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算子代数上保持ξ-Lie积的c-数值域的映射.pdf
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1、Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(1),244-254 Published Online January 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.131027 文章引用文章引用:田茹,张艳芳.算子代数上保持-Lie 积的 c-数值域的映射J.应用数学进展,2024,13(1):244-254.DOI:10.12677/aam.2024.131027 算子代数上保持算子代数上保持-Lie积的积的c-数值域
2、的映射数值域的映射 田田 茹,张艳芳茹,张艳芳*太原理工大学数学学院,山西 太原 收稿日期:2023年12月19日;录用日期:2024年1月13日;发布日期:2024年1月22日 摘摘 要要 令令()B H是复是复Hilbert空间空间H上有界线性算子全体组成的代数,对于上有界线性算子全体组成的代数,对于()1,kkccc=?=?,()cAW表示算子表示算子()AB H 的的c-数值域。本文主要研究了在数值域。本文主要研究了在H是有限维的情形下,是有限维的情形下,()B H上一类映射保持算子上一类映射保持算子-Lie积的数积的数值域的刻画。具体说来,若值域的刻画。具体说来,若dimHn=且且c
3、满足一定条件时,若满足一定条件时,若()():B HB H是满射,满足是满射,满足()()()()()()ccABBAABAB=WW(1,1)对任意的对任意的(),A BB H 成立,当且仅当存成立,当且仅当存在在H上的酉算子上的酉算子U以及常数以及常数1,1 使得使得()TUTU=对所有对所有()TB H 成立。成立。关键词关键词 c-数值域,数值域,-Lie积,保持问题积,保持问题 Maps Preserving the c-Numerical Range of-Lie Product on Operator Algebras Ru Tian,Yanfang Zhang*College o
4、f Mathematics,Taiyuan University of Technology,Taiyuan Shanxi Received:Dec.19th,2023;accepted:Jan.13th,2024;published:Jan.22nd,2024 Abstract Let()B H be the algebra of all bounded linear operators on an complex Hilbert space H.For()1,kkccc=?=?,()cAW denotes the c-numerical range of an operator A in(
5、)B H.In this paper,we consider maps on()B H prserving the c-numerical range of-Lie Product.When the dimen-*通讯作者。田茹,张艳芳 DOI:10.12677/aam.2024.131027 245 应用数学进展 sion of H is finite and()1,kkccc=?=?belongs to a certain kind,it is shown that()():B HB H is surjective maps satisfying()()()()()()ccABBAABAB
6、=WW for any(),A BB H,1,1 if and only if there exist a unitary operator U on H such that()TUTU=holds for all()TB H,where 1,1 is a scalar.Keywords c-Numerical Range,-Lie Product,Preserving Problems Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attr
7、ibution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 令()B H是复 Hilbert 空间 H 上有界线性算子全体组成的代数,()1,0kkccc=?且ic不全相等,其中 k 是正整数且不大于 H 的维数,算子()AB H的 c-数值域和 c-数值半径分别定义为()11,:,kciiikiAcAx xxxH=?W是的一组正交单位向量 和()()wsup:ccAA=W。特别地,当1k=且1c=时,就得到算子 A 的数值域()AW和数值半径()w A;当()()1,1,1
8、kcc=?时,()cAW和()wcA分别表示 A 的 k-数值域()kAW和 k-数值半径()wkA。不难看到,将 c 的所有分量按照降序排列后并不改变算子的 c-数值域和 c-数值半径,因此在本文中总假设1kcc?。算子代数上映射结构的研究是算子理论,算子代数方向的主要研究课题之一,对刻画算子代数的刚性结构具有重要意义。其中一个方面就是对算子代数上保持某些不变量的映射刻画和分类问题的研究,这类问题称为算子代数上的保持问题。算子的数值域起源于对二次型的研究,与算子的谱有密切关系,并在算子结构,工程技术等方面都有应用。有关数值域及其保持问题的研究已经有了丰富的成果1-7。后来,算子的数值域有多种
9、推广,如 c-数值域,k-数值域,高维数值域,联合数值域等。其中,c-数值域由 R.Westwick引入,并且他证明算子的 c-数值域是凸集,至此开始了对于 c-数值域的研究。近年来,算子代数上保持各种乘积 c-数值域映射问题的研究受到了国内外许多学者的关注见文献8-11。记()B H=或者()sBH(复希尔伯特空间 H 上所有有界自伴算子组成的 Jordan 代数),映射:满足()()()()ccA BAB=?WW(或()()()()wwccA BAB=?)(,A BA A)其中?代表算子的某种乘积关系,若对任意的,A BA A,(如普通的乘积A BAB=?,Jordan 乘积A BABBA
10、=+?,Jordan 半三重积A BABA=?,Lie 积A BABBA=?,斜 Lie 积A BABBA=?等),则称映射:保持算子?乘积的 c-数值域(或 c-数值半径)。文献12刻画了算子代数上保持算子乘积的 c-数值域的满射,并且刻画了()sBH上保持算子乘积A BAB=?c-数值半径的满射和对于某一类特殊的c 在()sBH上保持算子乘积A BAB=?c-数值域的满射。在13中,()B H和()sBH上保持 Jordan 乘积的数值域的映射分别得到了刻画。文献14研究了()B H上保持 Jordan 乘积的 c-数值域的映射。文献15Open AccessOpen Access田茹,张
11、艳芳 DOI:10.12677/aam.2024.131027 246 应用数学进展 得到了保持 Lie 积数值域的映射形式。显然,对于复数,当1=和-1 时,算子,A B的-Lie 积分别表示 Lie 积和 Jordan 积,所以我们关注/1,1时,算子代数上保持-Lie 积的 c-数值域的映射。其中对于()()1,1,1kcc=?即为 k-数值域时,文献16 17给出了在()B H上保持-Lie 积的 k-数值域的映射刻画。本文的主要目的是研究在H是有限维的情形下,算子代数上保持-Lie积的c-数值域的满射的形式,即刻画了(),A BB H满足()()()(),ccA BAB=WW的满射的
12、形式。本文的主要结构如下:第二部分给出复 Hilbert 空间上的有界线性算子 c-数值域的相关性质,在第三部分中给出了 H 是有限维的情形下,()B H上一类映射保持算子-Lie 积的数值域的刻画及其证明。最后介绍本文中出现的符号含义和陈述假设。用和分别表示实数域和复数域,如果dimHn=时,我们就约定()B H为()nM,其中()nM是 n 阶复矩阵全体组成的集合。在 H 是有限维的情形时,我们可以总假设kn=。因为若kn若若,,dimmin,0,dimjjjcHkccHk=?若若,当1,jk=?。下面介绍二次算子的概念。称 A 是()B H上的二次算子,若存在,a b使得()()0AaI
13、AbI=成立。由文献19,复 Hilbert 空间 H 上存在空间分解112HHH使得二次算子 A 有如下形式 0rsraIPIbI,(1)这里,a b,1dimHr=,2dimHs=,11:P HH是一个半正定算子,即等价于,0Px x 对于所有1xH成立。在这个空间分解形式下,如果ab=,则对于1H上所有的非零向量 x 都有,0Px x。由于二次算子 c-数值域描述的需要,首先给出记号 p 的形式,若dimH=,则可以通过对 c 的分量补充0 使得 c 成为kc,而且c的第1p+个分量10pc+=且2kp=。若dimH=或dim2,21Hkpp=+,(2)对于自伴算子()PB H,记()(
14、)sup:,dim,dimmmmX PXX XIHPPmHn=若若的特征值降序排列后的第值个特征。如下结论是关于二次算子的 c-数值域。命题命题 2.4 19令()AB H是二次算子且有如(1)的算子矩阵的形式,假设 0kc满足(2),记min,tp r=,()()()1120jjjkjkjaPBcccab Ib+=+,1,jt=?,则()cA=W或者()int,()()11k ttjj tBBc=+=+?WW,其中等式()cA=W成立的充分必要条件是11:P HH有一个对角形式()()()1diag,tPP?。命题命题 2.5 19对于二阶复矩阵11122122ccCcc=,它的特征值为12
15、,,那么 1)()CW是一个焦点为特征值12,,短轴为()22212,1,2iji jc=的椭圆。2)当()212,0cc c=时,则()()()()()()1221222cAccAcAccAcA I=+=+WWtrWtr是一个焦点为1 122cc+和1221cc+,短轴长为()()2221212,1,2iji jccc=的椭圆盘。下列命题来自文献20,它对于定理的证明起着重要作用。命题命题 2.6 设()nAM且酉相似于12AA,则()()()()121212:,tttcccAAAc cc P P=+=WconvWW个是一置换矩阵。引理引理 2.7 设()AB H,()1,kkccc=?满足
16、10kcc+,则(),cA xxW的水平和垂直支撑线形田茹,张艳芳 DOI:10.12677/aam.2024.131027 248 应用数学进展 成的矩形中心是()11,2kccAx x+?。证明证明:取 H 中的单位向量 x,即1x=,令,TA xxAxxxA x=。如果dim2H=,此时设 T 的两个特征值为12,,则()cTW是以()()12122cc+为中心的椭圆,因此()cTW的中心是()121,2ccAx x+。如果dim2H,令Axxy=+,A xxyz=+,,x y z是两两正交的单位向量,,,则在空间分解,Hx y zx y z=下,有()1000000T=,因此,()()
17、2Re e1eeeee1Reee00022e00iiiiiiiiiTTT+=。就有()Re,0T+=,其中()()()()()22211Re e1Re e1eee22iiiii =+。则()11Re,ckkTcccc+=+?W,会有()RecTW的中心是()()()11Re e12ikcc+?。同理,也有()ImcTW的中心是()()()11Im e12ikcc+?。由命题 2.1(7),我们可以得到(),cA xxW的中心是()11,2kccAx x+?。引理引理 2.8 令()2M表示二阶复矩阵全体,()212,0cc c=且12cc,则存在矩阵()2,A BM使得()(),ccA BB
18、AWW。证明证明:反证法。假设对于任意()2,A BM,()(),ccA BB A=WW均成立。取1101A=,2011B=,则 3212,112A B=,232,12B A=。由假设知()(),ccA BB A=WW和命题 2.4 知二者的短轴长相等,故 222222322121232 21+=+,该式蕴涵1=。另一方面,取101iA=,由于 田茹,张艳芳 DOI:10.12677/aam.2024.131027 249 应用数学进展 21212,112iiA Bi+=,()2212,2iiB Ai+=,利用假设()(),ccA BB A=WW,同理可得()22222221221212212
19、 2iiiiii+=+,该式结合事实1=,即蕴涵,进而得到1,1,这与命题假设矛盾。因此定存在()2,A BM使得()(),ccA BB AWW。3.保持保持-Lie 积的积的 c-数值域的映射刻画数值域的映射刻画 下面给出本文主要定理。定 理定 理 若()1,0nnccc=?满 足10ncc+,非 零 分 量ic全 不 相 等 且10niic=,假 设()():nnMM是满射,则保持算子-Lie 积的 c-数值域,即满足()()()(),ccA BAB=WW,()(),nA BM 的充分必要条件是存在酉矩阵()nUM以及常数1,1 使得()TUTU=对所有()nTM成立。可以看到,当()1,
20、0,0c=?时,可以得到保持算子-Lie 积的数值域的形式,有以下结论。推论推论 若()():nnMM是满射,则保持算子-Lie 积的数值域,即满足()()()()()()ABBAABBA=WW,()(),nA BM 的充分必要条件是存在酉算子()nUM以及常数1,1 使得()TUTU=对所有()nTM成立。下面给出定理的证明。证明证明:显然充分性成立,我们仅需要证明必要性,我们由以下 4 个断言完成必要性的证明。假设()():nnMM是满射满足()()()(),ccA BAB=WW对于任意(),nA BM成立。断言断言 1 是单射。若(),nA BM满足()()AB=,则有()()()()(
21、)()()(),ccccA xxAxxBxxB xx=WWWW,对于任意向量nx成立。由命题 2.1(7)和引理 2.7,有()()111,1,22nnccccAx xBx x+=,因此,可以得到,Ax xBx x=成立对于所有nx,那么得AB=。断言断言 2 存在空间分解()nMEF=+使得()()23III=+。由定义,我们有()()()()()()()()211,1nicccicI IIII=WWW,由于10niic=,可以得到()2II=。由16定理 1.1,存在空间分解()()nMNNEF=使得()()12310IRIIII=,其中:,0R NNRx x对于任意向量xN成立。如果di
22、m2N,令112Rxaxbx=+,其中12,x x是 N 中相互正交的单位向量,则0,0ab。如果1212,Nx xNx x=,则在空间分解()12121212,nMx xx xx xx xEF=下,有 田茹,张艳芳 DOI:10.12677/aam.2024.131027 250 应用数学进展 ()()2311100001*0*001000000100000*00000abbIIIII=,其中1211,|Nx xII=。令100000YY=,其中12100000000000000bbY=,12,b b。由于是满射,则存在()nXM使得()XY=,因此()()()()()()()(),cccc
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