福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练23相似三角形的应用.docx

课时训练(二十三)　相似三角形的应用
(限时:30分钟)

|夯实基础|
1.[2019·三明质检]如图K23-1,已知DE为△ABC的中位线,△ADE的面积为3,则四边形DECB的面积为 (　　)

图K23-1
A.6 　　　　　　 B.8
C.9 　　　　　　 D.12
2.[2018·滨州]在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2).若以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的12后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为 (　　)
A.(5,1) B.(4,3)
C.(3,4) D.(1,5)
3.[2019·眉山]如图K23-2,一束光线从点A(4,4)出发,经y轴上的点C反射后,经过点B(1,0),则点C的坐标是 (　　)

图K23-2
A.0,12 B.0,45
C.(0,1) D.(0,2)
4.[2019·乐山]把边长分别为1和2的两个正方形按如图K23-3的方式放置.则图中阴影部分的面积为 (　　)

图K23-3
A.16 B.13
C.15 D.14

5.[2019·凉山州]如图K23-4,在△ABC中,D在AC边上,AD∶DC=1∶2,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于E,则BE∶EC= (　　)

图K23-4
A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.2∶3
6.如图K23-5,一张矩形纸片ABCD的长AB=a,宽BC=b.将纸片对折,折痕为EF,所得矩形AFED与矩形ABCD相似,则a∶b= (　　)

图K23-5
A.2∶1
B.2∶1
C.3∶3
D.3∶2
7.在如图K23-6所示的相似四边形中,未知边x=　　　　. 

图K23-6
8.[2019·东营广饶县二模]如图K23-7,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC放大到原来的2倍.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是　　　　.(用含a的式子表示) 

图K23-7

9.[2019·晋江一模]在我国古代数学著作《九章算术》中,有一名题如下:今有木去人不知远近,立四表,相去各一丈,令左两表与所望参相直,从后右表望之,入前右表三寸.问木去人几何?可译为:有一棵树C与人(A处)相距不知多远,立四根标杆A,B,G,E,前后左右的距离各为1丈(即四边形ABGE是正方形,且AB=100寸),使左两标杆A,E与所观察的树C三点成一直线.又从后右方的标杆B观察树C,测得其“入前右表”3寸(即FG=3寸),问树C与人所在的A处的距离有多远?

图K23-8

|能力提升|
10.[2019·常德]如图K23-9,在等腰三角形ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是 (　　)

图K23-9
A.20 B.22 C.24 D.26
11.[2019·.福州质检]如图K23-10,等边三角形ABC的边长为5,D,E分别是边AB,AC上的点,将△ADE沿DE折叠,点A恰好落在BC边上的点F处,若BF=2,则BD的长是 (　　)

图K23-10
A.247 B.218 C.3 D.2
12.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成正方形零件,如图K23-11①,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)求证:△AEF∽△ABC;
(2)求这个正方形零件的边长;
(3)如果把它加工成矩形零件,如图②,问这个矩形的最大面积是多少?

图K23-11

|思维拓展|
13.[2019·眉山]如图K23-12,在菱形ABCD中,已知AB=4,∠ABC=60°,∠EAF=60°,点E在CB的延长线上,点F在DC的延长线上,有下列结论:①BE=CF;②∠EAB=∠CEF;③△ABE∽△EFC;④若∠BAE=15°,点F到BC的距离为23-2,其中正确结论的个数是 (　　)

图K23-12
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.[2019·长沙]根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.
(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).
①四条边成比例的两个凸四边形相似;(　　　　命题) 
②三个角分别相等的两个凸四边形相似;(　　　　命题) 
③两个大小不同的正方形相似.(　　　　命题) 
(2)如图K23-13①②,在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1,求证:四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
(3)如图③,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,过点O作EF∥AB分别交AD,BC于点E,F.记四边形ABFE的面积为S1,四边形EFCD的面积为S2,若四边形ABFE与四边形EFCD相似,求S2S1的值.

图K23-13

【参考答案】
1.C
2.C　[解析]根据题意得点C的坐标为6×12,8×12,即C(3,4).
3.B　[解析]过点A作AD⊥y轴于点D,
∵∠ADC=∠COB=90°,∠ACD=∠BCO,
∴△OBC∽△DAC,∴OCOB=DCAD,
∴OC1=4-OC4,解得:OC=45,
∴点C0,45,故选B.
4.A　[解析]∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形,∴AD=DC=1,CE=2,AD∥CE,∴△ADH∽△ECH,∴ADCE=DHCH,∴12=DH1-DH,解得DH=13,∴阴影部分的面积为12×13×1=16,故选A.
5.B　[解析]如图,过点D作DF∥AE交BC于点F,

则BEEF=BOOD=1,EFFC=ADCD=12,∴BE∶EF∶FC=1∶1∶2,
∴BE∶EC=1∶3.故选B.
6.B
7.27　[解析]根据题意得:1812=x18,解得x=27.
8.-12(a+3)　[解析]设点B的横坐标为x,
则B,C间的横坐标的长度为-1-x,B',C间的横坐标的长度为a+1,
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C,
∴2(-1-x)=a+1,
解得x=-12(a+3).
9.解:∵四边形ABGE是正方形,
∴∠A=∠G=90°,AE∥BG,
∴∠ACB=∠GBF.∴△BAC∽△FGB.
∴ABGF=ACGB.
又AB=BG=100寸,FG=3寸.
∴1003=AC100.
解得AC=100003.
答:树C与人所在的A处的距离为100003寸.
10.D　[解析]∵图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为1,△ABC的面积为42,∴最小的三角形与△ABC的相似比为142.
∵△ADE∽△ABC,∴S△ADES△ABC=DEBC2.
∵DEBC=4×142=442,∴S△ADES△ABC=1642=821,
∴S△ADE=821×42=16,∴四边形DBCE的面积=S△ABC-S△ADE=26,故选项D正确.
11.B　[解析]∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=5.
∵沿DE折叠点A落在BC边上的点F处,
∴△ADE≌△FDE,
∴∠DFE=∠A=60°,AD=DF,AE=EF,
设BD=x,则AD=DF=5-x,设CE=y,则AE=5-y.
∵BF=2,BC=5,∴CF=3.
∵∠C=60°,∠DFE=60°,
∴∠EFC+∠FEC=120°,∠DFB+∠EFC=120°,
∴∠DFB=∠FEC.
∵∠C=∠B,
∴△DBF∽△FCE.
∴BDCF=BFCE=DFEF,
即x3=2y=5-x5-y,
解得:x=218,
即BD=218,
故选:B.
12.解:(1)证明:∵四边形EGHF为正方形,
∴BC∥EF,∴△AEF∽△ABC.
(2)设正方形零件的边长为a mm,
在正方形EFHG中,EF∥BC.
∵AD⊥BC,∴AK⊥EF.
∵△AEF∽△ABC,
∴a120=80-a80,解得a=48,
∴正方形零件的边长为48 mm.
(3)设EG=x mm,矩形EGHF的面积为y mm2,
∵△AEF∽△ABC,
∴EF120=80-x80,∴EF=32(80-x),
∴y=32(80-x)·x=-32(x-40)2+2400,
∴当x=40时,y最大,且最大值为2400,
∴矩形EGHF的最大面积为2400 mm2.
13.B　[解析]如图,连接AC,

在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∵∠EAF=60°,∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°,即∠EAB=∠CAF.∵∠ABE=∠ACF=120°,∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF,故①正确;由△ABE≌△ACF,可得AE=AF,∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°,∴∠AEB+∠CEF=60°,∵∠AEB+∠EAB=60°,∴∠CEF=∠EAB,故②正确;在△ABE中,∠AEB<60°,∠ECF=60°,∴③错误;过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,∴∠AEB=45°.在Rt△AGB中,∵∠ABC=60°,AB=4,
∴BG=12AB=2,AG=3BG=23.在Rt△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,∴AG=GE=23,∴EB=EG-BG=23-2.由前证可知,△ABE≌△ACF,∴AE=AF,EB=CF=23-2,
在Rt△CHF中,∵∠HCF=180°-∠BCD=60°,CF=23-2,∴FH=CF·sin60°=(23-2)×32=3-3.
∴点F到BC的距离为3-3.故④错误.故选B.
14.解:(1)①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等;②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例;③两个大小不同的正方形相似,是真命题.故答案为:假,假,真.
(2)如图①②,分别连接BD,B1D1,

∵∠BCD=∠B1C1D1,BCB1C1=CDC1D1,
∴△BCD∽△B1C1D1,
∴∠CBD=∠C1B1D1,∠CDB=∠C1D1B1,BCB1C1=BDB1D1,
又∵∠ABC=∠A1B1C1,ABA1B1=BCB1C1,
∴∠ABD=∠A1B1D1,ABA1B1=BDB1D1,
∴ABA1B1=ADA1D1,
∠ADB=∠A1D1B1,∠DAB=∠D1A1B1,
∴ABA1B1=BCB1C1=CDC1D1=ADA1D1,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,∠ADC=∠A1D1C1,∠DAB=∠D1A1B1,
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
(3)∵四边形ABFE与四边形EFCD相似,
∴DEAE=EFAB,
∵EF=OE+OF,∴DEAE=OE+OFAB,
∵EF∥AB∥CD,∴DEAD=OEAB,DEAD=OCAC=OFAB,
∴DEAD+DEAD=OEAB+OFAB,∴2DEAD=DEAE,
∵AD=DE+AE,∴2DE+AE=1AE,
∴2AE=DE+AE,即AE=DE,∴S1S2=1.

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