江西专版2020中考数学复习方案第四单元图形的初步认识与三角形课时训练20锐角三角函数及其应用.docx

课时训练(二十)　锐角三角函数及其应用
(限时:50分钟)

|夯实基础|
1.[2019·天津]2sin60°的值等于 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=34,AB=5,则边AC的长是 (　　)
A.3 B.4 C.154 D.574
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=513,则cosA的值是 (　　)
A.512 B.813 C.23 D.1213
4.[2019·杭州]如图K20-1,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于 (　　)

图K20-1
A.asinx+bsinx B.acosx+bcosx C.asinx+bcosx D.acosx+bsinx
5.[2019·金华]如图K20-2,矩形ABCD的对角线交于点O,已知AB=m,∠BAC=∠α,则下列结论错误的是 (　　)

图K20-2
A.∠BDC=∠α B.BC=m·tanα C.AO=m2sinα D.BD=mcosα
6.[2019·长沙]如图K20-3,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60 n mile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船与小岛A的距离是 (　　)

图K20-3
A.303 n mile B.60 n mile C.120 n mile D.(30+303) n mile
7.[2019·重庆B卷]如图K20-4,AB是垂直于水平面的建筑物,为测量AB的高度,小红从建筑物底端B点出发,沿水平方向行走了52米到达点C,然后沿斜坡CD前进,到达坡顶D点处,DC=BC.在点D处放置测角仪,测角仪支架DE高度为0.8米,在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°(点A,B,C,D,E在同一平面内).斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么建筑物AB的高度约为 (　　)
(参考数据:sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51)

图K20-4
A.65.8米 B.71.8米
C.73.8米 D.119.8米
8.[2019·临沂]计算:12×6-tan45°=　　　　. 
9.[2019·眉山]如图K20-5,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,使得点D落在AC上,则tan∠ECD的值为　　　　. 

图K20-5
10.[2019·江西省联考]如图K20-6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若AB=5,BC=3,则sin∠ACD=　　　　. 

图K20-6
11.[2019·广东]如图K20-7,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=153米,在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,则教学楼AC的高度是　　　　米.(结果保留根号) 

图K20-7

12.有一种落地晾衣架如图K20-8①所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度.图K20-8②是支撑杆的平面示意图,AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆,夹角∠BOD=α.若AO=85 cm,BO=DO=65 cm.问:当α=74°时,较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　　　　 cm.(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,sin53°≈0.8,cos53°≈0.6) 

图K20-8
13.[2019·枣庄]如图K20-9,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5 m,则旗杆AB的高度约为　　　　m(精确到0.1 m).(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33) 

图K20-9
14.为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固.如图K20-10,加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD,已知迎水坡面AB=12米,背水坡面CD=123米,∠B=60°,加固后拦水坝的横断面为梯形ABED,tanE=313 3,则CE的长为
　　　　米. 

图K20-10
15.[2019·深圳]如图K20-11,某施工队要测量隧道长度BC,AD=600米,AD⊥BC,施工队站在点D处看向B,测得仰角的余角为45°,再由D走到E处测量,DE∥AC,ED=500米,测得仰角的余角为53°,求隧道BC的长.
sin53°≈45,cos53°≈35,tan53°≈43

图K20-11

16.[2019·海南]如图K20-12是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.
(1)填空:∠BAC=　　　　度,∠C=　　　　度; 
(2)求观测站B到AC的距离BP.(结果保留根号)

图K20-12

17.[2019·泰州]某体育看台侧面的示意图如图K20-13,观众区AC的坡度i为1∶2,顶端C离水平地面AB的高度为10 m,从顶棚的D处看E处的仰角α=18°30',竖直的立杆上C,D两点间的距离为4 m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3 m,求:
(1)观众区的水平宽度AB;
(2)顶棚的E处离地面的高度EF.
(sin18°30'≈0.32,tan18°30'≈0.33,结果精确到0.1 m)

图K20-13

18.[2019·江西样卷五]图K20-14①是某校教学楼墙壁上的文化长廊中的两幅图案,现将这两个正方形转化为平面图形得到图K20-14②,并测得正方形ABCD与正方形EFGH的面积相等,且AB=100 cm,CD∥EF,∠CDE=140°,∠CGF=25°.
(1)判断四边形CFED的形状,并说明理由;
(2)求CG的长.(参考数据:sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47)

图K20-14

|拓展提升|
19.[2019·赣北联考]如图K20-15①是一款手机支架,忽略支管的粗细,得到它的简化结构图如图K20-15②.已知支架底部支架CD平行于水平面,EF⊥OE,GF⊥EF,支架可绕点O旋转,OE=20 cm,EF=203 cm,如图K20-15③,若将支架上部绕O点逆时针旋转,当点G落在直线CD上时,测量得∠EOG=65°.
(1)求FG的长度(结果精确到0.1);
(2)将支架由图K20-15③转到图K20-15④的位置,若此时F,O两点所在的直线恰好与CD垂直,点F的运动路线的长度称为点F的路径长,求点F的路径长.
(参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,3≈1.73)

图K20-15

【参考答案】
1.C
2.D　[解析]∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=34,∴sinA=BCAB=34.∵AB=5,∴BC=154,∴AC=AB2-BC2=52-(154) 2=574.
3.D　[解析]设△ABC内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则sinA=ac=513,可设a=5k,c=13k,根据勾股定理,得b=12k,所以cosA=bc=1213.故选D.
4.D　[解析]如图,过点A作AE⊥OC于点E,AF⊥OB于点F.

∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°.∵∠ABC=∠AEC,∠BCO=x,∴∠EAB=x,∴∠FBA=x,.
∵AB=a,AD=b,∴FO=FB+BO=acosx+bsinx.故选D.
5.C　[解析]由锐角三角函数的定义,得sinα=BC2OA,∴AO=BC2sinα.∴C选项结论错误,故选C.
6.D　[解析]如图,过C作CD⊥AB于点D,

则∠ACD=30°,∠BCD=45°,AC=60 n mile.
在Rt△ACD中,AD=12AC=30 n mile,cos∠ACD=CDAC,∴CD=AC·cos∠ACD=60×32=303(n mile).在Rt△DCB中,∵∠BCD=∠B=45°,
∴CD=BD=303 n mile,
∴AB=AD+BD=30+303(n mile).故选D.
7.B　[解析]过点E作EN⊥AB于N,EM⊥BC交BC的延长线于M.
∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,
DC=BC=52米,设DM=x米,则CM=2.4x米.
在Rt△DCM中,∵DM2+CM2=DC2,
∴x2+(2.4x)2=522,
解得x=20(负值舍去),∴CM=48米,EM=20+0.8=20.8(米),BM=BC+CM=52+48=100(米).
∵EN⊥AB,EM⊥BC,AB⊥BC,
∴四边形ENBM是矩形.
∴EN=BM=100米,BN=EM=20.8米.
在Rt△AEN中,∵∠AEF=27°,
∴AN=EN·tan27°≈100×0.51=51(米),
∴AB=AN+BN=51+20.8=71.8(米).
故选B.
8.3-1　[解析]原式=12×6-1=3-1.
9.32　[解析]在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC=13.根据旋转性质可得AE=13,AD=5,DE=12,∴CD=8.在Rt△CED中,tan∠ECD=DEDC=128=32.故答案为32.
10.35　[解析]∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,∴CD=AD,∴∠A=∠ACD.
∵AB=5,BC=3,∠ACB=90°,∴sinA=BCAB=35,∴sin∠ACD=35.故答案为35.
11.(15+153)　[解析]如图,过点B作BE⊥AC于E,则CD=BE=153米,∠ABE=30°,∠CBE=45°,
所以AE=15米,CE=BE=153米,所以AC=AE+CE=15+153(米).

12.120　[解析]如图,过点A作AE⊥BD于点E,则∠AEB=90°.∵AO=85 cm,BO=DO=65 cm,α=74°,∴∠ODB=∠B=53°,AB=150 cm.在Rt△ABE中,sinB=hAB,故h=AB·sinB=150×sin53°≈150×0.8=120(cm).

13.9.5　[解析]由题可知BC=6 m,CD=1.5 m.过D作DE∥BC交AB于点E,易知四边形BCDE是矩形,∴DE=BC=6 m,在Rt△ADE中,AE=DE·tan53°=7.98 m,EB=CD=1.5 m,∴AB=AE+EB=9.48 m≈9.5 m.
14.8　[解析]如图,过点A作AF⊥BC于F,过点D作DG⊥BC于G,∴AF=AB·sinB=63米.∴DG=63米,在Rt△DCG中,利用勾股定理得CG=18米.在Rt△DEG中,tanE=DGGE=63GE=3313,∴GE=26米,∴CE=GE-CG=26-18=8米.

15.解:在Rt△ABD中,AB=AD=600米,过点E作EM⊥AC于点M,则AM=DE=500米,
∴BM=100米,在Rt△CEM中,tan53°=CMEM=CM600=43,∴CM=800米,
∴BC=CM-BM=800-100=700(米).
答:隧道BC的长为700米.
16.解:(1)30　45　[解析]∵小岛C在码头A的北偏西60°方向上,∴∠BAC=30°.
在△ABC中,∠ABC=90°+15°=105°,
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°.
(2)设BP=x海里,则在Rt△BCP中,CP=BP=x.在Rt△ABP中,AP=3BP=3x.
∵AC=10,∴3x+x=10,∴x=53-5.
答:观测站B到AC的距离BP为(53-5)海里.
17.解:(1)∵AC的坡度i为1∶2,∴CBAB=12.
∵BC=10 m,∴AB=20 m.
(2)如图,过点D作DG∥AB,EF与DG交于点G.

在Rt△DEG中,∠EDG=18°30',tan∠EDG=EGGD,
GD=FB=FA+AB=23(m),
∴EG≈7.59 m,
∴EF=EG+GF=EG+DB=EG+DC+CB=21.59≈21.6(m),
故顶棚的E处离地面的高度EF为21.6 m.
18.解:(1)四边形CFED是菱形.理由如下:
∵正方形ABCD与正方形EFGH的面积相等,
∴CD=EF.
∵CD∥EF.
∴四边形CDEF是平行四边形.
∴∠EFC=∠CDE=140°.
∴∠CFG=360°-∠EFC-∠EFG=130°.
∴∠FCG=180°-∠CFG-∠CGF=25°=∠CGF.
∴CF=FG=EF=100 cm.
∴▱CDEF是菱形.
(2)如图,过点F作FM⊥CG于点M.

在Rt△FGM中,cos∠FGM=GMFG,
∴cos25°=GM100,∴GM=91(cm).
∴CG=2GM=2×91=182(cm).
19.解:(1)如图①,过点G作GM⊥OE于点M,易知四边形EFGM为矩形.令FG=x cm,

∴EF=GM=203 cm,FG=EM=x cm.
∵OE=20 cm,∴OM=(20-x) cm.
在Rt△OGM中,∠EOG=65°,
tan∠EOG=GMOM,即20320-x=tan65°,
解得x≈3.8 cm.
即FG的长度为3.8 cm.
(2)如图②,连接OF,OF'.

在Rt△EFO中,EF=203cm,EO=20 cm,
∴FO=EF2+EO2=40(cm),tan∠EOF=EFEO=20320=3,
∴∠EOF=60°,
∴∠FOG=∠EOG-∠EOF=5°.
又∵∠GOF'=90°,
∴∠FOF'=85°,
∴点F的路径长85·π·40180=1709π(cm).

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