备战2020上海市中考物理压强压轴题专题06在容器里液体加柱形物体后柱形物体浸没问题含解析.doc

专题06 在柱形容器的液体中加柱形物体，柱形物体浸没问题
一、常见题目类型
1．把柱状实心物体B放入足够深的柱状容器中的液体中（图1）。
图2

图1
A
B

2．把柱状实心物体先放入足够深的柱状容器中，然后向里面加液体（图2）。
二、例题
【例题1】如图1所示，水平地面上有一质量为1千克的薄壁柱形容器，另有一个质量为4千克的圆柱体甲，甲的底面积是容器底面积的一半。容器中盛有水，将甲放入水中，分别测出甲放入容器前后，容器对水平桌面的压强p容、水对容器底部的压强p水，如下表所示。
图1
甲

①求圆柱体甲放入容器前水的深度。
②求容器的底面积。
③放入圆柱体甲后，通过计算判断柱形容器的水是否有溢出。
④请判断甲在水中的状态并说明理由（提示：漂浮、浸没、未浸没等）。
⑤求圆柱体甲的密度。
【答案】①0.2米；②2×10-2米2 ；③无水溢出；④浸没；⑤4×103千克/米3。
【解析】
①h水＝p水前/ρ水g
＝1960帕/（1×103千克/米3×9.8牛/千克）＝0.2米
②Dp＝p容前－p水前＝DF/ S容＝G容/ S容
S容＝G容/Dp
＝（1千克×9.8牛/千克）/（2450帕－1960帕）＝2×10-2米2
③甲放入水中，容器对水平桌面增大的压力
DF容=Dp S容=（4410帕-2450帕）×2×10-2米2=39.2牛
DF容=G甲，所以无水溢出。
④因为Dp容>Dp水，所以圆柱体甲在水中一定沉底，且S甲=S/2，p水后<2p 水前，所以甲在水中一定浸没（若未浸没时，S甲=S/2，后来水的深度h水后=2h水前，p水后=2p 水前）。
⑤因为DF容=G甲，所以无水溢出
Dh水＝Dp水/ρ水g
＝490帕/1×103千克/米3×9.8牛/千克 ＝0.05米
V甲＝V排＝S容Dh水＝2×10-2米2×0.05米＝1×10-3米3
ρ甲＝m甲/V甲＝4千克/ 1×10-3米3＝4×103千克/米3
【例题2】如图2所示，水平桌面上放有轻质圆柱形容器A（容器足够高）和实心圆柱体B。容器A内装有深为0.1米的水，实心圆柱体B的质量为4千克、高为0.2米、底面积为0.01米2。求：
图2
A
B

（1）圆柱体B的密度。
（2）水对容器底部的压强。
（3）将圆柱体B竖直放入容器A中，能浸没在水中时，容器A对水平桌面压强的最小值。
【答案】（1）2×103千克/米3；（2）980帕；（3）2940帕。
【解析】
（1）VB=SBh B=0.2米×0.01米2=2×10-3米3
ρB=mB/VB=4千克/（2×10-3米3）=2×103千克/米3
（2）p 水=ρ水gh水
=1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
（3）因为容器A对水平桌面的压力等于水的重力与B的重力的和是不变的，要求容器A对水平桌面的压强最小，应该满足容器的底面积最大才可以，但水的体积是一定的，底面积大时不一定浸没，所以要同时满足这两个条件，只有物体竖直放入且刚好浸没时，才可以。
先求容器的最大底面积Smax
Smax×0.2米=0.1米×Smax+0.2×0.01米3
Smax=0.02米2
再求容器A对水平桌面压强的最小值：
Pmin=F/Smax=（G物+G水）/Smax
=m物g/Smax +ρ水gh水
Pmin=4千克×9.8牛/千克/0.02米2+1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米
Pmin=2940帕
【例题3】如图3所示，有一个底面积S2为3.0×10-2米2、足够深的柱状容器，其内有一个底面积S1为1.0×10-2米2高为0.2米的金属柱状实心物体，现不断向容器内注入水。

h
S2
S1
图3

①当加入水的体积为2×10-3米3时，求水对容器底部的压强；
②当加入水的质量为6千克时，求水对容器底部的压力。
【答案】①980帕；②78.4牛。
【解析】
此类问题的计算难点是判断容器内的水是否浸没物体，根据数学知识即可。
①如果物体未被浸没，则水为柱形，底面积为（S2—S1），高度为
h水=V水 /（S2—S1）＝2×10-3米3/（3.0×10-2米2－1.0×10-2米2）=0.1米
小于物体的高度高0.2m，所以物体没有被浸没，水的深度为0.1米。
水对容器底部的压强
p =ρ水gh水
=1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
②若水的质量为6千克时，体积为
V水＝m水/ρ水＝6千克/ 103千克/米3＝6×10-3米3
如果物体未被浸没，则水的高度为
h水=V水 /（S2—S1）＝6×10-3米3/（3.0×10-2米2－1.0×10-2米2）= 0.3米
可见大于物体的高度高0.2m，所以物体被浸没。
物体的体积为V甲＝1.0×10-2米2×0.2m＝2×10-3米3
水的深度为
h水=（V水 + V物）/ S2＝（6×10-3米3+2×10-3米3）/3.0×10-2米2=0.27米
水对容器底部的压强
p =ρ水gh水
=1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.27米＝2646帕
水对容器底部的压力
F = pS＝2646帕×3.0×10-2米2＝78.4牛
【例题4】如图4所示，一个高度为0.2米、底面积为0.02米2的轻质圆柱形容器A内装有酒精，深度为0.1米(已知ρ酒=0.8×103千克/米3)。求:
图4
A
B

(1)酒精的质量m；
(2)酒精对容器底部的压强p；
(3)若将一个密度为2000千克/米3、底面积为0.01米2、高度为h的圆柱形实心物体B竖直放入容器中,使酒精对容器底部产生的压强为最大,求圆柱形实心物体的最小高度值和酒精对容器底部产生的最大压强p最大。
【答案】（1）1.6千克；（2）980784帕； （3）1568帕。
【解析】
（1）m酒＝ρ酒V酒＝0.8×103千克/米3×2×10-3米3＝1.6千克
（2）p酒＝ρ酒gh酒＝0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝784帕
（3）为使酒精对容器底部产生的压强最大，则酒精的深度h酒最大，应使圆柱形实心物体B没有浸没或刚好浸没（如图5）。
此时酒精的最大深度为
h酒=V酒 /（SA—SB）＝2×10-3米3/（0.02米2－0.01米2）=0.2米
图5
B

酒精的最大深度等于圆柱形容器A的高度，酒精未溢出。
圆柱形实心物体的最小高度值为hB=0.2米
p最大＝ρ酒gh酒＝0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝1568帕
三、练习题
1．如图1所示，薄壁柱形容器B置于水平地面上，均匀立方体A放置在容器B内，已知A的边长a为0.1米，重力大小为15牛；B的底面积为5×10-2米2。
图1
A
B

⑴求立方体A对容器B底部施加的压强pA。
⑵若再向容器B内缓慢注入质量为4千克的水，求水对容器B底部的压强p水。
【答案】（1）2´103千克/米3 ；（2）980帕； （3）0.89千克 。
【解析】
(1) 因为立方体A放置在水平面上不动，所以立方体A对容器B底部施加的压强为：
pA=FA/SA=G/S=15牛/ /10-2米2=1500帕
（2）V水＝ m水／ρ水=4千克/1.0×103千克/米3= 4×10-3米3
假设水倒入容器B后，水面没有超出立方体的顶部，则水深
h=V水 / S水＝V水 /（SB—SA）
＝4×10-3米3/（5.0×10-2米2－1.0×10-2米2）=0.1米
因为水深h等于立方体A 的边长a，所以假设成立。
因此p水＝ρ水gh＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米＝9.8×102帕。
2．如图2所示，均匀实心圆柱体甲和盛有水的薄壁圆柱形容器置于水平地面上，容器足够高，它们的底面积分别为S和3S，容器中水的深度为h，甲的重力为G。
图2
甲

①求甲对水平地面的压强。
②若容器中水的体积为2×10-3米3，求水的质量。
③现沿水平方向将甲截去一定厚度，并将截去部分放入容器内的水中，发现甲所截的厚度H满足一定条件时，将它放入水中后，水对容器底的压强增加量△p水与H无关。请通过计算说明H应满足的条件及△p水。（水的密度表示为ρ水）
【答案】①G/ S；②2千克；③H≥1.5h； 0.5ρ水hg
【解析】
① P甲＝F甲/ S甲＝G/ S
② m水＝ρ水V水 ＝1×103千克/米3×2×10-3米3＝2千克
③圆柱体甲在水中沉底且不浸没时，水对容器底的压强增加量与甲的厚度H无关。
且S甲=S/3，水能上升到的最大深度为h水后＝1.5h，所以甲所截的厚度H≥1.5h
△h水＝1.5h－h＝0.5h
△p水＝0.5ρ水hg
3．如图3所示，圆柱体甲的体积为2×10-3米3，高为0.2米，甲的密度为2×103千克/米3。

放入物体前
放入物体后
p液（帕）
p0
2p0

图3
0.2米
甲
乙
0.25米

① 求甲的质量m甲。
② 求甲竖直放置时对水平地面的压强p甲。
③ 现有一底面积为2×10-2米2、高为0.25米的薄壁圆柱形容器乙放置在水平地面上。在容器乙中盛有质量为2千克的某种液体，将甲竖直放入其中至容器底，并分别测出甲放入前后液体对容器底部的压强p液，如表所示。求容器乙中液体密度的最小值。
【答案】①4千克；②3920帕；③103千克/米3。
【解析】
①m甲＝ρ甲V甲＝2×103千克/米3×2×10-3米3＝4千克
②p甲＝ρ甲gh甲＝2.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝3920帕
③ 因为p液’=2p液，所以h液’=2h液，柱体不浸没或刚好浸没
V排≤ V甲
2×10-2米2×h液≤1×10-2米2×h甲
h液≤1/2 h甲=0.1米
V液大=0.1米×2×10-2米2= 2×10-3米3
ρ液小=m液/V液大 = 2千克/2×10-3米3 =103千克/米3
4．如图4（a）所示，两个完全相同的薄壁圆柱形容器放在水平地面上。容器中分别盛有酒精和水，酒精的体积为米（已知千克/米）。将图4（b）所示的实心圆柱形金属块（底面积为容器底面积的一半），分别竖直放入酒精和水中（液体都不溢出），同时测出放入金属块前后酒精和水对容器底部的压强p酒和p水，如下表所示。求：
①酒精的质量m酒。
②放入金属块前容器中水的深度h水。

③已知金属块放入液体后有浸没、未浸没、恰好浸没三种状态。
i ) 分析比较金属块放入酒精前后，酒精的压强：P'酒＜2P酒，可推出h'酒＜2h酒；同时结合已知条件S金=S容/2，可分析推出：金属块在酒精中处于___________状态。
ii) 分析比较金属块放水中入前后，水的压强：__________，可知___________，可分析推出：金属块在水中处于未浸没或恰好浸没状态。
iii) 进一步综合分析，并通过计算说明金属块在水中所处的状态。
【答案】①2.4千克；②0.2m；③i）浸没；ii）P'水=2P水；h'水=2h水，同时结合已知条件 S金=S容/2；iii) 金属块在水中未浸没。
【解析】
①m酒＝ρ酒V酒＝0.8×103千克/米3×3×10-3米3＝2.4千克
②p水＝ρ水gh水＝103千克/米3×9.8牛/千克×h水
h水＝ 0.2m
③ i）浸没；
ii）P'水=2P水；h'水=2h水，同时结合已知条件 S金=S容/2
iii) 方法一：
因为酒精的总体积不变，h酒=p酒/（ρ酒g）= 0.3米
h'酒=p'酒 /（ρ酒g）=0.55米
△h酒=0.25米
h金=△h酒S/(1/2S) =0.5米
所以金属块在水中未浸没。
方法二：
若金属块在水中恰好浸没
h金=2h水=0.4米 则△h酒= h金×（S/2）/S=0.2米
h''酒=h酒+△h酒=0.5米
但实际金属块放入后酒精高度为 h'酒=p'酒/（ρ酒g）=0.55米
h'酒＞h''酒
所以金属块在水中未浸没。
5．盛有水的柱形容器置于水平地面上，现有一个棱长分别为0.1米、0.1米和0.3米的实心长方体金属块A，将A平放入容器中后，A浸没在水中，如图5所示（图中水面位置未画出）。
图5

（1）求A所受浮力的大小。
（2）若A的质量为8.1千克，求A的密度。
（3）若容器的内底面积为0.05米2，现将A由原平放改成竖放在水中，求容器底受到水的压强变化量的范围。
【答案】（129.4牛；（2）2.7×103千克／米3 ； （3）0~490pa 。
【解析】
（1）因为浸没，所以V排=V物
F浮=ρ液gV排=ρ水gV排=1.0×103千克／米3×9.8牛/千克×3×10-3米3 =29.4牛
（2）ρ=m/V =8.1千克/0.003米3=2.7×103千克／米3
（3）第一种情况：若原水面高度≥ 0.3米（竖放后仍保持浸没），则竖放后水面高度不变，即压强的变化量△p水＝0
第二种情况：若原水面高度恰为0.1m，设竖放后水面高度的变化量为△h
则 (0.05-0.03)米2×0.1米＝(0.05-0.01)米2 ×（0.1米-△h）
△h＝0.05米
△p水＝ρ水g△h水＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.05米＝490帕
压强的变化量范围是0~490pa
6．如图6（a）所示，轻质薄壁圆柱形容器甲置于水平地面，容器高0.2米，内盛0.15米深的水，水对容器底部压力为29.4牛。
甲

h
乙
0.2米
0.15米
（a） 图6 （b）

① 求水对容器底部的压强p水。
② 求容器的底面积S容。
③ 现有面积为0.5S容、高为h、密度为5×103千克/米3圆柱体乙，如图6（b）所示，将乙竖直放入容器甲中，若要使水对容器底部的压强p水′最大，求h的最小值。
【答案】①1.47×103帕；②2×10-2米2；③0.1米。
【解析】
① p水＝ρ水gh
＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.15米
＝1.47×103帕
② S容＝F/ p
＝29.4牛/（ 1.47×103帕）
＝2×10-2米2
③ V甲上＝V乙小
S甲×（0.2米－0.15米）＝0.5S甲×h乙小
h乙小＝0.1米
7. 薄壁圆柱形容器甲的质量为0.4千克，底面积为1×10-2米2，容积为3×10-3米3，置于水平桌面上，内盛0.2米深的水。
① 求甲底部受到的水的压强p水。
② 现将质量为3.6千克的物体乙轻放入甲内，且乙浸没在水中。
（a）求甲对桌面达到的最大压强p甲。
（b）当甲对桌面达到最大压强时，求乙的最小密度r乙。
【答案】①1960帕；②（a）5880帕；（b）③3.6×103千克/米3。
【解析】
① P水=ρ水g h
=1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米3
=1960帕
②（a） F甲max=G max=（m容+m水+ m物）g
=6千克×9.8牛/千克=58.8牛
p甲max= Fmax/s=58.8牛/1×10-2米2=5880帕
（b）V乙max= V容- V水=3×10-3米3-2×10-3米3=1×10-3米3
ρ乙min= m物/ Vmax
=3.6千克/1×10-3米3=3.6×103千克/米3
8．如图8所示，放在水平地面上的薄壁圆柱形容器A、B，底面积分别为4×10-2米2、6×10-2米2，高均为0.5米。A中盛有6.4千克的酒精（已知ρ酒＝0.8×103千克/米3）、B中有一底面积为3×10-2米2、高为0.25米、质量为15千克的实心金属块甲，同时盛有水，水深0.12米。求：
①甲的密度；
②酒精对容器底的压强；

A B
图8

甲

③若再向两容器中分别倒入体积相同的酒精和水，是否有可能使液体对容器底的压强相同。若有可能请求出体积值，若不可能请通过计算说明。
【答案】①2×103千克/米3；②1568帕；③有可能。3×10-3m3或7.5×10-3m3。
【解析】
①ρ甲＝m甲/V甲
＝15千克/（3×10-2米2×0.25米）＝2×103千克/米3
②p酒＝F酒/S酒
＝m酒g/S酒
＝6.4千克×9.8牛/千克/4×10-2米2＝1568帕
③容器A中原来酒精的深度为h酒=V酒/SA=m酒/ρ酒SA=0.2米
容器B中原来水的深度为h水=0.12m，
向两容器中分别倒入体积相同的酒精和水， p水’＝p酒’ 即：ρ水gh水′=ρ酒精gh酒′，
ρ水g [ h水+ V /（SB—S甲）]=ρ酒精g（h酒+ V /SA）
V ＝3×10-3米3
h水=0.22米＜h铜 所以成立。

9．如图9所示，在水平桌面上放有两个完全相同的薄壁柱形容器A、B，底面积为5×10-3米2，高0.6米，容器中分别盛有0.7千克水和0.2米深的酒精（ρ酒精=0.8×103千克/米3），求：
铜柱
B
图9
A

①A容器中水的体积V水；
②B容器中酒精对容器底部的压强p酒精；
③将两个底面积为2.5×10-3米2、完全相同的实心铜质圆柱体分别放入A、B容器底部，要求：当圆柱体高度h为一定值时，容器内的液体对各自底部的压强大小相等（即p水’=
p酒精’）。计算出圆柱体高度的可能值。
【答案】①0.7 ×10-3米3；②1568 帕；③0.3m或0.2m。
【解析】
① V水=m水/ρ水=0.7千克/1×103千克/米3 =0.7 ×10-3米3
② p酒=ρ酒g h酒 =0.8×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米=1568帕
③ 因为容器内的液体对各自底部的压强大小相等
即p水’= p酒精’
ρ酒g h酒’=ρ水g h水’
h酒’S容= h酒S容+h铜S容/2
h铜 =0.3m
ρ酒g h酒”=ρ水g h水”
ρ酒g（V酒+ S铜h铜”）/ S容=ρ水g（V水+ S铜h铜”）/ S容
h铜” =0.2m
10．如图10所示，水平地面上置有轻质薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙。甲的底面积为0.01米2、高为0.3米，盛有0.2米深的水；乙的底面积为0.005米2、高为0.8米，质量为8千克。
①求水对甲底部的压强p水。
②求乙的密度r乙。
图10
甲
0.2米
0.3米
0.8米
乙

③若在乙上方沿水平方向切去一部分，并将切去部分竖直放在甲容器内，此时水对容器底部的压力等于乙剩余部分对地面的压力，求甲容器对地面压强的变化量Δp甲。
【答案】① 1960帕；②2×103千克/米3；③4410Pa。
【解析】
① p水＝ρ水gh＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝1960帕
② ρ=m/V =8千克/(0.005米2×0.8米)=2×103千克/米3
③ 水对容器底部的压力等于乙剩余部分对地面的压力F水 =F乙
因为F=PS
所以ρ水gh水S甲=ρ乙gh乙S乙
ρ水gh水2S乙=2ρ水gh乙S乙
h水=h乙 即水的深度等于乙剩余部分的高度
当（V水+V´乙）= V容 时（水刚好满）需要乙的高度
h´乙=（V容-V水）/S乙=（3×10-3米3-2×10-3米3）/0.005米2 = 0.2米
所以h甲=h乙=0.3米
V溢=（V乙浸-V上升）=0.3米×0.005米2-0.1米×0.01米2=5×10-4米3
△P甲=△F甲/ S甲＝△G/S甲
＝（G乙切 – G溢）/ S甲
=（5千克–103千克/米3×5×10-4米3）×9.8牛/千克/0.01米2
＝4410Pa。
11．如图11所示，圆柱体甲的质量为3千克，高为0.2米，底面积为S。
① 若甲的密度为2×103千克/米3，求甲的体积V甲。
② 现有一底面积为2S、高度足够高的薄壁圆柱形容器乙放置在水平地面上，将甲竖直放入其中至容器底，并分别测出甲放入前后水对容器底部的压强p水，如下表所示。

放入物体前
放入物体后
P水（帕）
p0
1.5p0

乙
图11
0.2米
甲

Ⅰ. 求甲放入后水深度的变化量Dh水。
Ⅱ. 求p0的大小。
【答案】①1.5×10-3米3；②Ⅰ. 0.1米；Ⅱ. 1960帕。
【解析】
① V甲＝m甲/ρ甲＝3千克/2×103千克/米3＝1.5×10-3米3
②Ⅰ.设水原来的深度为h0，则水的体积V水=2sh0
假设将甲竖直放入其中至容器底，水面没有超出甲的顶部，
水深: h＝V水/S水=2Sh0/S=2h0
则水的压强为 p水＝ρ水gh＝2 p0
而题目给的压强是p水＝1.5 p0与假设矛盾，所以甲一定被浸没。
水升高的高度为：
Dh水＝ V甲/2s=0.2米×s/2s＝0.1米
Ⅱ. Dp水＝ρ水gDh水
＝1.0×103千克/米3×9.8牛/千克×0.1米
＝980帕
Dp水＝1.5p0－p0＝0.5 p0
p0＝2 p水＝1960帕
12. 底面积为1´10-2米2的薄壁圆柱形容器A（容器足够高）放在水平地面上，里面盛有0.2米深的水，如图12所示。将一质量为6千克、底面积为5´10-3米2的实心圆柱体B竖直放入容器A中，待水静止后，上表面露出水面高度为0.1米，求：
图12
A
B

（1）容器中水的质量m水；
（2）金属圆柱体B的密度ρB。
【答案】（1）2千克；（2）2.4×103kg/m3 。
【解析】
①V=Sh＝1´10-2m2×0.2m＝2´10-3m-3
m＝ρ水V
＝1.0×103kg/m3×2×10-3m3
＝2kg
② 若F浮B=GB
则 h浸B=F浮B/ρ水gSB=1.2m
∵ h水最大= 0.4m ∴ 不成立
∴ B物体触底 hB= 0.5米
VB=SBhB＝5´10-3m2×0.5米＝2.5´10-3m3
ρB＝mB/VB＝6kg/2.5×10-3m3
＝2.4×103kg/m3
13．如图13所示，质量为0.5千克，底面积为2×10-2米2的圆柱形薄壁容器至于水平地面中央，容器内放有一个边长为0.1米，质量为2.5千克的正方体物块A。
①求物块A的密度ρ物。
②求容器对水平地面的压强p地。
③在容器中倒入3×10﹣3米3的水，物块仍沉底且水未溢出，求水对物块顶部的压强p顶。
图13
A

【答案】①2.5×103千克/米3；②1470Pa；③980Pa。
【解析】
①正方体物块的体积：
V物=L3=（0.1米）3=10-3米3
物块的密度：
ρ物=m/V = 2.5千克/10-3米3 =2.5×103千克/米3
②容器对水平地面的压力：
F=G=（m容+m物）g=（0.5kg+2.5kg）×9.8N/kg=29.4N
容器对水平地面的压强：
P地＝F/ S＝29.4牛/2×10-2米2=1470帕；
③容器内液体的深度：
h=（V水 + V物）/S=（3×10-3米3+10-3米3）/2×10-2米2=0.2米
物块顶部所处的深度：
h顶=h-L=0.2米-0.1米=0.1米
水对物块顶部的压强：
p顶=ρ水gh顶=1.0×103kg/m3×9.8N/kg×0.1m=980Pa

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