第二章-z变换与离散时间傅里叶变换.pptx
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1、第二章 z变换和DTFT本章主要内容:1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述2.1 z变换的定义及收敛域 信号和系统的分析方法有两种:信号和系统的分析方法有两种:时域分析方法时域分析方法变换域分析方法变换域分析方法连续时间信号与系统连续时间信号与系统 LT FT离散时间信号与系统离散时间信号与系统 ZT FT 一、一、ZT的定义的定义 z 是复变量,所在的复平面称为是复变量,所在的复平面称为z平面平面 二、ZT的收敛域对于任意给定序列x(n),使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合
2、称为X(z)的收敛域。级数收敛的充要条件是满足绝对可和1)有限长序列 除除0和和两点是否收敛与两点是否收敛与n1和和n2取值情况取值情况有关外,整个有关外,整个z 平面均收敛。平面均收敛。如果如果n20,则收敛域不包括,则收敛域不包括点点 如果如果n10,则收敛域不包括,则收敛域不包括0点点 如果如果n10n2,收敛域不包括,收敛域不包括0、点点2)右边序列因果序列因果序列的的z变换必在变换必在处收敛处收敛在在处收敛的处收敛的z变换,变换,其序列必为其序列必为因果序列因果序列3)左边序列4)双边序列例例1收敛域应是整个收敛域应是整个z的闭平面的闭平面例例2:求:求x(n)=RN(n)的的z变换
3、及其收敛域变换及其收敛域例例3:求:求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域的变换及其收敛域例例4:求:求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域的变换及其收敛域例例5:求:求x(n)=a|n|,a为实数,求为实数,求ZT及其收敛域及其收敛域给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列,只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析,不能有极点,故:右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内2.2 z反变换实质:求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法:围线积分法(留数法)部分分式法 长除法z反变换反变换:从从X(z)
4、中还原出原序列中还原出原序列x(n)1、围数积分法求解(留数法)若函数X(z)zn-1在围数C上连续,在C以内有K个极点zk,而在C以外有M个极点zm,则有:1、围数积分法求解(留数法)根据复变函数理论,若函数X(z)在环状区域 内是解析的,则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数,即而 其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。若F(z)在c外M个极点zm,且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上,则:利用留数定理求围线积分,令利用留数定理求围线积分,令 若若F(z)在围线在围线c上连续,在上连续,在c内有内有K个极点个极点zk,则:,则:单阶极点的留数:
5、单阶极点的留数:思考:n=0,1时,F(z)在围线c外也无极点,为何2、部分分式展开法求解IZT:常见序列的常见序列的ZT参见书参见书p.54页的表页的表2-1若函数若函数X(z)是是z的有理分式,可表示为:的有理分式,可表示为:利用部分分式的利用部分分式的z反变换和可以得到函数反变换和可以得到函数X(z)的的z反变换。反变换。例例2 2 设设利用部分分式法求利用部分分式法求z z反变换。反变换。解:解:3、幂级数展开法求解(长除法):一般一般X(z)是有理分式,可利用分子多项式除是有理分式,可利用分子多项式除分母多项式(长除法法)得到幂级数展开式,分母多项式(长除法法)得到幂级数展开式,从而
6、得到从而得到x(n)。1 1、线性性、线性性2.3 Z变换的基本性质和定理R1R2R|a|RR2 2、序列的移位、序列的移位3 3、z z域尺度变换域尺度变换 (乘以指数序列)(乘以指数序列)4 4、z z域求导域求导 (序列线性加权)(序列线性加权)Z变换的基本性质(续)5 5、翻褶序列、翻褶序列1/RR6 6、共轭序列、共轭序列7 7、初值定理、初值定理8 8、终值定理、终值定理Z变换的基本性质(续)9 9、有限项累加特性、有限项累加特性ZTZT的主要性质参见书的主要性质参见书p.69p.69页的表页的表2-22-21010、序列的卷积和、序列的卷积和1111、序列乘法、序列乘法1212、
7、帕塞瓦定理、帕塞瓦定理2.4 序列ZT、连续信号LT和FT的关系若:连续信号采样后的拉氏变换连续信号采样后的拉氏变换LT抽样序列:当当两变换之间的关系,就是由复变量两变换之间的关系,就是由复变量s s平面到复平面到复变量变量z z平面的映射,其映射关系为平面的映射,其映射关系为对比:对比:进一步讨论这一映射关系:1s平面到z平面的映射是多值映射。辐射线辐射线=0 0T T平行直线平行直线=0 0正实轴正实轴=0实轴实轴=0Z平面平面S平面平面:抽样序列在单位圆上的抽样序列在单位圆上的z z变换,就等于其理想抽样变换,就等于其理想抽样信号的傅里叶变换信号的傅里叶变换数字频率w表示z平面的辐角,它
8、和模拟角频率W的关系为在以后的讨论中,将用数字频率在以后的讨论中,将用数字频率w w来作为来作为z z平面上平面上单位圆的参数,即单位圆的参数,即所以说,数字频率是模拟角频率的归一化值,或所以说,数字频率是模拟角频率的归一化值,或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2 2p p2.5 离散信号的付氏变换DTFT一、一、DTFT的定义的定义变换对:变换对:称为称为离散时间傅里叶变换(离散时间傅里叶变换(DTFT)。)。FT存在的充分必要条件是:如果引入冲激函数,一些绝对不可和的序列,如果引入冲激函数,一些绝对不可和的序列,如周期序列,其傅里叶变换可用冲激函数的如周
9、期序列,其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。形式表示出来。二、比较二、比较ZT和和DTFT的定义:的定义:利用利用ZT和和DTFT的关系可以有的关系可以有ZT计算计算DTFT。序列的傅里叶变换是序列的序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位变换在单位圆上的值圆上的值例1、计算门序列的DTFT (类似类似Sa(.)Sa(.)函数函数 )(线性相位线性相位)解:解:DTFT幅频特性:幅频特性:相频特性:相频特性:图示说明:)(wX0p2p2-pp-N=8Nw例例2 2、已知、已知 (),(),计算其计算其DTFTDTFT。由此可以得到由此可以得到FT的的幅频特性幅频特性和和相频特性相频特性物理说明
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