《数学史》几何学的变革上名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt
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1、 几何学变革几何学变革第九章第九章 第1页 第2页 几何,就是研究几何,就是研究空间空间结结构及性质一门构及性质一门学科学科。它是数。它是数学中最基本研究内容之一,学中最基本研究内容之一,与分析、与分析、代数代数等等含有一样等等含有一样主要地位,而且关系极为亲主要地位,而且关系极为亲密。密。第3页几何学发展几何学发展几何学发展历史悠长,内容丰富。它和代数、分析、几何学发展历史悠长,内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其亲密。数论等等关系极其亲密。几何思想是数学中最主要一类思想。当前数学各分支几何思想是数学中最主要一类思想。当前数学各分支发展都有几何化趋向,即用几何观点及思想方法去探发展都有
2、几何化趋向,即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。讨各数学理论。第4页9.1 9.1 欧几里得平行公设欧几里得平行公设 直到直到18世纪末,几何领域依然是欧几里得一统世纪末,几何领域依然是欧几里得一统天下解析几何改变了几何研究方法,但没有从实天下解析几何改变了几何研究方法,但没有从实质上改变欧氏几何本身内容质上改变欧氏几何本身内容 解析方法利用即使在相当长时间内冲淡了人们解析方法利用即使在相当长时间内冲淡了人们对综合几何兴趣,但欧几里得几何作为数学严格性对综合几何兴趣,但欧几里得几何作为数学严格性典范一直保持着神圣地位典范一直保持着神圣地位 第5页 然然而而,这这个个近近乎乎科科学学“圣圣经
3、经”欧欧几几里里得得几几何何并并非非无无懈懈可可击击实实际际上上,公公元元前前3世世纪纪到到18世世纪纪末末,数数学学家家们们即即使使一一直直坚坚信信欧欧氏氏几几何何完完美美与与正正确确,但但有有一一件件事事却却一一直直让让他他们们耿耿耿耿于于怀怀,这这就是欧几里得第五公设,也称平行公设就是欧几里得第五公设,也称平行公设 在在欧欧氏氏几几何何全全部部公公设设中中,唯唯独独这这条条公公设设显显得得比比较较特特殊殊它它叙叙述述不不像像其其它它公公设设那那样样简简练练、明明了了,当当初初就就有有些些人人怀怀疑疑它它不不像像是是一一个个公公设设而而更更像像是是一一个个定定理理,并并产产生生了了从从其其
4、它它公公设设和和定定理理推出这条公设想法推出这条公设想法 下面回顾一下下面回顾一下“欧氏几何公理、公设欧氏几何公理、公设欧氏几何公理、公设欧氏几何公理、公设”:第6页欧氏几何公理:欧氏几何公理:(1 1)等于同量量彼此相等;)等于同量量彼此相等;(2 2)等量加等量,和相等;)等量加等量,和相等;(3 3)等量减等量,差相等;)等量减等量,差相等;(4 4)彼此重合图形是全等;)彼此重合图形是全等;(5 5)整体大于部分。)整体大于部分。第7页欧氏几何公设:欧氏几何公设:(1)假定从任意一点到任意一点可作一直线;)假定从任意一点到任意一点可作一直线;(2)一条有限直线可不停延长;)一条有限直线
5、可不停延长;(3)以任意中心和半径能够画圆;)以任意中心和半径能够画圆;(4)凡直角部彼此相等;)凡直角部彼此相等;(5)若一直线落在两直线上所组成同旁内角和)若一直线落在两直线上所组成同旁内角和小于两直角,那么把两直线无限延长,它们小于两直角,那么把两直线无限延长,它们将在同旁内角和小于两直角一侧相交。将在同旁内角和小于两直角一侧相交。第8页 第9页第五公设第五公设第五公设:第五公设:若一直线落在两直线上,所组成同旁内若一直线落在两直线上,所组成同旁内角和小于两直角,那么把两直线无限延长,它们将在角和小于两直角,那么把两直线无限延长,它们将在同旁内角和小于两直角一侧相交。同旁内角和小于两直角
6、一侧相交。第10页 所以,从古希腊时代开始,数学家们就一直没有放所以,从古希腊时代开始,数学家们就一直没有放弃消除对第五公设疑问努力他们或者寻求以一个比较轻易弃消除对第五公设疑问努力他们或者寻求以一个比较轻易接收、愈加自然等价公设来代替它,或者试图把它看成一条接收、愈加自然等价公设来代替它,或者试图把它看成一条定理由其它公设、公理推导出来在众多替换公设中,今天定理由其它公设、公理推导出来在众多替换公设中,今天最惯用是:最惯用是:“过过已已知知直直线线外外一一点点能能且且只只能能作作一一条条直直线线与与已已知知直线平行直线平行”般将这个替换公设归功于苏格兰数学家、物理学家般将这个替换公设归功于苏
7、格兰数学家、物理学家普莱菲尔普莱菲尔(J.Playfair,17481819),所以有时也叫,所以有时也叫普莱菲尔公设普莱菲尔公设 第11页 历历史史上上第第一一个个尝尝试试证证实实第第五五公公设设是是古古希希腊腊天天文文学学家家托托勒勒玫玫(Ptolemy,约约公公元元150)作作出出,以以后后普普罗罗克克鲁鲁斯斯指指出出托托勒勒玫玫“证证实实”无无意意中中假假定定了了过过直直线线外外一一点点只只能能作作一一条条直直线线平平行行于于该该直直线线,这这就就是上面提到是上面提到普莱菲尔公设普莱菲尔公设 第12页 文艺复兴时期对文艺复兴时期对希腊学术希腊学术兴趣恢复使欧洲数学家兴趣恢复使欧洲数学家
8、重新关注起第五公设在重新关注起第五公设在17世纪研究过第五公设数学世纪研究过第五公设数学家有家有沃利斯沃利斯等但每一个等但每一个“证实证实”要么隐含了另一个要么隐含了另一个与第五公设等价假定,要么存在着其它形式推理错误与第五公设等价假定,要么存在着其它形式推理错误而且,这类工作中大多数对数学思想进展没有多大而且,这类工作中大多数对数学思想进展没有多大现实意义现实意义 所以,在所以,在18世纪中叶,世纪中叶,达朗贝尔达朗贝尔曾把平行公设证曾把平行公设证实问题称为实问题称为“几何原理中家丑几何原理中家丑”但就在这一时期前但就在这一时期前后,对第五公设研究开始出现有意义进展在这方面后,对第五公设研究
9、开始出现有意义进展在这方面代表人物是意大利数学家代表人物是意大利数学家萨凯里萨凯里、德国数学家、德国数学家克吕格克吕格尔尔和瑞士数学家和瑞士数学家兰伯特兰伯特 第13页 萨萨凯凯里里(意意大大利利)最最先先使使用用归归谬谬法法来来证证实实平平行行公公设设他他在在一一本本名名叫叫欧欧几几里里得得无无懈懈可可击击(1733)书书中中,从从著著名名“萨萨凯凯里里四四边边形形”出出发发来来证证实平行公设实平行公设 萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形,其中萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形,其中 =,且为直角,且为直角。萨凯里需要证实。萨凯里需要证实C=D且为直角。且为直角。第14页萨凯里指出:不用平行
10、公设轻易证实萨凯里指出:不用平行公设轻易证实C=D,而且顶角,而且顶角含有三种可能性并分别将它们命名为含有三种可能性并分别将它们命名为 1直角假设:C和D是直角;2钝角假设:C和D是钝角;3锐角假设:C和D是锐角 能够证实,直角假设与第五公设等价萨凯里计划是证实后能够证实,直角假设与第五公设等价萨凯里计划是证实后两个假设能够造成矛盾,依据归谬法就只剩下第一个假设成两个假设能够造成矛盾,依据归谬法就只剩下第一个假设成立,这么就证实了第五公设立,这么就证实了第五公设 第15页 萨凯里在假定直线为无限长情况下,首先由钝萨凯里在假定直线为无限长情况下,首先由钝角假设推出了矛盾,然后考虑锐角假设,在这一
11、过角假设推出了矛盾,然后考虑锐角假设,在这一过程中他取得了一系列新奇有趣结果,如程中他取得了一系列新奇有趣结果,如三角形三内三角形三内角之和小于两个直角;过给定直线外一给定点,有角之和小于两个直角;过给定直线外一给定点,有没有穷多条直线不与该给定直线相交,等等没有穷多条直线不与该给定直线相交,等等 即使这些结果实际上并不包含任何矛盾,但萨即使这些结果实际上并不包含任何矛盾,但萨凯里认为它们太不合情理,便认为自己导出了矛盾凯里认为它们太不合情理,便认为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实而判定锐角假设是不真实 第16页 萨萨凯凯里里工工作作激激发发了了数数学学家家们们深深入入思思索索1763年年
12、,克克吕吕格格尔尔(德德国国)在在其其博博士士论论文文中中首首先先指指出出萨萨凯凯里里工工作作实实际际上上并并未未导导出出矛矛盾盾,只只是是得到了似乎与经验不符结论得到了似乎与经验不符结论 克克吕吕格格尔尔是是第第一一位位对对平平行行公公设设能能否否由由其其它它公公理理加加以以证证实实表表示示怀怀疑疑数数学学家家他他看看法法启启迪迪兰兰伯伯特特(瑞瑞士士)对对这这一一问问题题进进行行了了愈愈加加深深入入探探讨讨 第17页 1766年,年,兰伯特兰伯特写出了写出了平行线理论平行线理论一书,一书,在这本书中,他也像萨凯里那样考虑了一个四边形,在这本书中,他也像萨凯里那样考虑了一个四边形,不过他是从
13、一个三直角四边形出发,按照第四个角是不过他是从一个三直角四边形出发,按照第四个角是直角、钝角还是锐角作出了三个假设因为钝角假设直角、钝角还是锐角作出了三个假设因为钝角假设造成矛盾,所以他很快就放弃了它造成矛盾,所以他很快就放弃了它 与与萨凯里萨凯里不一样是,不一样是,兰伯特兰伯特并不认为锐角假设导并不认为锐角假设导出结论是矛盾,而且他认识到一组假设假如不引发矛出结论是矛盾,而且他认识到一组假设假如不引发矛盾话,就提供了一个可能几何盾话,就提供了一个可能几何所以,兰伯特最先指所以,兰伯特最先指出了经过替换平行公设而展开新无矛盾几何学道路出了经过替换平行公设而展开新无矛盾几何学道路 第18页 萨萨
14、凯凯里里、克克吕吕格格尔尔和和兰兰伯伯特特等等,都都能能够够看看成成是非欧几何先行者是非欧几何先行者 然然而而,当当他他们们走走到到了了非非欧欧几几何何门门槛槛前前,却却因因为为各各自自不不一一样样原原因因或或则则却却步步后后退退(如如萨萨凯凯里里在在证证实实了了一一系系列列非非欧欧几几何何定定理理后后却却宣宣告告“欧欧几几里里得得无无懈懈可可击击”),或或则则徘徘徊徊不不前前(兰兰伯伯特特(瑞瑞士士)在在生生前前对对是是否否发发表表自自己己结结论论一一直直犹犹豫豫不不定定,平平行行线线理论理论一书是他死后由朋友发表一书是他死后由朋友发表)第19页 突破含有两千年根基欧氏几何传统束缚,需要更突
15、破含有两千年根基欧氏几何传统束缚,需要更高大巨人,这么时机在高大巨人,这么时机在19世纪初逐步成熟,而且也像世纪初逐步成熟,而且也像解析几何、微积分创建一样,这么人物出现了不止一解析几何、微积分创建一样,这么人物出现了不止一位位 对非欧几何来说,他们是对非欧几何来说,他们是高斯、波约高斯、波约(J.Bolyai,18021860)和罗巴切夫斯基和罗巴切夫斯基(N.I.Lobachevsky,1793-1856)下见:希尔伯特评价。下见:希尔伯特评价。第20页 希希尔尔伯伯特特说说:“1919世世纪纪最最富富有有启发性和最值得注意成就是启发性和最值得注意成就是 非欧几里得几何发觉。非欧几里得几何
16、发觉。”第21页9.2 9.2 非欧几何诞生非欧几何诞生 前前面面讲讲过过,在在非非欧欧几几何何正正式式建建立立之之前前,它它技技术术性性内内容容已已经经被被大大量量地地推推导导出出来来但但最最先先认认识识到到非非欧欧几几何何是是一一个个逻逻辑辑上上相相容容而而且且能能够够描描述述物物质质空空间、像欧氏几何一样正确新几何学是高斯间、像欧氏几何一样正确新几何学是高斯 第22页高斯高斯 高斯(高斯(Johann Carl Friedrich Gauss)()(1777年年1855年),生于年),生于不伦瑞克不伦瑞克,卒于,卒于哥廷根哥廷根,德国德国著著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。名
17、数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯成就遍布数学各个领域,在高斯成就遍布数学各个领域,在数论数论、非欧几何非欧几何、微分几何微分几何、超几何级数、超几何级数、复变函数论复变函数论以及以及椭圆函数椭圆函数论论等方面都有开创性贡献。他十分重视数学应用,而且等方面都有开创性贡献。他十分重视数学应用,而且在对天文学、在对天文学、大地测量学大地测量学和和磁学磁学研究中也偏重于用数研究中也偏重于用数学方法进行研究。学方法进行研究。第23页非欧几何诞生非欧几何诞生“非非欧欧几几何何”名名称称起起源源于于高高斯斯。他他从从17991799年年开开始始意意识识到到平平行行公公设设不不能能由由其其它它公
18、公理理推推出出,并并从从18131813年年起起发发展展了了这这种种平平行行公公设设在在其其中不成立新几何。中不成立新几何。第24页 非欧几何诞生非欧几何诞生为为了了验验证证“非非欧欧几几何何”应应用用可可能能性性,他他实实际际测测量量了了由由三三座座山山峰峰组组成成三三角角形形,此此三三角角形形三三边边分分别别为为:6969,8585与与109109公公里里。他他发发觉觉其其内角和比内角和比1801800 0大了近大了近1515。第25页 从从高高斯斯遗遗稿稿中中能能够够了了解解到到,他他从从1799年年开开始始意意识识到到平平行行公公设设不不能能从从其其它它欧欧几几里里得得公公理理推推出出
19、来来,并并从从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立新几何年起发展了这种平行公设在其中不成立新几何 他他起起先先称称之之为为“反反欧欧几几里里得得几几何何”,最最终终改改称称为为“非非欧欧几几里里得得几几何何”,所所以以“非非欧欧几几何何”这这个个名名称称正正是来自高斯是来自高斯第26页 但但他他除除了了在在给给朋朋友友一一些些信信件件中中对对其其非非欧欧几几何何思思想想有有所所透透露露外外,高高斯斯生生前前并并没没有有发发表表过过任任何何关关于于非非欧欧几几何何论论著著这这主主要要是是因因为为他他感感到到自自己己发发觉觉与与当当初初流流行康德空间哲学相抵触,担心世俗攻击行康德空间哲学相抵
20、触,担心世俗攻击 他他曾曾在在给给贝贝塞塞尔尔(P.W.Bessel)一一封封信信中中说说:假假如如他他公公布布自自己己这这些些发发觉觉,“黄黄蜂蜂就就会会围围着着耳耳朵朵飞飞”,并并会会“引引发发波波哀哀提提亚亚人人(特特指指有有世世俗俗偏偏见见愚愚人人)叫叫嚣嚣”第27页 当声誉甚隆高斯决定将自己发觉秘而不宣时,一位尚名不当声誉甚隆高斯决定将自己发觉秘而不宣时,一位尚名不见经传匈牙利青年见经传匈牙利青年波约波约却急迫地希望经过高斯评价而将自己关却急迫地希望经过高斯评价而将自己关于非欧几何研究公诸于世,波约父亲于非欧几何研究公诸于世,波约父亲F.波约是高斯朋友,也是波约是高斯朋友,也是一位数
21、学家一位数学家 1832年年2月月14日日,F.波波约约将将他他儿儿子子一一篇篇题题为为绝绝对对空空间间科科学学26页页文文章章寄寄给给高高斯斯,这这篇篇文文章章也也作作为为F波波约约刚刚才才完完成成一一本本数数学学著著作作附附录录而而发发表表,其其中中叙叙述述所所谓谓“绝绝对对几几何何”就就是是非非欧欧几几何何F波波约约请请高斯对他儿子论文发表意见。高斯对他儿子论文发表意见。波约匈牙利数学家匈牙利数学家-波约波约第28页 “称赞他称赞他(即即J.J.波约波约)就等于称赞我自己整篇文就等于称赞我自己整篇文章内容,您儿子所采取思绪和取得结果,与我在章内容,您儿子所采取思绪和取得结果,与我在303
22、0至至3535年前思索不谋而合年前思索不谋而合”J.波约对高斯回复深感失望,认为高斯想剽窃自己结果波约对高斯回复深感失望,认为高斯想剽窃自己结果 1840年年俄俄国国数数学学家家罗罗巴巴切切夫夫斯斯基基关关于于非非欧欧几几何何德德文文著著作作出出版版后后,更更使使J.波波约约气气馁馁丧丧气气,从从此此便便不不再再发发表表数数学学论论文文,而而他他父亲倒很开通,抚慰他说:父亲倒很开通,抚慰他说:“春天紫罗兰在各处盛开春天紫罗兰在各处盛开”然而高斯回信说:然而高斯回信说:第29页 在非欧几何三位创造人中,只有罗巴在非欧几何三位创造人中,只有罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己研究切夫斯基最早、最系
23、统地发表了自己研究结果,而且也是最坚定地宣传和捍卫自己结果,而且也是最坚定地宣传和捍卫自己新思想一位。新思想一位。他先是于他先是于1826年在喀山大学发表了年在喀山大学发表了简明叙述平行线定理一个严格证实简明叙述平行线定理一个严格证实演演讲,汇报了自己关于非欧几何发觉,而后讲,汇报了自己关于非欧几何发觉,而后又又在在1829年发表了题为年发表了题为论几何原理论几何原理论论文,这是历史上第一篇公开发表非欧几何文,这是历史上第一篇公开发表非欧几何文件文件。罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基第30页罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基1792年生于俄国下诺伏哥罗德年生于俄国下诺伏哥罗
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