算符对易关系.pptx
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1、1 3.7 3.7 算符对易关系、两力学量同时可测的条件、算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系测不准关系1 1算符的对易关系算符的对易关系设设 和和 为两个算符为两个算符若若 ,则称则称 与与 对易对易若若 ,则称则称 与与 不对易不对易引入对易子:引入对易子:若若 ,则则 与与 对易对易若若 ,则则 与与 不对易不对易23.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系(续)(1 1)力学量算符的基本对易关系)力学量算符的基本对易关系3证明对易关系式证明对易关系式 ExProveProve设设 为任一可微函数为任一可微函数特
2、别地,当特别地,当 代入上对易式,即证得代入上对易式,即证得同理可证:同理可证:3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系(续)测不准关系(续)4prove:(2 2)对易恒等式)对易恒等式雅可比恒等式雅可比恒等式双线性双线性3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系(续)5(3 3)角动量算符的对易关系)角动量算符的对易关系3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系(续)6Prove:Prove:等于零等于零 等
3、于零等于零3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系(续)7定定 理理prove:prove:2 2力学量同时有确定值的条件(对易的物理意义)力学量同时有确定值的条件(对易的物理意义)3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系(续6)设设 是是 和和 的共同本征函数完全系,则的共同本征函数完全系,则设设 是任一状态波函数,是任一状态波函数,若算符若算符 和和 具有共同的本征函数完全具有共同的本征函数完全系,则系,则 和和 必对易。必对易。8逆逆 定定 理理prove:
4、prove:设设 是是 的本征函数完全系,则的本征函数完全系,则若算符若算符 与与 对易,则对易,则(1 1)(2 2)为为简简单单起起见见,先先考考虑虑非非简简并并情情况况。由由(1 1)、(2 2)式式知知,和和 都都是是 属属于于本本征征值值 的的本本征征函函数数,它它们最多相差一个常数因子们最多相差一个常数因子 ,即,即 可见,可见,也是也是 的本征方程的解。因此,的本征方程的解。因此,是是 的本征函数完全系的本征函数完全系若算符若算符 与与 对易,则它们具有共同的本对易,则它们具有共同的本征函数完全系征函数完全系3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同
5、时可测的条件 测不准关系测不准关系(续7)9 若两个力学量算符彼此不对易,则一般说来这两若两个力学量算符彼此不对易,则一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性,或者个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性,或者说不能同时测定。说不能同时测定。两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易;在两个力学量算符的共同本征函数所算符彼此对易;在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中,这两个算符所表示的力学量同时有确描写的状态中,这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量同时有两个力学量算符所表示
6、的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。注注3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系(续8)为简单起见,以上定理和逆定理的证明是在非简为简单起见,以上定理和逆定理的证明是在非简并情况下证明的;在简并的情况下,结论仍成立(这并情况下证明的;在简并的情况下,结论仍成立(这里就不再证明了里就不再证明了)10Ex.2Ex.2 角动量算符角动量算符 和和 对易,即对易,即 因此它们有共同的本征函数完备系因此它们有共同的本征函数完备系 。3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件
7、算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系(续9)同时有确定值。同时有确定值。在在 描述的状态中,描述的状态中,在在 描述的状态中,描述的状态中,和和 可同时有确定值可同时有确定值:Ex.1Ex.1动量算符动量算符 彼此对易,它们有共同的彼此对易,它们有共同的本征函数完备系本征函数完备系 11Ex.5Ex.5 彼此不对易,故彼此不对易,故 一般不一般不可能同时有确定值。可能同时有确定值。Ex.4 坐标算符与动量算符不对易坐标算符与动量算符不对易 ,故故 一般不可同时具有确定值。一般不可同时具有确定值。3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的
8、条件 测不准关系测不准关系(续10)Ex.3 氢原子的算符氢原子的算符 彼此对易:彼此对易:它们有共同的本征函数完备系它们有共同的本征函数完备系 故故 可可同时有确定值同时有确定值:在在 状态中,状态中,12(1 1)定义:为完全确定状态所需要的一组两两对易的)定义:为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小(数目)集合称为力学量完全集。力学量算符的最小(数目)集合称为力学量完全集。三维空间中自由粒子,完全确三维空间中自由粒子,完全确定其状态需要三个两两对易的定其状态需要三个两两对易的力学量:力学量:Ex.2Ex.2氢原子,完全确定其状态也需氢原子,完全确定其状态也需要三个两两对易的
9、力学量:要三个两两对易的力学量:一维谐振子,只需要一个力学一维谐振子,只需要一个力学量就可完全确定其状态:量就可完全确定其状态:(2 2)力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度)力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。数相同。(3 3)由力学量完全集所确定的本征函数系,构成该体)由力学量完全集所确定的本征函数系,构成该体系态空间的一组完备的本征函数,即体系的任何状态系态空间的一组完备的本征函数,即体系的任何状态均可用它展开。均可用它展开。3 3.力力学学量量完完全全集集合合Ex.3Ex.3Ex.1Ex.13.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可
10、测的条件 测不准关系测不准关系(续11)134 4测测不不准准关关系系3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系(续2)测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导 坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系 角动量的测不准关系角动量的测不准关系引引 言言由前面讨论表明,两对易力学量算符则同由前面讨论表明,两对易力学量算符则同时有确定值;不对易两力学量算符,一般时有确定值;不对易两力学量算符,一般来说,不存在共同本征函数,不同时具有来说,不存在共同本征函数,不同时具有确定值。确定值。问问 题题两个不对易算符所对应的力学量在某一状两个
11、不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度?即不确定度态中究竟不确定到什么程度?即不确定度是多少?是多少?不确定度:不确定度:测量值测量值 F Fn n 与平均值与平均值 的偏差的的偏差的大小。大小。14 设设 和和 的对易关系为的对易关系为考虑积分:考虑积分:(再(再利用力学量算符的厄米性)利用力学量算符的厄米性)测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导 15由代数中二次定理知,这个不等式成立的条件由代数中二次定理知,这个不等式成立的条件是系数必须满足下列关系:是系数必须满足下列关系:(称为测不准关系)(称为测不准关系)如果如果 不等于零,则不等于零,则 和和 的均方偏差不会同
12、时为的均方偏差不会同时为零,它们的乘积要大于一正数,这意味着零,它们的乘积要大于一正数,这意味着 和和 不能不能同时测定。同时测定。3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系(续3)16 由测不准关系由测不准关系 看出:若两个力学量看出:若两个力学量算符算符 和和 不对易,则一般说来不对易,则一般说来 与与 不能同不能同时为零,即时为零,即 和和 不能同时测定(但注意不能同时测定(但注意 的特殊态可能是例外),或者说它们不能有共同本征的特殊态可能是例外),或者说它们不能有共同本征态。反之,若两个厄米算符态。反之,若两个厄米算符 和
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