算法合集之置换群快速幂运算研究与探讨.pptx
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1、1 1置换群快速幂运算研究与探讨江苏省苏州中学潘震皓 2 2基础知识群 是集合G和定义在G上的二元运算符 组成的代数系统群 满足 封闭性、结合律、单位元和逆元基础知识置置置置换换 置置换换T T 定定义义符号符号 ,a a被被b b取代取代 =b=aT=b=aT a()a()2 2T=aTTT=aTT基础知识连连接运算接运算接运算接运算 aT1T2=a(T1aT1T2=a(T1 T2)T2)基础知识循循环环6 6置换群基本操作1.存储2.映射3.连接运算4.分解循环5.整幂运算6.开方运算O(n)O(1)O(n)O(n)?O(nlogk)?O(n+k)O(n+k)!例题洗牌机洗牌机 (CEOI
2、 98)(CEOI 98)剀剀剀剀和凡凡有和凡凡有N N张张牌(依次牌(依次标标号号为为1 1,2 2,N N)和一台洗牌机。假)和一台洗牌机。假设设N N是奇数。洗牌机的功能是奇数。洗牌机的功能是是进进行如下的操作:行如下的操作:对对所有位置所有位置I I(1IN1IN),如),如果位置果位置I I上的牌是上的牌是J J,而且位置,而且位置J J上的牌是上的牌是K K,那么,那么通通过过洗牌机后位置洗牌机后位置I I上的牌将是上的牌将是K K。剀剀剀剀首先写下一个首先写下一个1N1N的排列的排列a ai i,在位置,在位置a ai i处处放上放上数数值值a ai+1i+1的牌,得到的的牌,得
3、到的顺顺序序x x1 1,x,x2 2,.,x,.,xN N作作为为初初始始顺顺序。他把序。他把这这种种顺顺序排列的牌放入洗牌机洗牌序排列的牌放入洗牌机洗牌S S次,得到牌的次,得到牌的顺顺序序为为p p1 1,p,p2 2,.,p,.,pN N。现现在,在,剀剀剀剀把牌的最后把牌的最后顺顺序和洗牌次数告序和洗牌次数告诉诉凡凡,要凡凡凡,要凡凡猜出牌的最初凡猜出牌的最初顺顺序序x x1 1,x,x2 2,.,x,.,xN N。例题 位置i 扑克牌j 位置j 扑克牌k 位置i 扑克牌k ai 位置ai 扑克牌ai+1 (1 3 4 2)位置位置牌牌一个引子设设 ,(,(T T为为一循一循环环,e
4、 e为单为单位置位置换换),),那么那么k k的最小正整数解的最小正整数解为为T T的的长长度。度。T=(1 3 5 2 4 6)T=(1 3 5 2 4 6)T2=(1 5 4)(2 6 3)T2是两个循环的乘积,这两个循环分别是循环T的奇数项和偶数项T=(1 3 5 2 4 6)T3=(1 2)(3 4)(5 6)T3是三个循环的乘积,这三个循环分别是循环T中编号 mod 3=0,1,2的项当k|n时,Tk分裂成了 k个循环的乘积,这k个循环分别是循环T中编号 mod k=0,1k-1的项,按顺序的连接Ta*b=(Ta)ba=gcd(n,k)b=k/aTk=(Ta)b所以说,现在问题就转换
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