重积分主要内容.pptx

主主 要要 内内 容容1.二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质2.二重积分的计算法二重积分的计算法3.二重积分的应用二重积分的应用4.三重积分的概念及其计算法三重积分的概念及其计算法5.利用柱面坐标和球面坐标计算利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分三重积分第九章第九章 重重 积积 分分第九章第九章 重重 积积 分分 1、理解重积分的定义，熟悉重积分的性质；2、掌握二重积分的计算法（包括直角坐标，极坐标），掌握三重积分的计算法 （包括直角坐标，柱面坐标，球面坐标）3、熟悉重积分在几何、物理中的应用（包括平面图形的面积、立体体积；平面薄片和空间立体的质量、重心和转动惯量（惯性矩）；第一节第一节 二重积分的概念二重积分的概念与性质与性质二重积分的引入二重积分的引入二重积分的概念二重积分的概念二重积分的性质二重积分的性质=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.=？特点特点：曲顶：曲顶.2曲顶柱体曲顶柱体的体积的体积一、问题的提出一、问题的提出1平顶柱体平顶柱体的体积的体积二、二重积分的概念二、二重积分的概念1什么是曲顶柱体？什么是曲顶柱体？显然，显然，平顶柱体的体积平顶柱体的体积=底面积底面积高高，而曲顶，而曲顶柱体的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计柱体的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计算呢？算呢？以以 xoy 平面的平面的有界闭区域有界闭区域D为底为底、侧面是以、侧面是以D的边界曲线的边界曲线C作准线而母线平行于作准线而母线平行于 轴的柱面，轴的柱面，顶是曲面顶是曲面这里这里且且在在D上连续所形成的立体上连续所形成的立体称为称为曲顶柱体曲顶柱体（如上（如上图）。图）。2.其体积其体积V怎样计算？怎样计算？由第五章由第五章求曲边梯形面积的方法求曲边梯形面积的方法就不难想到就不难想到下面的解决办法：下面的解决办法：用一组曲线网将用一组曲线网将xoy面上的区域面上的区域D划分划分为为n个小区域个小区域也同时记为它们的面积，也同时记为它们的面积，分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于平行于z轴的柱面，这些柱面轴的柱面，这些柱面把原曲顶柱体分为把原曲顶柱体分为n个小曲顶柱体个小曲顶柱体当这些小闭区域的直径很小时，当这些小闭区域的直径很小时，连续函数连续函数 的变化不大，这时小的变化不大，这时小曲顶柱体可曲顶柱体可近似近似看作平顶柱体在每个看作平顶柱体在每个中各中各任取任取一点一点为高而底为为高而底为的小平顶柱体体积为的小平顶柱体体积为这这n个平顶柱体体积之个平顶柱体体积之和和可作为整个曲顶柱体体积的近似值令可作为整个曲顶柱体体积的近似值令n个个小闭区域的小闭区域的直径中的最大值（记作直径中的最大值（记作）趋于零趋于零，取上述和的取上述和的极限极限，所得的极限就，所得的极限就定义为所论曲顶柱体的体积定义为所论曲顶柱体的体积 综合起来，即所谓“分割、近似、作分割、近似、作和、取极限和、取极限”四步。求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：(3)用若干个小平顶柱体用若干个小平顶柱体体积之体积之和和近似近似表示曲顶表示曲顶柱体的体积，柱体的体积，(4)取极限：曲顶柱体的体积取极限：曲顶柱体的体积(1)先先分割分割曲顶柱体的曲顶柱体的底，并取典型小区域底，并取典型小区域求平面薄片的质量求平面薄片的质量 将薄片将薄片分割分割成若干小块，成若干小块，取典型小块，将其取典型小块，将其近似近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之所有小块质量之和和近似等于薄片总质量（近似等于薄片总质量（极限）极限）3.二重积分的定义二重积分的定义积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素注：注：(3)几何意义：几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值D D(5)面积元素为面积元素为二重积分可写为二重积分可写为性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上推论推论(1)则有则有性质性质（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）解解性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.课外思考题：课外思考题：能否用一个积分式表示二者能否用一个积分式表示二者？定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质（7条性质）二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结与作业四、小结与作业作业：作业：P.93.习题习题9-12；4(2),(3)；5(2),(4).