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福建专版2020中考数学复习方案第五单元四边形课时训练28矩形.docx
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课时训练(二十八) 矩形 (限时:40分钟) |夯实基础| 1.[2019·重庆A卷]下列命题正确的是 ( ) A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 2.[2018·内江]如图K28-1,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为 ( ) 图K28-1 A.31° B.28° C.62° D.56° 3.[2017·绵阳]如图K28-2,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=23,∠AEO=120°,则FC的长度为 ( ) 图K28-2 A.1 B.2 C.2 D.3 4.[2019·眉山]如图K28-3,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是 ( ) 图K28-3 A.1 B.74 C.2 D.125 5.[2019·徐州]如图K28-4,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长为 . 图K28-4 6.[2018·龙东地区]如图K28-5,在平行四边形ABCD中,添加一个条件 ,使平行四边形ABCD是矩形. 图K28-5 7.[2019·仙桃]矩形的周长等于40,则此矩形面积的最大值是 . 8.[2019·潍坊]如图K28-6,在矩形ABCD中,AD=2.将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A',折痕为DE.若将∠B沿EA'向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B',则AB= . 图K28-6 9.[2019·云南]如图K28-7,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数. 图K28-7 |能力提升| 10.[2019·台州]如图K28-8,有两张矩形纸片ABCD和EFGH,AB=EF=2 cm,BC=FG=8 cm,把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上,使重叠部分为平行四边形,且点D与点G重合,当两张纸片交叉所成的角α最小时,tanα等于 ( ) 图K28-8 A.14 B.12 C.817 D.815 11.[2019·桂林]将矩形ABCD按如图K28-9所示的方式折叠,BE,EG,FG为折痕,若顶点A,C,D都落在点O处,且点B,O,G在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上,则ADAB的值为 ( ) 图K28-9 A.65 B.2 C.32 D.3 12.[2018·江西]如图K28-10,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为 . 图K28-10 13.[2019·天水]如图K28-11,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sin∠EFC的值为 . 图K28-11 14.[2019·龙东地区]如图K28-12,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点P是矩形ABCD内一动点,且S△PAB=12S△PCD,则PC+PD的最小值是 . 图K28-12 |思维拓展| 15.[2018·漳州一模]如图K28-13,在矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且C,D两点在函数y=x+1(x≥0),-12x+1(x<0)的图象上,若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( ) 图K28-13 A.12 B.38 C.14 D.16 16.[2019·杭州]如图K28-14,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A'点,D点的对称点为D'点,若∠FPG=90°,△A'EP的面积为4,△D'PH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于 . 图K28-14 17.[2018·临沂]将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG. (1)如图K28-15,当点E在BD上时,求证:FD=CD. (2)当α为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由. 图K28-15 【参考答案】 1.A [解析]根据矩形的定义,易知选项A正确,另外,对角线互相平分且相等的四边形是矩形;三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形. 2.D 3.A 4.B [解析]连接CE,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,OC=OA,AD=BC=8,DC=AB=6,∵EF⊥AC,OA=OC,∴AE=CE,在Rt△DEC中,DE2+DC2=CE2,即DE2+36=(8-DE)2,解得DE=74,故选B. 5.16 6.答案不唯一,如∠ABC=90°或AC=BD等 [解析]判定一个平行四边形是矩形,常见的有两种思路,一是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形;二是根据对角线相等的平行四边形是矩形. 7.100 8.3 9.解:(1)证明:∵AO=OC,BO=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠AOB是△AOD的外角, ∴∠AOB=∠OAD+∠ADO. 又∵∠AOB=2∠OAD, ∴∠OAD=∠ADO.∴AO=OD. ∵AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD,∴AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形. (2)设∠AOB=4x,则∠ODC=3x,∠ODC=∠OCD=3x. 在△ODC中,∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°, ∴4x+3x+3x=180°,解得x=18°. ∴∠ODC=3×18°=54°. ∴∠ADO=90°-∠ODC=90°-54°=36°. 10.D [解析]当点B与点E重合时,重叠部分为平行四边形且α最小, ∵两张矩形纸片全等,∴重叠部分为菱形,设FM=x,∴EM=MD=8-x,EF=2, 在Rt△EFM中,EF2+FM2=EM2,即22+x2=(8-x)2,解得x=154,∴tanα=EFFM=815,故选D. 11.B [解析]由折叠可得,AE=OE=DE,CG=OG=DG, ∴E,G分别为AD,CD的中点, 设CD=2a,AD=2b,则AB=2a=OB,DG=OG=CG=a,BG=3a,BC=AD=2b, ∵∠C=90°, ∴在Rt△BCG中,CG2+BC2=BG2, 即a2+(2b)2=(3a)2, ∴b2=2a2, 即b=2a, ∴ba=2, ∴ADAB的值为2, 故选B. 12.32 [解析]∵AD=EF=DE=3,∠D=90°, ∴AE2=AD2+DE2=18,∴AE=AB=18=32. 13.45 [解析]∵四边形ABCD为矩形, ∴AD=BC=5,AB=CD=3, ∵矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处, ∴AF=AD=5,EF=DE, 在Rt△ABF中,BF=AF2-AB2=4, ∴CF=BC-BF=5-4=1, 设CE=x,则DE=EF=3-x, 在Rt△ECF中, ∵CE2+FC2=EF2, ∴x2+12=(3-x)2, 解得x=43, ∴EF=3-x=53, ∴sin∠EFC=CEEF=45. 故答案为:45. 14.45 [解析]过点P作直线l∥AB,交AD于E,作点D关于直线l的对称点D1,连接CD1,∵S△PAB=12S△PCD,∴AE=12DE,∴DE=4,AE=2.∵矩形ABCD中,AB=4,BC=6,∴CD=4,DD1=2DE=8,在Rt△CDD1中,由勾股定理得CD1=45,∴PC+PD的最小值是45. 15.C [解析]由题意可得B(1,0),把x=1代入y=x+1可得y=2,即C(1,2), 把x=0代入y=x+1可得y=1,即图中阴影三角形的第3个顶点为(0,1), 令-12x+1=2,解得x=-2,即D(-2,2), ∴矩形ABCD的面积S=3×2=6, 阴影三角形的面积S'=12×3×1=32, ∴所求概率P=S'S=14. 故选C. 16.10+65 [解析]∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,AD=BC,设AB=CD=x,由翻折可知:PA'=AB=x,PD'=CD=x, ∵△A'EP的面积为4,△D'PH的面积为1, 且△A'EP∽△D'PH, ∴A'PD'H=2. 设D'H=a,则A'P=2a,∴x=2a, ∴PA'=PD'=2a, ∵12·a·2a=1,∴a=1(a=-1舍去), ∴x=2,∴AB=CD=2,PE=22+42=25,PH=12+22=5, ∴AD=4+25+5+1=5+35, ∴矩形ABCD的面积=2×(5+35)=10+65.故答案为10+65. 17.解:(1)证明:如图①,连接AF. ① 由四边形ABCD是矩形,结合旋转可得BD=AF,∠EAF=∠ABD. ∵AB=AE, ∴∠ABD=∠AEB, ∴∠EAF=∠AEB, ∴BD∥AF, ∴四边形BDFA是平行四边形, ∴FD=AB. ∵AB=CD,∴FD=CD. (2)当α=60°或300°时,GC=GB.理由: 如图②,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的右边时,易知点G也是AD的垂直平分线上的点, ② ∴DG=AG. 又∵AG=AD, ∴△ADG是等边三角形, ∴∠DAG=60°, ∴α=60°. 如图③,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的左边时, ③ 同理,△ADG是等边三角形, ∴∠DAG=60°. 此时α=300°. 综上所述,当α为60°或300°时,GC=GB. 8- 配套讲稿:
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