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研究生入学考试上海交大运筹学期末考试考研复习珍贵PPT资料适合全国高校考研和期末考试9排队论.pptx
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1、 一般的排队过程为:顾客由顾客源出发,到达服务机构一般的排队过程为:顾客由顾客源出发,到达服务机构(服务台、服务员)前,按排队规则排队等待接受服务,服务(服务台、服务员)前,按排队规则排队等待接受服务,服务机构按服务规则给顾客服务,顾客接受完服务后就离开。排队机构按服务规则给顾客服务,顾客接受完服务后就离开。排队过程的一般过程的一般过程过程可用下图表示。我们所说的排队系统是指图中可用下图表示。我们所说的排队系统是指图中虚线所包括的部分虚线所包括的部分。在现实生活中的排队现象是多种多样的,对上面所在现实生活中的排队现象是多种多样的,对上面所说的说的“顾客顾客”和和“服务员服务员”要作广泛的理解。
2、它们可以要作广泛的理解。它们可以是人,也可以是某种物质或设备。排队可以是有形的,是人,也可以是某种物质或设备。排队可以是有形的,也可以是无形的。也可以是无形的。基本概念基本概念 排队过程的一般表示排队过程的一般表示排队系统的组成和特征排队系统的组成和特征 尽管排队系统是多种多样的,但从决定排队系统进尽管排队系统是多种多样的,但从决定排队系统进程的因素来看,它有三个基本的组成部分,这就是程的因素来看,它有三个基本的组成部分,这就是输入输入过程、过程、排队规则排队规则及及服务机构服务机构。1)1)输入过程:描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规输入过程:描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。包括:
3、律。包括:顾客源中顾客的数量是有限还是无限;顾客源中顾客的数量是有限还是无限;顾客到达的方式是单个到达还是成批到达;顾客到达的方式是单个到达还是成批到达;顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型的,分布参数是什么,是否独立,是否平稳。型的,分布参数是什么,是否独立,是否平稳。2)2)排队规则:排队规则:描述顾客排队等待的队列和接受服务的次描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。包括:序。包括:即时制还是等待制;即时制还是等待制;等待制下队列的等待制下队列的情况(情况(是单列还是多列,顾客能不是单列还是多列,顾客能不能中途退出,多列时各列间的顾客
4、能不能相互转移);能中途退出,多列时各列间的顾客能不能相互转移);等待制下顾客接受服务的次序(先到先服务,后到等待制下顾客接受服务的次序(先到先服务,后到先服务,随机服务,有优先权的服务)。先服务,随机服务,有优先权的服务)。3)3)服务机构:描述服务台服务机构:描述服务台(员员)的机构形式和工作情况。的机构形式和工作情况。包括:包括:服务台(员)的数目和排列情况;服务台(员)的数目和排列情况;服务台(员)的服务方式;服务台(员)的服务方式;服务时间是确定型的还是随机型的,分布参数是什服务时间是确定型的还是随机型的,分布参数是什么,是否独立,是否平稳。么,是否独立,是否平稳。排队模型的分类排队
5、模型的分类 D.G.KendallD.G.Kendall在在19531953年提出了一个分类方法,按照系年提出了一个分类方法,按照系统的三个最主要的、影响最大的三个特征要素进行分类,统的三个最主要的、影响最大的三个特征要素进行分类,它们是:顾客相继到达的间隔时间分布、服务时间的分它们是:顾客相继到达的间隔时间分布、服务时间的分布、并列的服务台个数。按照这三个特征要素分类的排布、并列的服务台个数。按照这三个特征要素分类的排队系统,用符号(称为队系统,用符号(称为KendallKendall记号)表示为记号)表示为 X/Y/ZX/Y/Z其中其中X X处填写顾客相继到达的间隔时间分布,处填写顾客相继
6、到达的间隔时间分布,Y Y处填写服处填写服务时间的分布,务时间的分布,Z Z处填写并列的服务台个数。处填写并列的服务台个数。例如例如M/M/1M/M/1,表示顾客相继到达的间隔时间为负指表示顾客相继到达的间隔时间为负指数分布、服务时间为负指数分布、单服务台的模型。数分布、服务时间为负指数分布、单服务台的模型。后来,在后来,在19711971年关于排队论符号标准化的会议上年关于排队论符号标准化的会议上决定,将决定,将KendallKendall符号扩充为:符号扩充为:X/Y/Z/A/B/CX/Y/Z/A/B/C 其中前三项意义不变其中前三项意义不变。A A处填写系统容量限制处填写系统容量限制;B
7、 B处填写顾客源中的顾客数目处填写顾客源中的顾客数目;C C处填写服务规则(如先到先服务处填写服务规则(如先到先服务FCFSFCFS,后到先服后到先服务务LCFSLCFS)。)。约定,如略去后三项,即指约定,如略去后三项,即指X/Y/Z/FCFSX/Y/Z/FCFS的的情形。情形。后面我们只讨论先到先服务后面我们只讨论先到先服务FCFSFCFS的情形,所以略的情形,所以略去第六项去第六项。排队系统的求解排队系统的求解 对于一个排队系统,运行状况的好坏既涉及到顾客对于一个排队系统,运行状况的好坏既涉及到顾客的利益,又涉及到服务机构的利益,还有社会效果好的利益,又涉及到服务机构的利益,还有社会效果
8、好坏的问题。为了研究排队系统运行的效率、估计服务坏的问题。为了研究排队系统运行的效率、估计服务质量、研究设计改进措施,必须确定一些基本指标,质量、研究设计改进措施,必须确定一些基本指标,用以判断系统运行状况的优劣。下面介绍几种常用的用以判断系统运行状况的优劣。下面介绍几种常用的指标。指标。1)1)队长:把系统中的顾客数称为队长:把系统中的顾客数称为队长队长,它的期望值记,它的期望值记作作LsLs。而把系统中排队等待服务的顾客数称为而把系统中排队等待服务的顾客数称为排队长排队长(队列长)(队列长),它的期望值记作,它的期望值记作LqLq。显然显然有有 队长排队长正被服务的顾客数。队长排队长正被服
9、务的顾客数。2)2)逗留时间:逗留时间:一个一个顾客从到达排队系统到服务完顾客从到达排队系统到服务完毕离去的总停留时间称为毕离去的总停留时间称为逗留时间逗留时间,它的期望值记作,它的期望值记作WsWs。一个一个顾客在系统中排队等待的时间称为顾客在系统中排队等待的时间称为等待时等待时间间,它的期望值记作,它的期望值记作WqWq。显然显然有有 逗留时间等待时间服务时间。逗留时间等待时间服务时间。3)3)瞬态和稳态瞬态和稳态 把系统中的顾客数称为系统的把系统中的顾客数称为系统的状态状态。考虑在考虑在t t时刻时刻系统的状态为系统的状态为n n的概率,它是随时刻的概率,它是随时刻t t而变化的,用而变
10、化的,用P Pn n(t)(t)表示,称为系统的表示,称为系统的瞬态瞬态。求瞬态解是很不容易的,。求瞬态解是很不容易的,一般即使求出也很难利用,因此我们常用它的极限一般即使求出也很难利用,因此我们常用它的极限 lim Plim Pn n(t)(t)P Pn n t t称为称为稳态或称统计平衡状态的解稳态或称统计平衡状态的解。统计平稳条件下的记号统计平稳条件下的记号 n =系统有系统有n个顾客时的平均到达率(单个顾客时的平均到达率(单位时间平均到达的顾客人数即是平均到达率)位时间平均到达的顾客人数即是平均到达率)n =系统有系统有n个顾客时的平均离开率个顾客时的平均离开率 =对任何对任何n都是常
11、数的平均到达率都是常数的平均到达率.m =对任何对任何n都是常数的平均都是常数的平均离开率率.1/=期望到达间隔时间期望到达间隔时间1/=期望服务时间期望服务时间 =服务强度,服务强度,或称使用因子或称使用因子,/(s)统计平稳条件下的记号统计平稳条件下的记号平均队长平均队长平均等待队长平均等待队长平均等待时间平均等待时间平均逗留时间平均逗留时间Ls,Ws,Lq,Wq满足满足公式公式Little 所以,只需要求出所以,只需要求出Pn即可。即可。几个主要概率分布几个主要概率分布一、一、POISSON分布分布 设设N(t)N(t)表示在时间区间表示在时间区间 t t0,t,t0+t)+t)内到达的
12、顾客数,是随机变内到达的顾客数,是随机变量。当量。当N(t)N(t)满足下列三个条件时,我们说顾客的到达符合满足下列三个条件时,我们说顾客的到达符合PoissonPoisson分布。这三个条件是:分布。这三个条件是:(1)(1)平稳性平稳性 在时间区间在时间区间 t t0,t,t0+t)+t)内到达的顾客数内到达的顾客数N(t)N(t),只只与区间长度与区间长度t t有关而与时间起点有关而与时间起点t t0无关。无关。(2)(2)无后效性无后效性 在时间区间在时间区间 t t0,t,t0+t)+t)内到达的顾客数内到达的顾客数N(t)N(t),与与t t0以前到达的顾客数独立。以前到达的顾客数
13、独立。(3)(3)普通性普通性 在充分短的时间区间在充分短的时间区间t t内,到达两个或两个内,到达两个或两个以上顾客的概率极小,可以忽略不计,即以上顾客的概率极小,可以忽略不计,即 P Pn(t)t)o(o(t)t)n=2 在上述三个条件下可以推出在上述三个条件下可以推出 (t)t)n P Pn(t)(t)e e-t n=0,1,2,n=0,1,2,n!n!其中其中表示单位时间平均到达的顾客数,表示单位时间平均到达的顾客数,即即为到为到达率。达率。不难算出,不难算出,N(t)N(t)的数学期望和方差分别是:的数学期望和方差分别是:EN(t)EN(t)t t VarN(t)VarN(t)t t
14、二、负指数分布二、负指数分布 随机变量随机变量T T的概率密度若是的概率密度若是 e e-t t0 t0 f fT(t)(t)0 t 0 t 0 0则称则称T T服从负指数分布,它的分布函数是服从负指数分布,它的分布函数是 1-1-e e-t t0 t0 F FT(t)(t)0 t 0 t 0 0 T T的数学期望和方差分别为:的数学期望和方差分别为:ETET1/1/,Var(T)Var(T)1/1/2 负指数分布具有下列性质:负指数分布具有下列性质:(1)(1)无记忆性或马尔柯夫性,即无记忆性或马尔柯夫性,即 PTt+s/TsPTt+s/TsPTtPTt (2)(2)当顾客到达符合当顾客到达
15、符合PoissonPoisson分布时,分布时,顾客相继到达的顾客相继到达的间隔时间间隔时间T T必服从负指数分布。必服从负指数分布。对于对于PoissonPoisson分布,分布,表示单位时间平均到达的表示单位时间平均到达的顾客数,所以顾客数,所以1/1/表示顾客相继到达的平均间隔时表示顾客相继到达的平均间隔时间,而这正和间,而这正和ETET的意义相符。的意义相符。服务时间服务时间符合负指数分布时,设它的概率密度符合负指数分布时,设它的概率密度函数和分布函数分别为函数和分布函数分别为 f fv(t)(t)e e-t;F Fv(t)(t)1-e1-e-t (t0)(t0)其中其中表示单位时间能
16、够服务完的顾客数,为服务表示单位时间能够服务完的顾客数,为服务率;而率;而1/1/表示一个顾客的平均服务时间,正是表示一个顾客的平均服务时间,正是v v的期望值。的期望值。指数分布性质指数分布性质密度函数密度函数均值均值方差方差设随机变量设随机变量 T分布函数分布函数 fT(t)t性质性质1 fT(t)t ttfT(t)是一个严格下降函数是一个严格下降函数性质性质2无后效性无后效性不管多长时间不管多长时间(t)已经过去,已经过去,逗留时间的概率分布与下逗留时间的概率分布与下一个事件的相同一个事件的相同.性质性质3几个独立的指数分布的随几个独立的指数分布的随机变量的最小有一个指数机变量的最小有一
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