算法框图复数推理与证明114数学归纳法理.pptx

n重点难点n重点：数学归纳法n难点：数学归纳法的证明思路n初始值n0的确定n知识归纳n1归纳法n归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，如果我们考察了某类对象中的一部分，由这一部分具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论，为不完全归纳由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还需进一步证明；如果我们考察了某类对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳，由完全归纳法得出的结论一定是正确的，数学归纳法是一种完全归纳法n2数学归纳法n一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：n(1)归纳奠基：验证当n取第一个值n0时结论成立；n(2)归纳递推：假设当nk(kN*，且kn0)时结论成立推出nk1时结论也成立n只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n(nn0)都成立，这种证明方法叫做数学归纳法n3归纳、猜想与证明n从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳猜想证明”它是一个完整的思维过程，是人们从事科学研究、认识发现规律的有效途径，也是用来培养创新思维能力的有效办法，因此，它就成了高考命题的热点之一n误区警示n在应用数学归纳法的过程中：n第步，验证nn0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等n第步，证明nk1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法n这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的n另外，归纳假设中要保证n从第一个数n0开始，即假设nk(kn0)时结论成立，括号内限制条件改为kn0就错了n添减项法和放缩法n1用数学归纳法证明命题时，根据需要有时应添项或减项，这是数学归纳法证题的常用技巧n2在用数学归纳法证明不等式时，常根据题目的需要进行恰当的放缩，要注意既不能放缩的不到位，也不能放缩过了头n例1用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程中，第二步假设当nk时等式成立，则当nk1时应得到()nA12222k22k12k11nB12222k2k12k112k1nC12222k12k12k11nD12222k12k2k12kn解析：原等式左边是2021222n1，从20到2n1，右边是2n1，故当nk时，等式为20212k12k1，当nk1时，等式为20212k12k2k112k12k.n答案：Dn点评：用数学归纳法证明命题时，从nk到nk1的过渡是证题的关键环节，实际证明时，要据不同问题用不同方法讨论，证明恒等式或不等式时，关键要抓住项数和项的增减变化证明整除性命题时，凑出归纳假设的形式是关键；证明图形类问题时，要注意从nk到nk1，究竟图形中发生了哪些变化等等n用数学归纳法证明命题“n为正奇数时，xnyn能被xy整除”时，假设nk(k为正奇数)时，命题为真，则进而需证当_时命题为真()nAnk1nBnk1(k为正奇数)nCnk2(k为正奇数)nDn2k1(k为正奇数)n答案：Cn点评：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边项的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关n当nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项n用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN)n分析：从nk到nk1的过渡，左边增加了因式(2k1)(2k2)减少了因式k1，右边2k变成2k1增加了因式(2k1)n证明：(1)当n1时，左边2右边，等式成立n(2)假设nk(kN)时，等式成立，n即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，n则当nk1时，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)n2k2(2k1)2k12(k1)1等式也成立n由(1)、(2)可知，等式对任何nN都成立.n点评：用数学归纳法证明不等式常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不等式n点评：用数学归纳法证明与自然数n有关的命题时，不是不能结合其它证明方法，而是证明nk1时结论成立时，必须用上归纳假设(即nk时命题的结论)本题中证明式成立，不能丢开式另用其它方法，只要把式作为条件用上了，再结合其它方法(如放缩法、分析法、综合法等)是合理的.n分析：关键弄清凸k边形到k1边形对角线增加的条数，可以设想将k边形的一条边变为两条边增加一个顶点，该顶点与原来的k个顶点有k2条对角线，原来的这条边也成了一条对角线，故对角线共增加了k1条n平面上有n个圆，其中任何两圆都相交，任何三圆不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成的区域数为f(n)n2n2.n分析：关键是nk到nk1的过渡，要想搞清f(k1)比f(k)多出平面区域的块数，就要先弄清第k1个圆被原来的k个圆分成了多少段，每一段把它所在的原平面区域一分为二，为此先求出第k1个圆与原来的k个圆的交点个数即可n证明：(1)当n1时，一个圆把平面分成两个部分，n又f(1)12122，所以n1时，命题成立n(2)假设nk时命题成立，即平面内满足条件的k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分n则nk1时，第k1个圆与前k个圆中的每一个各有两个交点，又无三圆相交于同一点，故共得2k个交点，这2k个交点把第k1个圆分成2k条圆弧，每条圆弧把原来所在的区域一分为二，所以平面的区域增加2k个，即f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2，n所以当nk1时命题也成立n由(1)(2)可知，对一切正整数n，命题都成立.n解析：(1)当n1时，D1为RtOAB1的内部包括斜边，这时a13，n当n2时，D2为RtOAB2的内部包括斜边，这时a26，n当n3时，D3为RtOAB3的内部包括斜边，这时a39，n由此可猜想an3n.n下面用数学归纳法证明：n当n1时，猜想显然成立n假设当nk时，猜想成立，即ak3k(kN*)，n将不等式yk(x3)，kN*化为3x，kN*，可知取整点时x1或2.平面区域Dk为RtOABk的内部包括斜边、平面区域Dk1为RtOABk1内部包括斜边，n平面区域Dk1比平面区域Dk多3个整点，n即当nk1时，ak13k33(k1)，这就是说当nk1时，猜想也成立，n由知an3n对一切nN*都成立n点评：还可以证明平面区域Dn内的整点有(1，bk)，(1，ck)，(2，dk)，其中bk2k1，ck2k，dkk,1kn.n答案：Bn点评：归纳猜想的结论是否正确有待证明，但这里不需要证明，只要符合归纳推理的规则就行n1(09山东卷)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上n(1)求r的值；n(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)n解析(1)因为对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上，所以Snbnr，当n1时，a1S1br，n当n2时，anSnSn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因为an为等比数列，所以r1.n(2)当b2时，an(b1)bn12n1，bn2(log22n11)2n，n1求证：32n28n9能被64整除(nN*)n证明32n28n99n18n9(81)n18n9Cn108n1Cn118nCn1n182Cn1n8Cn1n18(n1)164(Cn108n1Cn118n2Cn1n1)8(n1)18(n1)164(Cn108n1Cn118n2Cn1n1)nCn108n1Cn118n2Cn1n1是整数n32n28n9能被64整除n自己用数学归纳法写出证明过程n解析(1)由an2anan1得an1anan2.n在数列an中an0，an10，nanan20，0an1，n故数列an中的任何一项都小于1.