呼和浩特专版2020中考数学复习方案提分专练04解直角三角形的应用试题.docx

提分专练(四)　解直角三角形的应用

|类型1|　仰角、俯角问题
1.[2019·天津]如图T4-1,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数).
(参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)

图T4-1

2.[2019·永州]为了测量某山(如图T4-2所示)的高度,甲在山顶A测得C处的俯角为45°,D处的俯角为30°,乙在山下测得C,D之间的距离为400米.已知B,C,D在同一水平面的同一直线上,求山高AB.(可能用到的数据:2≈1.414,3≈1.732)

图T4-2

|类型2|　坡度、坡角问题
3.[2019·潍坊]自开展“全民健身运动”以来,喜欢户外步行健身的人越来越多.为方便群众步行健身,某地政府决定对一段如图T4-3①所示的坡路进行改造.如图②所示,改造前的斜坡AB=200米,坡度为1∶3.将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为1∶4.求斜坡CD的长.(结果保留根号)

图T4-3

4.[2019·天水]某地的一座人行天桥如图T4-4所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1∶1,文化墙PM在天桥底部正前方8米(PB的长)处,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1∶3.(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
(1)若新坡面坡角为α,求坡角α的度数;
(2)有关部门规定,文化墙距天桥底部小于3米时应拆除,天桥改造后,该文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.

图T4-4

|类型3|　方位角问题
5.[2019·海南]图T4-5是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.
(1)填空:∠BAC=　　　　度,∠C=　　　　度; 
(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).

图T4-5

6.[2019·资阳]如图T4-6,南海某海域有两艘外国渔船A,B在小岛C的正南方向同一处捕鱼.一段时间后,渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处.
(1)求渔船B航行的距离;
(2)此时,在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船,其中B渔船在点D的南偏西60°方向,A渔船在点D的西南方向,我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域.请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离.(注:结果保留根号)

图T4-6

|类型4|　实物模型类问题
7.[2019·嘉兴]某挖掘机的底座高AB=0.8米,动臂BC=1.2米,CD=1.5米,BC与CD的固定夹角∠BCD=140°.初始位置如图T4-7①,斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E,测得∠CDE=70°(示意图②).工作时如图③,动臂BC会绕点B转动,当点A,B,C在同一直线上时,斗杆顶点D升至最高点(示意图④).
(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数;
(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米?(精确到0.1米)
(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,3≈1.73)

图T4-7

【参考答案】
1.解:根据题意,∠CAD=31°,∠CBD=45°,∠CDA=90°,AB=30,
∵在Rt△ACD中,tan∠CAD=CDAD,
∴AD=CDtan31°.
∵在Rt△BCD中,tan∠CBD=CDBD,
∴BD=CDtan45°=CD,
∵AD=BD+AB,
∴CDtan31°=30+CD,∴CD=45.
答:这座灯塔的高度CD约为45 m.
2.解:由题意知:∠ACB=45°,∠ADB=30°,
设AB=x,则BC=x,
在Rt△ABD中,tan∠ADB=ABBD,
∴tan30°=xx+400,
∴33=xx+400,
解得x=2003+200≈546.4.
答:山高AB为546.4米.
3.解:在Rt△ABE中,
∵tan∠ABE=1∶3,
∴∠ABE=30°.
∵AB=200米,
∴AE=12AB=100米.
∵AC=20米,
∴CE=100-20=80(米).
在Rt△CDE中,
∵tanD=1∶4,
∴sinD=1717.
∴CECD=1717.
∴CD=8017(米).
答:斜坡CD的长是8017米.
4.解:(1)∵新坡面坡角为α,新坡面的坡度为1∶3,
∴tanα=13=33,
∴α=30°.
(2)该文化墙PM不需要拆除.
理由:作CD⊥AB于点D,则CD=6米,

∵新坡面的坡度为1∶3,
∴tan∠CAD=CDAD=6AD=13,
解得AD=63(米),
∵坡面BC的坡度为1∶1,CD=6米,
∴BD=6米,
∴AB=AD-BD=(63-6)米,
又∵PB=8米,
∴PA=PB-AB=8-(63-6)=14-63≈14-6×1.732≈3.6(米)>3米,
∴该文化墙PM不需要拆除.
5.解:(1)30　45　[解析]∵小岛C在码头A的北偏西60°方向上,
∴∠BAC=30°,
在△ABC中,∠ABC=90°+15°=105°,
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°.
(2)设BP=x海里,则在Rt△BCP中,CP=BP=x,
在Rt△ABP中,AP=3BP=3x,
∵AC=10,∴3x+x=10,
∴x=53-5.
答:观测站B到AC的距离为(53-5)海里.
6.解:(1)由题意得,∠CAB=30°,∠ACB=90°,BC=20,
∴AB=2BC=40海里.
答:渔船B航行的距离是40海里.
(2)如图,过B作BE⊥AE于E,过D作DH⊥AE于H,延长CB交DH于G,

则四边形AEBC和四边形BEHG都是矩形,
∴BE=GH=AC=20×3=203,AE=BC=20,
设BG=EH=x,则AH=x+20,
由题意得,∠BDG=60°,∠ADH=45°,
∴DG=33x,DH=AH,
∴203+33x=x+20,解得:x=203,
∴BG=203,AH=20+203,
∴BD=BG32=40,AD=2AH=202+206.
答:中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里,到外国渔船A的距离是(202+206)海里.
7.解:(1)如图①,过点C作CG⊥AM于点G,

∵AB⊥AM,DE⊥AM,∴AB∥DE∥CG,
∴∠DCG=180°-∠CDE=110°.
∴∠BCG=∠BCD-∠DCG=30°.
∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.
∴动臂BC与AB的夹角∠ABC为150°.
(2)如图②,过点C作CP⊥DE于点P,过点B作BQ⊥DE于点Q,交CG于点N.

在Rt△CPD中,DP=CD·cos70°≈0.51(米),
在Rt△BCN中,CN=BC·sin60°≈1.04(米),
∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35(米),
如图③,过点D作DH⊥AM于点H,过点C作CK⊥DH于点K.

在Rt△CKD中,DK=CD·sin50°≈1.16(米),
∴DH=DK+KH=3.16(米),
∴DH-DE≈0.8(米).
∴斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米.

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