江西专版2020中考数学复习方案提分专练05反比例函数综合题.docx

提分专练(五)　反比例函数综合题

|类型1|　反比例函数与一次函数综合
1.[2019·襄阳]如图T5-1,已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx的图象在第一、第三象限分别交于A(3,4),B(a,-2)两点,直线AB与y轴,x轴分别交于C,D两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)比较大小:AD　　　　BC(填“>”“<”或“=”); 
(3)直接写出y1<y2时x的取值范围.

图T5-1

2.[2019·聊城]如图T5-2,A32,4,B(3,m)是直线AB与反比例函数y=nx(x>0)图象的两个交点,AC⊥x轴,垂足为点C,已知D(0,1),连接AD,BD,BC.
(1)求直线AB的表达式;
(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1,S2,求S2-S1.

图T5-2

3.[2019·镇江]如图T5-3,点A(2,n)和点D是反比例函数y=mx(m>0,x>0)图象上的两点,一次函数y=kx+3(k≠0)的图象经过点A,与y轴交于点B,与x轴交于点C,过点D作DE⊥x轴,垂足为E,连接OA,OD.已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB∶S△ODE=3∶4.
(1)S△OAB=　　　　,m=　　　　; 
(2)已知点P(6,0)在线段OE上,当∠PDE=∠CBO时,求点D的坐标.

图T5-3

|类型2|　反比例函数与几何图形结合
4.如图T5-4,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx(k>0)的图象和△ABC都在第一象限内,AB=AC=52,BC∥x轴,且BC=4,点A的坐标为(3,5).若将△ABC向下平移m个单位长度,A,C两点同时落在反比例函数图象上,则m的值为　　　　. 

图T5-4
5.[2019·金华]如图T5-5,在平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上,边CD在x轴上,点B在y轴上,已知CD=2.
(1)点A是否在该反比例函数的图象上?请说明理由.
(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q,求点Q的横坐标.
(3)平移正六边形ABCDEF,使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上,试描述平移过程.

图T5-5

6.[2018·金华、丽水]如图T5-6,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=mx与y=nx(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD∥y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当m=4,n=20时,
①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.
②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.

图T5-6

【参考答案】
1.解:(1)将A(3,4)代入y2=mx中,可得m=12,
∴y2=12x.
将B(a,-2)代入y2=12x中,可得a=-6,
∴B(-6,-2).
将A(3,4),B(-6,-2)分别代入y1=kx+b中,可得3k+b=4,-6k+b=-2,
解得k=23,b=2,∴y1=23x+2.
故y1=23x+2,y2=12x.
(2)=　[解析]∵C,D是y1=23x+2与y轴,x轴的交点,
∴C(0,2),D(-3,0),
∴AD=213,BC=213,
∴AD=BC.
(3)x<-6或0<x<3.
[解析]已知直线与双曲线相交于A,B两点,通过观察,可得当x<-6或0<x<3时直线y1在双曲线y2的下方,即当x<-6或0<x<3时y1<y2.
2.解:(1)∵点A32,4在反比例函数y=nx(x>0)的图象上,∴4=n32,∴n=6,
∴反比例函数表达式为y=6x(x>0).
将点B(3,m)代入,得m=2,∴B(3,2).
设直线AB的表达式为y=kx+b,
∴4=32k+b,2=3k+b,解得k=-43,b=6,
∴直线AB的表达式为y=-43x+6.
(2)由点A,B的坐标得AC=4,点B到AC的距离为3-32=32,∴S1=12×4×32=3.
设AB与y轴的交点为E,可得E(0,6),
∴DE=6-1=5.
由点A32,4,B(3,2)知点A,B到ED的距离分别为32,3,
∴S2=S△BED-S△AED=154.∴S2-S1=34.
3.解:(1)3;8　[解析]由一次函数y=kx+3知B(0,3).
又点A的坐标是(2,n),
∴S△OAB=12×3×2=3.
∵S△OAB∶S△ODE=3∶4,
∴S△ODE=4.
∵点D是反比例函数y=mx(m>0,x>0)图象上的点,
∴12m=S△ODE=4,则m=8.
故答案是3;8.
(2)由(1)知,反比例函数解析式是y=8x.
∴2n=8,即n=4.
故A(2,4),将其代入y=kx+3得到2k+3=4.
解得k=12.
∴直线AC的解析式是y=12x+3.
令y=0,则12x+3=0,
∴x=-6,∴C(-6,0),∴OC=6.
设D(a,b),则DE=b,PE=a-6.
∵∠PDE=∠CBO,∠COB=∠PED=90°,
∴△CBO∽△PDE,
∴OBDE=OCPE,即3b=6a-6①.
又ab=8②,
联立①②,得a=-2,b=-4(舍去)或a=8,b=1.
故D(8,1).

4.54　[解析]∵AB=AC=52,BC=4,点A(3,5),∴B1,72,C5,72.
将△ABC向下平移m个单位长度,此时A(3,5-m),C5,72-m,
∵A,C两点同时落在反比例函数图象上,
∴3(5-m)=572-m,∴m=54.
5.解:(1)在;理由:连接PC,过点P作PH⊥x轴于点H.

∵在正六边形ABCDEF中,点B在y轴上,
∴△OBC和△PCH都是含有30°角的直角三角形,BC=PC=CD=2.
∴OC=CH=1,PH=3.
∴点P的坐标为(2,3),
∴k=23.
∴反比例函数的表达式为y=23x(x>0).
连接AC,过点B作BG⊥AC于点G.
∵∠ABC=120°,AB=BC=2,
∴BG=1,AG=CG=3.
∴点A的坐标为(1,23).
当x=1时,y=23,
∴点A在该反比例函数的图象上.
(2)过点Q作QM⊥x轴于点M,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠EDM=60°.
设DM=b,则QM=3b.
∴点Q的坐标为(b+3,3b).
∴3b(b+3)=23.
解得b1=-3+172,b2=-3-172(舍去),
∴b+3=3+172.
∴点Q的横坐标为3+172.
(3)连接AP.
∵AP=BC=EF,AP∥BC∥EF,
∴平移过程:将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,或将正六边形ABCDEF向左平移2个单位.
6.解:(1)①∵BD∥y轴,BD⊥AC,∴AC∥x轴.
∵P在AC上,且点P的纵坐标为2,
∴点A,C的纵坐标均为2.
在y=mx,m=4中,
当x=4时,y=4x=1,
∴点B的坐标是(4,1).
当y=2时,由y=4x得x=2,
∴点A的坐标是(2,2).
设直线AB的函数表达式为y=kx+b,
∴2k+b=2,4k+b=1.解得k=-12,b=3.
∴直线AB的函数表达式为y=-12x+3.
②四边形ABCD为菱形.理由如下:
由题意得点B(4,1),点D(4,5).
∵点P为线段BD的中点,
∴点P的坐标为(4,3).
当y=3时,
由y=4x得x=43,∴PA=4-43=83;
由y=20x得x=203,∴PC=203-4=83.
∴PA=PC.
而PB=PD,∴四边形ABCD为平行四边形.
又∵BD⊥AC,∴四边形ABCD为菱形.
(2)四边形ABCD能成为正方形.
当四边形ABCD是正方形时,设PA=PB=PC=PD=t(t≠0).
当x=4时,y=mx=m4,
∴点B的坐标是4,m4.
∴点A的坐标是4-t,m4+t.
∴(4-t)m4+t=m,化简得t=4-m4.
∵yD=yB+2t,
∴点D的坐标是4,8-m4.
∴4×8-m4=n.整理得m+n=32.

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