数,如果能免去都要估计样本数据的自相关函数,如果能免去自相关函数的求解,从而直接根据样本函数得自相关函数的求解,从而直接根据样本函数得到到AR模型参数模型参数ai,从而可以减少中间步骤,提,从而可以减少中间步骤,提高谱估计的性能。同时采用前向、后向线性预高谱估计的性能。同时采用前向、后向线性预测。测。这种算法对短数据的功率谱估计比自相关函数法这种算法对短数据的功率谱估计比自相关函数法要准确。要准确。应用应用v针对含噪正弦信号针对含噪正弦信号v数据数据64点,采用分段平均周期图法和点,采用分段平均周期图法和AR模型模型应用应用
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