呼和浩特专版2020中考数学复习方案第六单元圆课时训练26圆的有关性质试题.docx

课时训练(二十六)　圆的有关性质
(限时:45分钟)

|夯实基础|
1.[2019·滨州] 如图K26-1,AB为☉O的直径,C,D为☉O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为 (　　)

图K26-1
A.60° B.50° C.40° D.20°
2.[2019·兰州] 如图K26-2,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=40°,则∠C= (　　)

图K26-2
A.110° B.120° C.135° D.140°
3.[2019·凉山州] 下列命题:①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;②两点之间线段最短;③相等的圆心角所对的弧相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中,真命题的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.[2019·聊城] 如图K26-3,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为 (　　)

图K26-3
A.35° B.38° C.40° D.42°
5.[2019·黄冈] 如图K26-4,一条公路的转弯处是一段圆弧(AB),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,点C是AB的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为 (　　)

图K26-4
A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m
6.[2019·眉山] 如图K26-5,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足是点E,∠CAO=22.5°,OC=6,则CD的长为 (　　)

图K26-5
A.62 B.32 C.6 D.12
7.[2019·菏泽] 如图K26-6,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且BC平分∠ABD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论不一定成立的是 (　　)

图K26-6
A.OC∥BD B.AD⊥OC C.△CEF≌△BED D.AF=FD
8.[2019·梧州] 如图K26-7,在半径为13的☉O中,弦AB与CD交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD的长是 (　　)

图K26-7
A.26 B.210 C.211 D.43
9.[2019·威海] 如图K26-8,☉P与x轴交于点A(—5,0),B(1,0),与y轴的正半轴交于点C,若∠ACB=60°,则点C的纵坐标为 (　　)

图K26-8
A.13+3 B.22+3 C.42 D.22+2
10.[2019·常州] 如图K26-9,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,∠AOC=120°,则∠CDB=　　　　°. 

图K26-9
11.[2018·龙东] 如图K26-10,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为　　　　. 

图K26-10
12.[2019·东营] 如图K26-11,AC是☉O的弦,AC=5,点B是☉O上的一个动点,且∠ABC=45°,若点M,N分别是AC,BC的中点,则MN的最大值是　　　　. 

图K26-11
13.[2019·南京] 如图K26-12,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C,D在☉O上.若∠P=102°,则∠A+∠C=　　　　. 

图K26-12
14.[2019·泰州] 如图K26-13,☉O的半径为5,点P在☉O上,点A在☉O内,且AP=3,过点A作AP的垂线交☉O于点B,C.设PB=x,PC=y,则y与x的函数表达式为　　　　. 

图K26-13
15.[2019·自贡] 如图K26-14,☉O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,BC.
求证:(1)AD=BC;
(2)AE=CE.

图K26-14

16.[2019·苏州] 如图K26-15,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,D是BC的中点,BC与AD,OD分别交于点E,F.
(1)求证:DO∥AC;
(2)求证:DE·DA=DC2;
(3)若tan∠CAD=12,求sin∠CDA的值.

图K26-15

|拓展提升|
17.[2017·实验教育集团初三期末] 如图K26-16所示,在圆O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为　　　　. 

图K26-16
18.[2019·福建] 如图K26-17,四边形ABCD内接于☉O,AB=AC,AC⊥BD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF=DC,连接AF,CF.
(1)求证:∠BAC=2∠CAD;
(2)若AF=10,BC=45,求tan∠BAD的值.

图K26-17

【参考答案】
1.B　[解析]连接AD,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠A和∠BCD都是BD所对的圆周角,∴∠A=∠BCD=40°,∴∠ABD=90°-40°=50°.故选B.
2.D　[解析]∵圆内接四边形的对角互补,∴∠A+∠C=180°,∵∠A=40°,∴∠C=140°,故选D.
3.A　[解析]直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离;两点之间线段最短;在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,所以只有②是对的,故选A.
4.C　[解析]∵∠A=70°,∴∠B+∠C=110°,∴∠BOE+∠COD=220°,∴∠DOE=∠BOE+∠COD-180°=40°,故选C.
5.A　
6.A　[解析]∵∠A=22.5°,∴∠COE=45°.∵☉O的直径AB垂直于弦CD,∴∠CEO=90°,CE=ED.
∵∠COE=45°,OC=6,∴CE=OE=22OC=32,
∴CD=2CE=62,故选A.
7.C　[解析]∵AB是☉O的直径,BC平分∠ABD,
∴∠ADB=90°,∠OBC=∠DBC,∴AD⊥BD.
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∴∠DBC=∠OCB,
∴OC∥BD,选项A成立;
∴AD⊥OC,选项B成立;
∴AF=FD,选项D成立;
∵△CEF和△BED中,没有相等的边,∴△CEF与△BED不全等,选项C不成立,故选C.
8.C　[解析]过点O作OF⊥CD于点F,OG⊥AB于点G,连接OB,OD,OE,如图所示.则DF=CF,AG=BG=12AB=3,
∴EG=AG-AE=2,在Rt△BOG中,OG=OB2-BG2=13-9=2,∴EG=OG,
∴△EOG是等腰直角三角形,∴∠OEG=45°,OE=2OG=22.∵∠DEB=75°,∴∠OEF=30°,
∴OF=12OE=2,
在Rt△ODF中,DF=OD2-OF2=13-2=11,∴CD=2DF=211.故选C.

9.B　[解析]连接PA,PB,PC,过点P分别作PF⊥AB,PE⊥OC,垂足分别为F,E.

由题意可知:四边形PFOE为矩形,∴PE=OF,PF=OE.
∵∠ACB=60°,∴∠APB=120°.∵PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA=30°.
∵PF⊥AB,∴AF=BF=3.∴PE=OF=2.
∵tan30°=PFAF,cos30°=AFAP,∴PF=3,AP=23.
∴OE=3,PC=23.
在Rt△PEC中,CE=PC2-PE2=22,∴OC=CE+EO=22+3.
10.30　[解析]∵AB是☉O的直径,∠AOC=120°,
∴∠BOC=60°.∴∠CDB=30°.
11.5　[解析] 连接OC,∵AB是☉O的直径,CD⊥AB,∴CE=12CD,∵CD=6,∴CE=3.设☉O的半径为r,则OC=r,∵EB=1,∴OE=r-1,在Rt△OCE中,由勾股定理得OE2+CE2=OC2,∴(r-1)2+32=r2,解得r=5,∴☉O的半径为5.

12.522　[解析]由题意可知,当MN最大时,AB也最大,此时AB为☉O的直径,那么△ABC为等腰直角三角形,由勾股定理,求得AB=2AC=52.∵点M,N分别是AC,BC的中点,∴由三角形中位线定理,得MN=12AB=522.
13.219°　[解析]连接AB,∵PA,PB是☉O的切线,

∴PA=PB.
∵∠P=102°,
∴∠PAB=∠PBA=12(180°-102°)=39°,
∵∠DAB+∠C=180°,
∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=180°+39°=219°,故答案为219°.
14.y=30x　[解析]过点O作OD⊥PC于点D,连接OP,OC.

∵PC=y,∴由垂径定理可得DC=y2.
∵OP=OC,∴∠COD=12∠POC.由圆周角定理,得∠B=12∠POC,
∴∠COD=∠B,∴△COD∽△PBA,PACD=BPOC,即3y2=x5,整理可得函数表达式为y=30x.
15.证明:(1)连接AO,BO,CO,DO.

∵AB=CD,
∴∠AOB=∠COD,
∴∠AOD=∠BOC,
∴AD=BC.
(2)∵AD=BC,
∴AD=BC.
∵AC=AC,
∴∠ADC=∠ABC.
又∵∠AED=∠CEB,
∴△ADE≌△CBE,
∴AE=CE.
16.解:(1)证明:∵点D是BC的中点,OD是圆的半径,
∴OD⊥BC,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,AC⊥BC,
∴AC∥OD.
(2)证明:∵CD=BD,∴∠CAD=∠DCB,
又∵∠CDE=∠ADC,∴△DCE∽△DAC,
∴DCDA=DEDC,∴CD2=DE·DA.
(3)∵tan∠CAD=12,∴CEAC=12,△DCE和△DAC的相似比=CEAC=12,∴DECD=DCDA=12.
设DE=a,则CD=2a,AD=4a,AE=3a,
∴AEDE=3,∵AC∥OD,∴△AEC∽△DEF.
∴△AEC和△DEF的相似比为3,
设EF=k,则CE=3k,BC=8k,
∵tan∠CAD=12,
∴AC=6k,∴AB=10k,
∴sin∠CDA=sinB=35.
17.20　[解析]延长AO交BC于D,作OE⊥BC于E.
∵∠A=∠B=60°,∴∠ADB=60°,△ADB为等边三角形,∴BD=AD=AB=12,∴OD=4.
又∵∠ADB=60°,∴DE=12OD=2,
∴BE=10,∴BC=2BE=20.
18.[解析](1)由AC⊥BD,得Rt△ADE,在Rt△AED中,根据两个锐角互余,得∠CAD与∠ADE的关系;AB=AC,在等腰三角形ABC中,得∠BAC与底角∠ACB的关系;再结合同弧所对圆周角相等,得∠ADE=∠ACB,整理即可得出结论;(2)由DF=DC,得外角∠BDC与∠CFD的关系,再结合∠BAC=2∠DAC与同弧所对圆周角相等得∠CFD=∠CAD=∠CBD,得CF=BC,知CA垂直平分BF,求出AB与AC的长度,根据勾股定理列方程分别求出AE,CE,BE,再利用△ADE∽△BCE,求出AD,DE,作△ABD中AB边上的高DH,利用面积法求出DH,利用勾股定理求出AH的值,即可利用正切定义求值.
解:(1)证明:∵AC⊥BD,∴∠AED=90°,
在Rt△AED中,∠ADE=90°-∠CAD,
∵AB=AC,∴AB=AC,∴∠ACB=∠ABC.
∴∠BAC=180°-2∠ACB=180°-2∠ADB=180°-2(90°-∠CAD),即∠BAC=2∠CAD.
(2)∵DF=DC,∴∠FCD=∠CFD,∴∠BDC=∠FCD+∠CFD=2∠CFD.∵∠BDC=∠BAC,∠BAC=2∠CAD,
∴∠CFD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBD,∴∠CFD=∠CBD,∴CF=CB.
∵AC⊥BD,∴BE=EF,故CA垂直平分BF,
∴AC=AB=AF=10,
设AE=x,则CE=10-x,
在Rt△ABE和Rt△BCE中,AB2-AE2=BE2=BC2-CE2,
又∵BC=45,
∴102-x2=(45)2-(10-x)2,解得x=6,∴AE=6,CE=4,
∴BE=AB2-AE2=8.
∵∠DAE=∠CBE,∠ADE=∠BCE,
∴△ADE∽△BCE,∴AEBE=DECE=ADBC,
∴DE=3,AD=35,
过点D作DH⊥AB于H.
∵S△ABD=12AB·DH=12BD·AE,BD=BE+DE=11,∴10DH=11×6,∴DH=335,
在Rt△ADH中,AH=AD2-DH2=65,∴tan∠BAD=DHAH=33565=112.

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