呼和浩特专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练22锐角三角函数及其应用试题.docx

课时训练(二十二)　锐角三角函数及其应用
(限时:40分钟)

|夯实基础|
1.[2019·天津]2sin60°的值等于 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.2
2.[2019·凉山州]如图K22-1,在△ABC中,CA=CB=4,cosC=14,则sinB的值为 (　　)

图K22-1
A.102 B.153 C.64 D.104
3.[2018·宜昌]如图K22-2,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边PA的垂线PB上取一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于 (　　)

图K22-2
A.100sin35°米
B.100sin55°米
C.100tan35°米
D.100tan55°米
4.[2019·金华]如图K22-3,矩形ABCD的对角线交于点O,已知AB=m,∠BAC=α,下列结论错误的是 (　　)

图K22-3
A.∠BDC=α
B.BC=m·tanα
C.AO=m2sinα
D.BD=mcosα

5.[2019·杭州]如图K22-4,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于 (　　)

图K22-4
A.asinx+bsinx B.acosx+bcosx
C.asinx+bcosx D.acosx+bsinx
6.如图K22-5,一渔船由西向东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,前进40海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD是 (　　)

图K22-5
A.20海里 B.40海里 C.203海里 D.403海里
7.[2018·凉山州]如图K22-6,无人机在A处测得正前方河流两岸B,C的俯角分别为α=70°,β=40°,此时无人机的高度是h,则河流的宽度BC为 (　　)

图K22-6
A.h(tan50°-tan20°) 　 B.h(tan50°+tan20°)
C.h1tan70°-1tan40° D.h1tan70°+1tan40°
8.[2019·乐山]如图K22-7,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,cosC=35,则AB边的长为　　　　. 

图K22-7
9.[2019·杭州]在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC=　　　　. 

图K22-8
10.[2019·德州]如图K22-8,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,那么AC的长度约为　　　　米.(sin70°≈0.94, sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64) 
11.[2019·贺州]如图K22-9,在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻,到达C处时接到命令,立刻在C处沿东南方向以20海里/时的速度行驶3小时到达港口B.求A,B间的距离.(3≈1.73,2≈1.4,结果保留一位小数)

图K22-9

12.[2019·梧州]如图K22-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,AB=5,BD=1,tanB=34.
(1)求AD的长;
(2)求sinα的值.

图K22-10

13.[2019·青岛]如图K22-11,某旅游景区为方便游客,修建了一条东西走向的木栈道AB,栈道AB与景区道路CD平行.在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向,在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向.已知CD=120 m,BD=80 m,求木栈道AB的长度(结果保留整数).
参考数据:sin32°≈1732,cos32°≈1720,tan32°≈58,sin42°≈2740,cos42°≈34,tan42°≈910

图K22-11

|拓展提升|
14.[2019·张家界]如图K22-12,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD=　　　　. 

图K22-12
15.[2019·淄博]如图K22-13,在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将∠B折起,使点B落在AC边上的点D(不与点A,C重合)处,折痕是EF.
如图①,当CD=12AC时,tanα1=34;
如图②,当CD=13AC时,tanα2=512;
如图③,当CD=14AC时,tanα3=724;
……
依次类推,当CD=1n+1AC(n为正整数)时,tanαn=　　　　. 

图K22-13
【参考答案】
1.C
2.D　[解析]过点A作AD⊥BC于点D,

∵cosC=14,AC=4,
∴CD=1,∴BD=3,AD=42-12=15,
在Rt△ABD中,AB=(15)2+32=26,
∴sinB=ADAB=1526=104,
故选D.
3.C
4.C　[解析]由锐角三角函数的定义,得sinα=BC2OA,
∴AO=BC2sinα,故选C.
5.D　[解析]作AE⊥OC于点E,作AF⊥OB于点F,

∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,
∵∠ABC=∠AEC,∠BCO=x,
∴∠EAB=x,∴∠FBA=x,
∵AB=a,AD=b,
∴FO=FB+BO=acosx+bsinx,
故选D.
6.C
7.A　[解析] 如图,过A作AD⊥BC交CB的延长线于点D,

则Rt△ACD中,∠CAD=50°,AD=h,
∴CD=ADtan50°=htan50°.又∵Rt△ABD中,∠BAD=20°,可得BD=ADtan20°=htan20°,
∴CB=CD-BD=htan50°-htan20°=h(tan50°-tan20°).故答案为A.
8.165　[解析]过点A作AD⊥BC于点D,

∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADC中,
∵∠ADC=90°,cosC=35,AC=2,
∴DC=35×2=65,AD=AC2-CD2=22-(65) 2=85,
在Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠B=30°.
∵sinB=ADAB=12,∴AB=2AD=165.
9.32或255　[解析]若∠B=90°,设AB=x,则AC=2x,
∴BC=(2x)2-x2=3x,
∴cosC=BCAC=3x2x=32;
若∠A=90°,设AB=x,则AC=2x,
∴BC=(2x)2+x2=5x,
∴cosC=ACBC=2x5x=255.
综上所述,cosC的值为32或255.
故答案为32或255.
10.1.02　[解析]∵∠ABO=70°,AB=6米,
∴sin70°=AOAB=AO6≈0.94,
解得:AO≈5.64(米),
∵∠CDO=50°,DC=6米,
∴sin50°=CO6≈0.77,
解得:CO≈4.62(米),
则AC≈5.64-4.62=1.02(米),
故答案为:1.02.
11.解:过点C作CD⊥AB,垂足为点D,则∠ACD=60°,∠BCD=45°,如图所示.

在Rt△BCD中,sin∠BCD=BDBC,cos∠BCD=CDBC,
∴BD=BC·sin∠BCD=20×3×22≈42,CD=BC·cos∠BCD=20×3×22≈42.
在Rt△ACD中,tan∠ACD=ADCD,
∴AD=CD·tan∠ACD=42×3≈72.66.
∴AB=AD+BD=72.66+42=114.66≈114.7.
∴A,B间的距离约为114.7海里.
12.解:(1)∵tanB=34,可设AC=3x,得BC=4x,
∵AC2+BC2=AB2,
∴(3x)2+(4x)2=52,
解得x=-1(舍去)或x=1,
∴AC=3,BC=4,
∵BD=1,
∴CD=3,
∴AD=CD2+AC2=32.
(2)过点D作DE⊥AB于点E,

∵tanB=34,可设DE=3y,则BE=4y,
∵BE2+DE2=BD2,
∴(3y)2+(4y)2=1,
解得y=-15(舍去)或y=15,
∴DE=35,
∴sinα=DEAD=210.
13.解:如图,过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F,

则CE∥DF,
∵AB∥CD,
∴四边形CDFE是矩形,
∴EF=CD=120,DF=CE,
在Rt△BDF中,∵∠BDF=32°,BD=80,
∴DF=BD·cos32°≈80×1720=68,
BF=BD·sin32°≈80×1732=852,
∴BE=EF-BF=1552,
在Rt△ACE中,
∵∠ACE=42°,CE=DF=68,
∴AE=CE·tan42°≈68×910=3065,
∴AB=AE+BE=1552+3065≈139(m),
答:木栈道AB的长度约为139 m.
14.2　[解析]由正方形ABCD和点E,F分别为BC,CD边的中点,易证△ABE≌△BCF,证得AE⊥BF,延长BF交AD的延长线于点G,可证△BCF≌△GDF,
∴DG=CB=AD,根据直角三角形的性质得AD=DP=12AG,
∴∠APD=∠DAE=∠AEB,
∴tan∠APD=tan∠AEB=2.故填2.

15.2n+12n2+2n　[解析]当n=1时,tanα1=34=31×4;
当n=2时,tanα2=512=52×6;
当n=3时,tanα3=724=73×8;
……
∴tanαn=2n+1n(2n+2)=2n+12n2+2n.

8