化学试验设计法中的回归分析.pptx
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1、1那么如何在这些关系不确定的变量之间找到一些内在那么如何在这些关系不确定的变量之间找到一些内在的规律,从而为科学研究做出一定的预测?的规律,从而为科学研究做出一定的预测?譬如在我们的化学试验中,如何才能从有限的试验数譬如在我们的化学试验中,如何才能从有限的试验数据中找出一定的规律,从而为获得指标最优化做出正据中找出一定的规律,从而为获得指标最优化做出正确地判断?确地判断?2通常,通常,回归分析回归分析(RegressionAnalysis)是试验数据处)是试验数据处理中最常用的一种方法,也是比较好的一种方法。理中最常用的一种方法,也是比较好的一种方法。所谓回归分析,其实就是研究相关关系的一种数
2、学工所谓回归分析,其实就是研究相关关系的一种数学工具,具,它能提供变量之间关系的一种近似表达,即回归它能提供变量之间关系的一种近似表达,即回归方程,根据回归方程作图,就可以得到对各数据点误方程,根据回归方程作图,就可以得到对各数据点误差最小,因而也是最好的一条曲线,即回归曲线。差最小,因而也是最好的一条曲线,即回归曲线。回归方程可用来达到预测和控制的目的。回归方程可用来达到预测和控制的目的。3回归分析分类:回归分析分类:按自变量的数目分类:按自变量的数目分类:一元回归一元回归:多元回归多元回归:一个因变量和一个自变量一个因变量和一个自变量 (Y&XY&X)一个因变量和多个自变量一个因变量和多个
3、自变量(2 2)(Y&X1(Y&X1、X2X2)按回归关系分类:按回归关系分类:线性回归和非线性回归。线性回归和非线性回归。这两种分类方式相互交叉,可以产生常见的四种回归这两种分类方式相互交叉,可以产生常见的四种回归模式:模式:一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回一元线性回归、一元非线性回归、多元线性回归,多元非线性回归归,多元非线性回归。46 62 2 一元线性回归一元线性回归假假设设用用(x xi i,y yi i)表表示示一一组组数数据据点点(i i1 1,2 2,n n)。)。请问一下:这些数据点代表什么样的试验设计方案?请问一下:这些数据点代表什么样的试验设计方案?是不是代表单因
4、素试验设计?是不是代表单因素试验设计?任意一条直线的函数关系可表示为:任意一条直线的函数关系可表示为:y*=a+bxy*=a+bx (1)(1)如果用这条直线代表(如果用这条直线代表(x xi i,y yi i)里)里x x和和y y的关系,则每的关系,则每个点的误差为:个点的误差为:y yi i-y*=y-y*=yi i-a-bx-a-bxi i (2)(2)5(3)若各数据点的差方和为若各数据点的差方和为Q Qi i*,则总的差方和,则总的差方和Q*Q*为:为:一元线性回归一元线性回归就是指在所有的直线中,使差方和就是指在所有的直线中,使差方和Q*最最小的一条直线。小的一条直线。即回归直线
5、的系数即回归直线的系数b和截距和截距a应使应使Q*达到最小值。即:达到最小值。即:Q*(a,b)=minQ*(a,b)那么怎样的那么怎样的a、b值才能使值才能使Q*最小呢?最小呢?(3)式分别对)式分别对a、b求偏微分,并使之等于零:求偏微分,并使之等于零:6(4)(5)(4)式和)式和(5)式经转换分别可得:式经转换分别可得:(6)(7)7(6)、()、(7)式)式构成一个二元一次方程组,因此肯定构成一个二元一次方程组,因此肯定有唯一解。这有唯一解。这就是一元线性回归的基础就是一元线性回归的基础。经过一系列推导,最终:经过一系列推导,最终:其中:其中:(8)(9)8上面所讲的就是确定一元回归
6、方程所根据的原则。上面所讲的就是确定一元回归方程所根据的原则。即应使回归方程与所有观测数值的差方和达到极小值。即应使回归方程与所有观测数值的差方和达到极小值。因因为为平平方方运运算算也也称称为为“二二乘乘”运运算算,因因此此这这种种回回归归方方法就通称为法就通称为“最小二乘法最小二乘法”。最小二乘法就是最小差方和法。最小二乘法就是最小差方和法。事实上,现在计算机线性拟和(如事实上,现在计算机线性拟和(如excel、origin等)等)就是依据的上述(就是依据的上述(8 8)、()、(9 9)式,实际工作中根本不)式,实际工作中根本不需要大家计算。但是我们应该知道这个原理。需要大家计算。但是我们
7、应该知道这个原理。当然,大家也可以自己写一个小程序进行这些工作。当然,大家也可以自己写一个小程序进行这些工作。9如何判断一元线性回归方程是否有意义?如何判断一元线性回归方程是否有意义?在数学上有一个非常重要的判别方法,就是在数学上有一个非常重要的判别方法,就是相关系数相关系数法法。即我们经常求的。即我们经常求的R值法。值法。(10)或者:或者:(10)这里这里sx、sy为为x和和y的标准偏差。的标准偏差。10关于关于R的说明:的说明:R1,说明没有试验误差;,说明没有试验误差;R0说明回归线与说明回归线与x轴平行,轴平行,y与与x没有线性相关。没有线性相关。0R1,有相关性。,有相关性。其中其
8、中R愈接近愈接近1,相关性越强。,相关性越强。一般只有当一般只有当R大于某个临界值时,大于某个临界值时,y与与x的线性关系的线性关系才是显著相关,回归才有意义。才是显著相关,回归才有意义。R的临界值与样本个数、显著性水平都有关系。一的临界值与样本个数、显著性水平都有关系。一般的,般的,R最起码应大于最起码应大于0.95。一元线性回归在单因素法中有很重要的应用。一元线性回归在单因素法中有很重要的应用。1163一元非线性回归一元非线性回归 在很多实际的工作中,我们碰到的在很多实际的工作中,我们碰到的y-x按线性回归时,按线性回归时,相关系数很差,意味着相关系数很差,意味着y-x不是一个线性关系。这
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