高一数学点线面位置关系复习.pptx

【考纲下载考纲下载】1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理面垂直的有关性质与判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题的简单命题.第第5 5讲讲 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义如果一条直线如果一条直线l l和一个平面和一个平面内的内的 直线都垂直直线都垂直，那么就说直线那么就说直线l和平面和平面互相垂直互相垂直提示：提示：定义中的定义中的“任意一条直线任意一条直线”这一词语，它与这一词语，它与“所有直线所有直线”是同义词，与是同义词，与“无数条直线无数条直线”不是同义词不是同义词任意一条任意一条1直线和平面垂直的定理直线和平面垂直的定理(1)判定定理：判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条如果一条直线和一个平面内的两条 直线都垂直，直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面那么这条直线垂直于这个平面(2)性质定理：性质定理：如果两条直线如果两条直线 于一个平面，那么这两条直线平行于一个平面，那么这两条直线平行相交相交同垂直同垂直2【思考思考】“垂直于同一平面的两条直线互相平行垂直于同一平面的两条直线互相平行”“垂直于同一直线的两个平面互相平行垂直于同一直线的两个平面互相平行”“垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一直线的两条直线互相平行”“垂直于同一平面的两个平面互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行”以上四个命题，你说有几个正确的？以上四个命题，你说有几个正确的？答案：答案：正确，正确，错误错误平面和平面垂直的定义平面和平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是如果两个相交平面所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直，就说这两个平面互相垂直平面和平面垂直的定理平面和平面垂直的定理(1)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面，那么这两个平面互相垂直互相垂直(2)性质定理：性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于 的的直线，垂直于另一个平面直线，垂直于另一个平面直角直角一条垂线一条垂线它们交线它们交线43【思考思考】你能用数学符号来表示这两个定理吗？你能用数学符号来表示这两个定理吗？答案：答案：判定定理：判定定理：a，a.性质定理：性质定理：，a，b，bab.已知直线已知直线m、n和平面和平面、满足满足mn，m，则，则()An Bn或或nCn Dn或或n解析：解析：由由 m或或m，当，当m时若时若nm，则则n与与的位置关系不确定，从而的位置关系不确定，从而A、B两项不正确两项不正确若若n，又，又m，则，则mn，这与已知，这与已知mn矛盾故排除矛盾故排除C项项答案：答案：D1(2009山东卷山东卷)已知已知、表示两个不同的平面，表示两个不同的平面，m为平面为平面内的内的一条直线，则一条直线，则“”是是“m”的的()A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：由面面垂直的判定定理，知由面面垂直的判定定理，知m.答案：答案：B23.如图所示，如图所示，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是为正方体，下面结论错误的是()ABD平面平面CB1D1BAC1BDCAC1平面平面CB1D1D异面直线异面直线AD与与CB1所成的角为所成的角为60解析：解析：异面直线异面直线AD与与CB1所成的角为所成的角为45.答案：答案：D4P为为ABC所在平面外一点，且所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的个数是其中正确的个数是_解析解析：如图所示：如图所示PAPC、PAPB，PCPB=P，PA平面平面PBC.又又BC平面平面PBC，PABC.同理同理PBAC、PCAB.但但AB不一定垂直于不一定垂直于BC.答案答案：3个个证证明明直直线线和和平平面面垂垂直直的的关关键键是是在在平平面面内内找找到到两两条条相相交交直直线线与与已已知知直直线线垂垂直直在在证证明明时时要要充充分分利利用用平平面面几几何何中中的的知知识识，以以达达到到通通过过平平面面内内的的垂垂直直关系证明空间中的垂直关系的目的关系证明空间中的垂直关系的目的 如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是是PC的中点的中点求证：求证：(1)CDAE；(2)PD平面平面ABE.思维点拨：思维点拨：(1)先证先证CD平面平面PAC；(2)先证先证AE平面平面PCD，再证，再证PD平面平面ABE.【例例1】证明：证明：(1)PA底面底面ABCD，CDPA，又又CDAC，PAACA，故故CD平面平面PAC，AE平面平面PAC，故，故CDAE.(2)PAABBC，ABC60，故，故PAAC.E是是PC的中点，故的中点，故AEPC.由由(1)知知CDAE，从而从而AE平面平面PCD，故，故AEPD.易知易知BAPD，故，故PD平面平面ABE.如图所示，已知如图所示，已知PA矩形矩形ABCD所在平面，所在平面，M，N分别是分别是AB，PC的中点的中点(1)求证：求证：MNCD；(2)若若PDA45，求证：，求证：MN平面平面PCD.变式变式1：证明：证明：(1)连结连结AC，AN，BN，PA平面平面ABCD，PAAC，在在RtPAC中中，N为为PC中点中点，AN=PC.PA平面平面ABCD，PABC，又，又BCAB，PAAB=A，BC平面平面PAB，BCPB，(2)连结连结PM、MC，PDA=45，PAAD，AP=AD.四边形四边形ABCD为矩形，为矩形，AD=BC，PA=BC.又又M为为AB的中点，的中点，AM=BM.而而PAM=CBM=90，PM=CM.又又N为为PC的中点，的中点，MNPC.由由(1)知，知，MNCD，PCCD=C，MN平面平面PCD.从而在从而在RtPBC中中，BN为斜边为斜边PC上的中线上的中线，BN=PC.AN=BN，ABN为等腰三角形，又为等腰三角形，又M为底边的中点为底边的中点，MNAB，又又ABCD，MNCD.证面面垂直的方法：证面面垂直的方法：1利用面面垂直的定义，即证明两平面所成的二面角为直二面角利用面面垂直的定义，即证明两平面所成的二面角为直二面角2利用两个平面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个利用两个平面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线平面的一条垂线(a，a)如图所示，已知如图所示，已知BCD中，中，BCD90，BCCD1，AB平面平面BCD，ADB60，E、F分别是分别是AC、AD上的动点，且上的动点，且(1)求证：不论求证：不论为何值，恒有平面为何值，恒有平面BEF平面平面ABC；(2)当当为何值时，平面为何值时，平面BEF平面平面ACD.【例例2】证明：证明：(1)AB平面平面BCD，ABCD，又又CDBC且且ABBCB，CD平面平面ABC.(01)，不论不论为何值，恒有为何值，恒有EFCD，EF平面平面ABC，而而EF平面平面BEF，不不论论为为何何值值，恒有平面，恒有平面BEF平面平面ABC.(2)解：解：由由(1)知，知，BEEF，若平面，若平面BEF平面平面ACD，则则BE平面平面ACD，故，故BEAC.BCCD1，BCD90，ADB60，AC .由由AB2AEAC，得，得平面平面BEF平面平面ACD.如右图，在四棱锥如右图，在四棱锥PABCD中，平面中，平面PAD平面平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4 .(1)设设M是是PC上的一点，证明：平面上的一点，证明：平面MBD平面平面PAD；(2)求四棱锥求四棱锥PABCD的体积的体积变式变式2：证明：证明：(1)在在ABD中，中，AD4，BD8，AB4 ，AD2BD2AB2.ADBD.又又面面PAD面面ABCD，面，面PAD面面ABCDAD，BD面面ABCD，BD面面PAD.又又BD面面BDM，面面MBD面面PAD.(2)解：过解：过P作作POAD，面面PAD面面ABCD，PO面面ABCD，即即PO为四棱锥为四棱锥PABCD的高的高又又PAD是边长为是边长为4的等边三角形，的等边三角形，PO=2 .在底面四边形在底面四边形ABCD中，中，ABDC，AB=2DC，四边形四边形ABCD为梯形为梯形在在RtADB中，斜边中，斜边AB边上的高为边上的高为 ，此即为梯形的高，此即为梯形的高 S四边形四边形ABCD =24.VPABCD =.垂直和平行关系在立体几何问题中无处不在，对垂直和平行关系证明的考垂直和平行关系在立体几何问题中无处不在，对垂直和平行关系证明的考查是每年高考必考的内容，多以简单几何体尤其是棱柱、棱锥为主，或直查是每年高考必考的内容，多以简单几何体尤其是棱柱、棱锥为主，或直接考查垂直和平行关系的判断及证明，或通过求角和距离间接考查，试题接考查垂直和平行关系的判断及证明，或通过求角和距离间接考查，试题灵活多样，因此，在平时的复习中要善于总结、归纳并掌握此类问题的通灵活多样，因此，在平时的复习中要善于总结、归纳并掌握此类问题的通性通法，加强空间想象能力、逻辑思维能力及语言表达能力的训练性通法，加强空间想象能力、逻辑思维能力及语言表达能力的训练 (2009江苏江苏)如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，中，E、F分别是分别是A1B，A1C的中点，点的中点，点D在在B1C1上，上，A1DB1C.求证：求证：(1)EF平面平面ABC；(2)平面平面A1FD平面平面BB1C1C.思维点拨：思维点拨：(1)先证先证EFBC，再证，再证EF平面平面ABC；(2)先证先证A1D平面平面BB1C1C.【例例3】证明：证明：(1)由由E，F分别是分别是A1B，A1C的中点知的中点知EFBC，因为因为EF 平面平面ABC，BC平面平面ABC，所以所以EF平面平面ABC.(2)由由三棱柱三棱柱ABCA1B1C1为为直三棱柱知直三棱柱知CC1平面平面A1B1C1，又，又A1D平面平面A1B1C1，故故CC1A1D.又因又因为为A1DB1C，CC1B1CC，CC1，B1C平面平面BB1C1C，故，故A1D平面平面BB1C1C.又又A1D平面平面A1FD，所以平面所以平面A1FD平面平面BB1C1C.如图，在正三棱柱如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点中，点D在边在边BC上，上，ADC1D.(1)求证：求证：AD平面平面BCC1B1；(2)设设E是是B1C1上的一点，当上的一点，当 的值为多少时，的值为多少时，A1E平面平面ADC1？请给出证明请给出证明变式变式3：证明：证明：(1)在正三棱柱中在正三棱柱中，CC1平面平面ABC，AD平面平面ABC，ADCC1.又又ADC1D，CC1交交C1D于于C1，且，且CC1和和C1D都在平面都在平面BCC1B1内，内，AD平面平面BCC1B1.(2)解：解：由由(1)得得ADBC.在正三角形在正三角形ABC中，中，D是是BC的中点的中点当当 1，即，即E为为B1C1的中点时，的中点时，A1E平面平面ADC1.在正三棱柱在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形中，四边形BCC1B1是矩形，是矩形，且且D、E分别是分别是BC、B1C1的中点，的中点，B1BDE，B1BDE.又又B1BAA1，且，且B1BAA1，DEAA1，且，且DEAA1.四边形四边形ADEA1为平行四边形，为平行四边形，A1EAD.而而A1E 平面平面ADC1，故，故A1E平面平面ADC1.【方法规律方法规律】1垂直关系的转化垂直关系的转化在在证证明明两两平平面面垂垂直直时时一一般般先先从从现现有有的的直直线线中中寻寻找找平平面面的的垂垂线线，若若这这样样的的直直线线图图中中不不存存在在，则则可可通通过过作作辅辅助助线线来来解解决决如如有有平平面面垂垂直直时时，一一般般要要用用性性质质定定理理，在在一一个个平平面面内内作作交交线线的的垂垂线线，使使之之转转化化为为线线面面垂垂直直，然然后后进进一一步步转转化化为为线线线线垂垂直直故故熟熟练练掌掌握握“线线线线垂垂直直”、“面面面面垂垂直直”间间的的转化条件是解决这类问题的关键转化条件是解决这类问题的关键2应用三垂线定理及其逆定理应注意的问题：应用三垂线定理及其逆定理应注意的问题：(1)两个定理中两个定理中“平面内平面内”，这个条件不能省略，否则不一定成立，这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明需要进一步证明(2)两个定理的区别：两个定理的区别：从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直线与射影垂直线与斜线垂直线与斜线垂直”，逆定理相反，逆定理相反从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直，从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直，证明异面直线垂直，逆定理相反证明异面直线垂直，逆定理相反利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线平面的垂线”“”“平面的斜线平面的斜线”“”“斜线的射影斜线的射影”.(12分分)在棱长为在棱长为2的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别为分别为DD1、DB的中点的中点(1)求证：求证：EF平面平面ABC1D1；(2)求证：求证：EFB1C.【规范解答规范解答】证明：证明：(1)连结连结BD1，如图所示，在，如图所示，在DD1B中，中，E、F分别为分别为DD1，DB的中点，则的中点，则 EF平面平面ABC1D1.6分分【易入误区易入误区】1.推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件，如由视定理的使用条件，如由EFD1B就直接得出就直接得出EF平面平面ABC1D1；2线面位置关系的证明思路出错，如本题第线面位置关系的证明思路出错，如本题第(2)问的证明，缺乏转化的问的证明，缺乏转化的思想意识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出思想意识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出现证明上的错误现证明上的错误【状元笔记状元笔记】证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的解这证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等.