福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练21直角三角形及勾股定理.docx

课时训练(二十一)　直角三角形及勾股定理
(限时:40分钟)

|夯实基础|
1.[2019春·武汉新洲区期末]由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 (　　)
A.∠A+∠B=∠C B.∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶2
C.a=2,b=3,c=4 D.(b+c)(b-c)=a2
2.如图K21-1,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为 (　　)

图K21-1
A.2 B.22 C.2+1 D.22+1
3.[2019·福建模拟]如图K21-2,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,如果CE=8,则ED的长为 (　　)

图K21-2
A.2 B.3 C.4 D.6
4.[2019·张家口一模]如图K21-3,长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3 cm至D点,则橡皮筋被拉长了 (　　)

图K21-3
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
5.[2018·扬州]如图K21-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是 (　　)

图K21-4
A.BC=EC B.EC=BE
C.BC=BE D.AE=EC
6.选择用反证法证明“已知:在△ABC中,∠C=90°.求证:∠A,∠B中至少有一个角不大于45°”时,应先假设 (　　)
A.∠A>45°,∠B>45°
B.∠A≥45°,∠B≥45°
C.∠A<45°,∠B<45°
D.∠A≤45°,∠B≤45°
7.[2018秋·湖州吴兴区期末]已知直角三角形两直角边长分别为1和3,则此直角三角形斜边上的中线长是　　　　. 
8.[2019·营口站前区校级模拟]三角形三边长为6、8、10,则这个三角形的面积是　　　　. 
9.[2019·厦门思明区校级模拟]“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图K21-5所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为　　　　. 

图K21-5
10.[2019·东营二模]如图K21-6,长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要　　　cm. 

图K21-6
11.[2019春·三明沙县期末]如图K21-7,在△ABC中,DA⊥AB,AD=AB,EA⊥AC,AE=AC.
(1)试说明△ACD≌△AEB;
(2)若∠ACB=90°,连接CE.
①说明CE平分∠ACB;
②判断DC与EB的位置关系,并说明理由.

图K21-7

|能力提升|
12.[2019春·德州德城区期末]如图K21-8所示,在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为(　　)

图K21-8
A.-1-5 B.1-5 C.-5 D.-1+5
13.[2019春·龙岩新罗区期末]如图K21-9,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,则△ABD的面积是　　　　. 

图K21-9
14.[2018·十堰]如图K21-10,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=62,点D,E分别是边BC,AC上的动点,则DA+DE的最小值为　　　　. 

图K21-10
15.如图K21-11所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=4,则PD等于　　　　. 

图K21-11
16.[2019·巴中]如图K21-12,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP=6,BP=8,CP=10,则S△ABP+S△BPC=　　　　. 

图K21-12
17.[2017·齐齐哈尔]如图K21-13,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,AC的中点.
(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;
(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.

图K21-13
|思维拓展|
18.[2019·福建二模]如图K21-14,已知A(3,6),B(0,n)(0<n≤6),作AC⊥AB,交x轴于点C,M为BC的中点,若P32,0,则PM的最小值为 (　　)

图K21-14
A.3 B.3817 C.455 D.655
19.[2019·鄂州]如图K21-15,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,BP=　　　　. 

图K21-15
20.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图K21-16①,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是　　　　,QE与QF的数量关系是　　　　. 
(2)如图②,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明.
(3)如图③,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.

图K21-16

【参考答案】
1.C　[解析]A.∠A+∠B=∠C,可得∠C=90°,是直角三角形,不符合题意;
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶2,可得∠B=90°,是直角三角形,不符合题意;
C.∵22+32≠42,故不能判定是直角三角形,符合题意;
D.∵(b+c)(b-c)=a2,∴b2-c2=a2,即a2+c2=b2,故是直角三角形,不符合题意.
故选:C.
2.B
3.C　[解析]∵DE垂直平分BC,∴BE=CE=8.
在Rt△BED中,∠B=30°,BE=8,
∴ED=12BE=4.故选:C.
4.A　[解析]在Rt△ACD中,AC=12AB=4 cm,CD=3 cm.
根据勾股定理,得:AD=AC2+CD2=5(cm),
∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm).
故橡皮筋被拉长了2 cm.
故选:A.
5.C　[解析]∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°,∴∠BCD=∠A.
∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.
又∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∴∠BEC=∠BCE,
∴BC=BE.故选C.
6.A　
7.1　[解析]由勾股定理得,斜边=12+(3)2=2,
所以斜边上的中线长=12×2=1.故答案为:1.
8.24　[解析]∵三角形的三边长分别为6、8、10,
而62+82=102,
∴此三角形是直角三角形,
∴三角形的面积S=12×6×8=24.
9.5　[解析]∵(a+b)2=21,
∴a2+2ab+b2=21.
∵大正方形的面积为13,∴a2+b2=13,
∴2ab=21-13=8,
∴小正方形的面积为13-8=5,
故答案为:5.
10.10　[解析]将长方体侧面展开,连接AB',如图,

∵AA'=3+1+3+1=8(cm),A'B'=6 cm,
根据两点之间线段最短,得AB'=82+62=10(cm).
故答案为:10.
11.解:(1)证明:∵DA⊥AB,EA⊥AC,
∴∠DAB=∠CAE=90°,
∴∠DAC=∠BAE,
在△ACD和△AEB中,AD=AB,∠DAC=∠BAE,AC=AE,
∴△ACD≌△AEB(SAS).
(2)①如图①,

∵EA⊥AC,AE=AC,
∴∠ACE=45°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE=90°-45°=45°,
∴∠ACE=∠BCE,
∴CE平分∠ACB.
②DC与EB的位置关系是DC⊥EB.理由如下:
分别延长DC,EB交于点F,如图②所示:

∵∠ACB=90°,∠CAE=90°,
∴CB∥AE,
∴∠CBF=∠AEB.
∵△ACD≌△AEB,
∴∠AEB=∠ACD,
∴∠CBF=∠ACD.
∵∠ACD+∠BCF=180°-∠ACB=90°,
∴∠CBF+∠BCF=90°,
∴∠F=90°,∴DC⊥EB.
12.A　[解析]如图,点A在以O为圆心,OB长为半径的圆上.

∵在Rt△BOC中,OC=2,BC=1,∴根据勾股定理知OB=OC2+BC2=22+12=5,
∴OA=OB=5,∴a=-1-5.
故选:A.
13.15　[解析]延长AD到点E,使DE=AD=6,连接CE,

∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
在△ABD和△ECD中,BD=CD,∠ADB=∠CDE,AD=DE,
∴△ABD≌△ECD(SAS),
∴CE=AB=5,∠BAD=∠E.
∵AE=2AD=12,CE=5,AC=13,
∴CE2+AE2=AC2,
∴∠E=90°,∴∠BAD=90°,
即△ABD为直角三角形,
∴△ABD的面积=12AD·AB=15,
故答案为:15.
14.163　[解析]如图,作A关于BC的对称点A',连接AA',交BC于F,过A'作A'E⊥AC于E,交BC于D,则AD=A'D,此时AD+DE的值最小,就是A'E的长.

Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=62,
∴BC=32+(62)2=9,
S△ABC=12AB·AC=12BC·AF,
∴3×62=9AF,解得AF=22,
∴AA'=2AF=42,
∵∠A'FD=∠DEC=90°,∠A'DF=∠CDE,
∴∠A'=∠C,
∵∠AEA'=∠BAC=90°,
∴△AEA'∽△BAC,
∴AA'A'E=BCAC,即42A'E=962,
∴A'E=163,即AD+DE的最小值是163.
故答案为163.
15.2　[解析]过点P作PM⊥OB于M,

∵PC∥OA,
∴∠COP=∠CPO=∠POD=15°,
∴∠BCP=30°,
∴PM=12PC=2.
∵PD=PM,
∴PD=2.
故答案为:2.
16.163+24　[解析]将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',

所以BP=BP',∠PBP'=60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,
所以S△BPP'=163.
因为PP'=8,P'C=PA=6,PC=10,所以PP'2+P'C2=PC2,
所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C=24,所以S△ABP+S△BPC=S△BPP'+S△PP'C=163+24.
17.解:(1)证明:∵AD⊥BC于D,
∴∠BDG=∠ADC=90°,
∵BD=AD,DG=DC,
∴△BDG≌△ADC(SAS),
∴BG=AC.
∵AD⊥BC于D,E,F分别是BG,AC的中点,
∴DE=12BG,DF=12AC,∴DE=DF.
∵DE=DF,BD=AD,BE=AF,
∴△BDE≌△ADF(SSS),
∴∠BDE=∠ADF,
∴∠EDF=∠EDG+∠ADF=∠EDG+∠BDE=∠BDG=90°,
∴DE⊥DF.
(2)∵AC=10,
∴DE=DF=12AC=12×10=5.
∵∠EDF=90°,
∴EF=DE2+DF2=52+52=52.
18.D　[解析]如图,作AH⊥y轴于H,CE⊥AH于E,作MN⊥OC于N.
则四边形CEHO是矩形,OH=CE=6,

∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90°,
∴∠ABH+∠HAB=90°,∠HAB+∠EAC=90°,
∴∠ABH=∠EAC,∴△AHB∽△CEA,
∴AHEC=BHAE,∴36=BHAE,
∴AE=2BH,设BH=x,则AE=2x,
∴OC=HE=3+2x,OB=6-x,
∴B(0,6-x),C(3+2x,0).
∵BM=CM,∴M3+2x2,6-x2.
∵P32,0,∴PN=ON-OP=3+2x2-32=x,
∴PM2=PN2+MN2=x2+6-x22=54x2-3x+9=54x-652+365,
∴x=65时,PM2有最小值,最小值为365,
∴PM的最小值为365=655.
故选:D.
19.2或23或27　[解析]∵AO=OB=2,

∴当BP1=2时,∠AP1B=90°;
当∠P2AB=90°时,∵∠AOP2=60°,
∴AP2=OA·tan∠AOP2=23,
∴BP2=AB2+AP22=27;
当∠P3BA=90°时,∵∠1=60°,
∴BP3=OB·tan∠1=23.
故答案为:2或23或27.
20.解:(1)AE∥BF　QE=QF
(2)QE=QF.
证明:如图①,延长FQ交AE于点D.

∵AE⊥CP,BF⊥CP,
∴AE∥BF,∴∠1=∠2.
∵∠3=∠4,AQ=BQ,
∴△AQD≌△BQF,∴QD=QF.
∵AE⊥CP,∴QE为斜边FD的中线,
∴QE=12FD=QF.
(3)此时(2)中结论仍然成立.
理由:如图②,延长EQ,FB交于点D.

∵AE⊥CP,BF⊥CP,
∴AE∥BF,∴∠1=∠D.
∵∠2=∠3,AQ=BQ,
∴△AQE≌△BQD,∴QE=QD.
∵BF⊥CP,∴FQ为斜边DE的中线.
∴QF=12DE=QE.

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