Sylvester级数展式中例外集的维数.pdf
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1、应用数学MATHEMATICA APPLICATA2024,37(2):373-376Sylvester级数展式中例外集的维数吕美英,薛文(重庆师范大学数学科学学院,重庆 401331)摘要:在2018年,本文第一作者研究了实数的Sylvester级数展式中部分商的相对增长速度问题,并给出以一般函数速度增长的例外集的Hausdorff维数的下界.本文我们将进一步研究该集合,并精确刻画它的Hausdorff维数.同时作为应用,我们给出以多项式和指数速度增长时,相关例外集的维数结果.关键词:Sylvester级数展式;例外集;Hausdorff维数中图分类号:O156.7AMS(2010)主题分类
2、:11K55;28A80文献标识码:A文章编号:1001-9847(2024)02-0373-041.引言给定x (0,1,设d1(x)为满足1d1(x)x的最小正整数,依次做下去,设dn(x)(n 2)为满足1dn(x)0,他证明集合A()=x (0,1:limn1nlog(dn(x)d1(x)dn1(x)=具有满Hausdorff维数.设(n)为满足当n 时(n+1)(n)的正实值函数,令E()=x (0,1:limn1(n)log(dn(x)d1(x)dn1(x)=1.本文第一作者3在2018年给出了该集合Hausdorff维数的下界估计.本文我们将进一步研究该集合,假设(n)满足 li
3、mn(n+1)(n)=b 1,我们将给出集合E()Hausdorff维数的精确值.关于Sylvester展式例外集的更多相关结果参见文5.收稿日期:2023-03-21基金项目:重庆市科委面上项目(CSTB2022NSCQ-MSX0445);重庆市教委项目(KJQN202000531)作者简介:吕美英,女,汉族,河北人,教授,研究方向:分形几何与度量数论.374应用数学2024定理1.1设:N R+为正实值函数,且满足条件当n 时(n+1)(n)和 limn(n+1)(n)=b 1,则dimHE()=11+,其中=limsupn(n+1)nj=12nj(j),dimH表示Hausdorff维数
4、作为定理1.1的应用,分别令B(,)=x (0,1:limn1n(logdn(x)d1(x)dn1(x)=,1,0,C(,)=x (0,1:limn1n(logdn(x)d1(x)dn1(x)=,1,0,我们可以得到如下定理定理1.2对任意 1,0,dimHB(,)=1.定理1.3对任意 1,0,dimHC(,)=1,若1 2.2.定理的证明在本节,我们将给出主要结果的证明,首先我们给出Sylvester展式所具有的一些基本算术性质和度量性质,以及维数计算的相关理论.引理2.12设d1,d2,dn N(n 1)为自然数序列,满足d1 2,dj+1 dj(dj 1)+1(j 1),令In(d1,
5、d2,dn)=x (0,1:d1(x)=d1,d2(x)=d2,dn(x)=dn,我们称它为n阶柱集,则|In(d1,d2,dn)|=1dn(dn1),其中|表示集合的直径.引理2.21设集合F可以被nk个直径至多为k的集合覆盖,其中当k 时,k 0,则dimHF liminfnnklogk.引理2.33设:N R+为满足当n 时(n+1)(n)的正实值函数,则dimHE()11+,其中 =limsupn(n+1)nj=12nj(j).由引理2.3可知,本文我们只需证明集合E()维数的上界,我们将根据b的取值分两种情况来讨论.情况1当1 b 2时,此时=0,因此有dimHE()1,从而有dim
6、HE()=1.情况2当b 2时,记n(x)=logdn(x)d1(x)dn1(x).由于 limn(n+1)(n)=b 2,对任意 0,其中满足b(1 )2(1+),则有E()N=1BN(),其中BN()=n=Nx (0,1):(n)(1 )n(x)(n)(1+).第 2 期吕美英等:Sylvester级数展式中例外集的维数375由Hausdorff维数的-稳定性,我们只需要证明对于任意N 1,0,dimHBN()11+.我们仅证明N=1时的情况,类似可证明N 1的情况,由B1()的定义可知,对任意的x B1(),有(n+1)(1 )(n)(1+)n+1(x)n(x)(n+1)(1+)(n)(
7、1 ),n 1.注意到n+1(x)n(x)=logdn+1(x)dn(x)2,且当n 时,(n+1)(n),limn(n+1)(n)=b 2.则对于充分大的n,有(n)(b(1 )2(1+)logdn+1(x)dn(x)2(n)(b(1+)2(1 ).分别令c1()=b(1 )2(1+),c2()=b(1+)2(1 ),则对于任意x B1(),有c1()(n)logdn+1(x)dn(x)2 c2()(n).(2.1)不失一般性,我们假设(2.1)式对于任意n 1都成立,则B1()H:=n=1x (0,1):ec1()(n)dn+1(x)dn(x)2 ec2()(n).对于任意x H和n 1,
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