江西专版2020中考数学复习方案第六单元圆课时训练24圆的有关概念与性质.docx

课时训练(二十四)　圆的有关概念与性质
(限时:45分钟)

|夯实基础|
1.[2019·凉山州]下列命题:①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;②两点之间线段最短;③相等的圆心角所对的弧相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中,真命题的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.[2019·衢州]一块圆形宣传标志牌如图K24-1,点A,B,C在☉O上,CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8 dm,DC=2 dm,则圆形标志牌的半径为 (　　)

图K24-1
A.6 dm B.5 dm C.4 dm D.3 dm
3.[2019·宜昌]如图K24-2,点A,B,C均在☉O上,当∠OBC=40°时,∠A的度数是 (　　)

图K24-2
A.50° B.55° C.60° D.65°
4.[2019·滨州]如图K24-3,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为 (　　)

图K24-3
A.60° B.50° C.40° D.20°
5.[2019·十堰]如图K24-4,四边形ABCD内接于☉O,AE⊥CB交CB的延长线于点E,若BA平分∠DBE,AD=5,CE=13,则AE= (　　)

图K24-4
A.3 B.33 C.43 D.23
6.[2019·襄阳]如图K24-5,AD是☉O的直径,BC是弦,四边形OBCD是平行四边形,AC与OB相交于点P,下列结论错误的是 (　　)

图K24-5
A.AP=2OP B.CD=2OP C.OB⊥AC D.AC平分OB
7.[2019·湖州]已知一条弧所对的圆周角的度数为15°,则它所对的圆心角的度数是　　　　. 
8.[2019·嘉兴]如图K24-6,在☉O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连接OC,过点C作CD⊥OC交☉O于点D,则CD的最大值为　　　　. 

图K24-6
9.[2019·安徽]如图K24-7,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D,若☉O的半径为2,则CD的长为　　　　. 

图K24-7
10.[2019·株洲]如图K24-8,AB为☉O的直径,点C在☉O上,且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB相交于点E,满足∠AEC=65°,连接AD,则∠BAD=　　　　. 

图K24-8
11.[2019·台州]如图K24-9,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连接AE,若∠ABC=64°,则∠BAE的度数为　　　　. 

图K24-9
12.[2019·盐城]如图K24-10,点A,B,C,D,E在☉O上,且AB为50°,则∠E+∠C=　　　　. 

图K24-10
13.[2019·南京]如图K24-11,☉O的弦AB,CD的延长线相交于点P,且AB=CD.
求证:PA=PC.

图K24-11

14.[2019·上饶广丰一模]如图K24-12,AB,AD是圆O的弦,△ABC是等腰直角三角形,△ADC≌△AEB,请仅用无刻度直尺作图.
(1)在图K24-12①中作出圆心O;
(2)在图K24-12②中过点B作BF∥AC.

图K24-12

15.[2019·安徽]筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图K24-13①,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图K24-13②,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.
(参考数据:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)

图K24-13

|拓展提升|
16.[2019·梧州]如图K24-14,在半径为13的☉O中,弦AB与CD交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD的长是 (　　)

图K24-14
A.26 B.210 C.211 D.43
17.[2019·绥化]半径为5的☉O是锐角三角形ABC的外接圆,AB=AC,连接OB,OC,延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为　　　　. 

【参考答案】
1.A
2.B　[解析]如图,连接OD,OB,则O,C,D三点在一条直线上.因为CD垂直平分AB,AB=8 dm,所以BD=4 dm.设☉O的半径为r,则OD=(r-2)dm.由勾股定理得42+(r-2)2=r2,解得r=5 dm,故选B.

3.A　[解析]∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=40°,∴∠BOC=180°-40°-40°=100°,∴∠A=12∠BOC=50°.故选A.
4.B　[解析]连接AD.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角,
∴∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°-40°=50°.故选B.
5.D　[解析]连接AC,如图.

∵BA平分∠DBE,∴∠1=∠2.∵∠1=∠CDA,∠2=∠3,∴∠3=∠CDA,∴AC=AD=5.
∵AE⊥CB,∴∠AEC=90°,
∴AE=AC2-CE2=52-(13)2=23.
6.A　[解析]∵AD是☉O的直径,∴∠ACD=90°.∵四边形OBCD是平行四边形,∴CD∥OB,CD=OB,∴∠CPO=90°,即OB⊥AC,选项C正确;又∵O是AD的中点,∴OP是△ACD的中位线,∴CD=2OP,∴选项B正确;∵CD=OB=2OP,即P是OB的中点,∴AC平分OB,选项D正确;AP与OP之间的数量关系无法得出,选项A错误.
7.30°
8.12　[解析]连接OD.因为CD⊥OC,则有CD=OD2-OC2.根据题意可知圆半径一定,故当OC最小时,CD最大,故当OC⊥AB时,CD=BC=12AB=12最大.
9.2　[解析] 连接CO并延长交☉O于E,连接BE,

则∠E=∠A=30°,∠EBC=90°.
∵☉O的半径为2,
∴CE=4,∴BC=12CE=2.
∵CD⊥AB,∠CBA=45°,
∴CD=22BC=2,故答案为2.
10.20°　[解析]如图,连接DO.

∵CO⊥AB,∴∠COB=90°.∵∠AEC=65°,∴∠C=25°,
∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°,△DCO中,∠DOC=130°,∴∠DOB=40°,∵2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°.
11.52°　[解析]∵圆内接四边形ABCD,∴∠B+∠D=180°.∵∠B=64°,∴∠D=116°.
又∵点D关于AC的对称点是点E,
∴∠D=∠AEC=116°.
又∵∠AEC=∠B+∠BAE,∴∠BAE=52°.
12.155°　[解析]如图,连接OA,OB,AE,

由AB为50°可知∠AOB=50°.又∠AOB和∠AEB分别为AB所对的圆心角和圆周角,故∠AEB=25°.又四边形AEDC是☉O的内接四边形,所以∠ACD+∠AED=180°.又∠AEB=25°,可得∠ACD+∠BED=180°-25°=155°.
13.证明:连接AC,如图.

∵AB=CD,
∴AB=CD,
∴AB+BD=BD+CD,即AD=CB,
∴∠C=∠A,
∴PA=PC.
14.解:作图如下:

15.解:如图,连接CO并延长,交AB于点D,则CD⊥AB,且D为AB的中点,

所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.
在Rt△AOD中,∵AD=12AB=3(米),∠OAD=41.3°,
∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64(米),OA=ADcos41.3°≈30.75=4(米),
∴CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64(米).
答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.
16.C　[解析]如图,过点O作OF⊥CD于点F,OG⊥AB于G,连接OE,OB,OD.

由垂径定理得DF=CF,AG=BG=12AB=3,得EG=AG-AE=2.由勾股定理得OG=OB2-BG2=2,
∴△EOG是等腰直角三角形,∴∠OEG=45°,OE=2OG=22,
∴∠OEF=30°,由直角三角形的性质得出OF=12OE=2.由勾股定理得出DF=11,CD=211.
17.53或52　[解析]如图①,当∠ODB=90°,即CD⊥AB时,AD=BD,∴AC=BC.
又∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴∠DBO=30°.∵OB=5,∴BD=32OB=532,∴BC=AB=53.
如图②,当∠DOB=90°时,∠BOC=90°,∴△BOC是等腰直角三角形,∴BC=2OB=52.
综上所述:若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为53或52.

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