福建专版2020中考数学复习方案中考中级练06.docx

中考中级练(六)
限时:30分钟　满分:24分

1.(12分)如图X6-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;
(3)若BE=8,sinB=513,求DG的长.

图X6-1

2.(12分)如图X6-2,在平面直角坐标系中,点A(0,6),点B是x轴正半轴上的一个动点,连接AB,取AB的中点M,将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°,得到线段BC.过点B作BD⊥x轴交直线AC于点D.设点B坐标是(t,0).
(1)当t=4时,求直线AB的解析式.
(2)①用含t的代数式表示点C的坐标:　　　　; 
②当△ABD是等腰三角形时,求点B的坐标.

图X6-2

【参考答案】
1.解:(1)证明:如图,连接OD,

∵AD为∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC,
∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,∴OD⊥BC,∴BC为☉O的切线.
(2)连接DF,由(1)知BC为☉O的切线,
∴∠FDC=∠DAF,∴∠CDA=∠CFD,
∴∠AFD=∠ADB,
∵∠BAD=∠DAF,∴△ABD∽△ADF,
∴ABAD=ADAF,即AD2=AB·AF=xy,
则AD=xy.
(3)连接EF,在Rt△BOD中,sinB=ODOB=513,
设圆的半径为r,可得rr+8=513,
解得r=5,∴AE=10,AB=18,
∵AE是直径,∴∠AFE=∠C=90°,
∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B,
∴sin∠AEF=AFAE=513,
∴AF=10×513=5013,
∵AF∥OD,
∴AGDG=AFOD=50135=1013,则DG=1323AD,
∵AD=AB·AF=18×5013=301313,
∴DG=1323×301313=301323.
2.解:(1)当t=4时,B(4,0).
设直线AB的解析式为y=kx+b.
将A(0,6),B(4,0)代入,得:
b=6,4k+b=0,解得k=-32,b=6,
∴直线AB的解析式为y=-32x+6.
(2)①t+3,t2
②分三种情况进行分类讨论:
ⅰ.AD=BD,则∠BAD=∠ABD.
∵BD∥y轴,
∴∠OAB=∠ABD,
∴∠OAB=∠BAD.
∴tan∠OAB=tan∠BAD,
又∵∠AOB=∠ABC=90°,
∴OBAO=BCAB=12,即t6=12,∴t=3.
此时点B的坐标为(3,0).
ⅱ.若AB=AD.
方法一:设直线AC的解析式为y=mx+6,
∵点C的坐标为t+3,t2,
∴m(t+3)+6=t2,
∴m=t-122t+6,∴y=t-122t+6x+6,
∴当x=t时,y=t2+362t+6,
∴BD=t2+362t+6,
由题意得BD=2AO,∴t2+362t+6=12,
∴t2-24t=36,∴t1=12+65,t2=12-65(舍去).
方法二:过点C作x轴的垂线,交x轴于点E,交直线AB于点G,
过点A作AH⊥CG于H,则CH=HG=12CG.

∵∠GEB=∠AOB=90°,∠GBE=∠ABO,
∴△GEB∽△AOB.
∴GEBE=AOBO,
∴GE=6t×3=18t.
又∵HE=AO=6,CE=t2,GE+HE=HG=12CG=12(CE+GE).
∴18t+6=12t2+18t,整理得t2-24t-36=0.
解得t1=12+65,t2=12-65<0(舍去).
此时点B的坐标为(12+65,0).
ⅲ.当0<t<12时,∠ADB是钝角,△ADB是钝角三角形,故BD≠AB.
当t≥12时,BD≤CE<BC<AB.
∴当t>0时,不存在BD=AB的情况.
综上,点B的坐标为(3,0)或(12+65,0).

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