超静定问题.pptx
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1、 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题6-1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法.关于超静定问题的概述(a)(b)河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题 图a所示静定杆系为减小杆1,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1,FN2,FN3,但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题。(a)(b)河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题 图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx,FA,FB,FC,但只有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题。超静定问题:单凭静力平衡
2、方程不能求解约束力或构件内力的问题。FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxAB qFBFA 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题.解超静定问题的基本思路例例1超静定结构解除“多余”约束静定基(例如杆3与接点A的连接)河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题在静定基上加上原有荷载及“多余”未知力并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件相当系统12BCAFFN3FN3AD 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题于是可求出多余未知力FN3。由位移相容条件 ,利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程:12BCAFFN3FN3A
3、D 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题静定基ABl补充方程为于是可求出多余未知力FC。位移相容条件Cq+CFC=0 相相当系统当系统ABl/2qlFC例例2超静定梁yxl/2l/2CABq 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题.注意事项 (1)超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数,因而任何超静定问题都是可以求解的。(2)求出“多余”未知力后,超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。(3)无论怎样选择“多余”约束,只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同,则所得最终结果是一样的。河南理工大学土木工程学
4、院 材料力学 第六章 超静定问题 (4)“多余”约束的选择虽然是任意的,但应以计算方便为原则。如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束,则求解比较复杂。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题 例例例例1 1 1 1 设设设设1 1、2 2、3 3 三杆用绞链连结,如图所示三杆用绞链连结,如图所示三杆用绞链连结,如图所示三杆用绞链连结,如图所示,l l1 1=l l2 2=l l,A A1 1 =A A2 2=A A,E E1 1=E E2 2=E E,3,3杆的长度杆的长度杆的长度杆的长度 l l3 3 ,横截面积横截面积横
5、截面积横截面积 A A3 3 ,弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量E E3 3 .试求在试求在试求在试求在沿铅垂方向的外力沿铅垂方向的外力沿铅垂方向的外力沿铅垂方向的外力 F F 作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力.xyFAF FN2N2F FN3N3F FN1N1解:解:解:解:(1 1 1 1)列平衡)列平衡)列平衡)列平衡方程方程方程方程这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题这是一次超静定问题6-2 6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题CABDF 1 12 23 3 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题(2 2 2 2)变形几
6、何方程变形几何方程变形几何方程变形几何方程 由于问题在几何,物理及由于问题在几何,物理及由于问题在几何,物理及由于问题在几何,物理及 受力方面都是对称,所以变形受力方面都是对称,所以变形受力方面都是对称,所以变形受力方面都是对称,所以变形后后后后A A点将沿铅垂方向下移点将沿铅垂方向下移点将沿铅垂方向下移点将沿铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞变形协调条件是变形后三杆仍绞变形协调条件是变形后三杆仍绞变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起结在一起结在一起结在一起 CABDF 1 12 23 3xyFAF FN2N2F FN3N3F FN1N1CABD 1 12 23 3AA 河南理工大学土
7、木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题 变形几何方程为变形几何方程为变形几何方程为变形几何方程为 A1 12 23 3 CABDF 1 12 23 3CABD 1 12 23 3AAAA(3)(3)补充方程补充方程补充方程补充方程物理方程为物理方程为物理方程为物理方程为 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题(4)(4)联立平衡方程与补充方程求解联立平衡方程与补充方程求解联立平衡方程与补充方程求解联立平衡方程与补充方程求解CABDF 1 12 23 3 A1 12 23 3 AA 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题14 例题例题2 求图a所示等直杆AB上,
8、下端的约束力,并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。解解:1.列平衡方程 有两个未知约束力FA,FB(见图a),但只有一个独立的平衡方程 FA+FB-F=0 为一次超静定问题。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题15 2.取固定端B为“多余”约束。相应的相当系统如图b,它应满足相容条件BF+BB=0,参见图c,d。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题 3.补充方程为 由此求得所得FB为正值,表示FB的指向与假设的指向相符,即向上。河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题16得 FA=F-Fa/l=Fb/l
9、。5.利用相当系统(如图)求得 4.联立求解 FA+FB-F=0第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题 河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题 例例3 3 如图所示刚性梁如图所示刚性梁ABAB由由1 1,2 2,3 3杆悬挂,三杆的刚度杆悬挂,三杆的刚度均为均为EA。求。求P力作用下三杆的轴力。力作用下三杆的轴力。解:解:(1)平衡方程:平衡方程:河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题变形协调方程:变形协调方程:变形协调方程:变形协调方程:(2)物理方程:物理方程:(3)联解联解(1)()(2)()(3)式得:)式得:L3L2L1 河南理工大学土木工程学
10、院 材料力学 第六章 超静定问题此时,变形协调条件为此时,变形协调条件为注意:受力图与变形图必受力图与变形图必须一致!须一致!河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题例例4 图示结构,图示结构,AB为刚性梁,为刚性梁,1、2两杆刚度相同。求两杆刚度相同。求1、2杆的杆的受力。受力。平衡方程平衡方程:变形关系变形关系:物理关系物理关系:联立解出联立解出:河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题.装配应力和温度应力(1)装配应力 超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束,因此如果各杆件在制造时长度不相匹配,则组装后各杆中将产生附加内力装配内力,以及相应的装配应力。河南理工
11、大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题 图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了De,装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时,杆3在结点 A 处受到装配力FN3作用(图b),而杆1,2在汇交点A 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。(a)(b)河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a)列出补充方程由此可得装配力FN3,亦即杆3中的装配内力为(拉力)(a)河南理工大学土木工程学院 材料力学 第六章 超静定问题 至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。由此可见,计算超静
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