大学物理8振动.pptx
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1、广义振动:任何物理量在某定值附近的周期变化。广义振动:任何物理量在某定值附近的周期变化。第 8 8 章 振动机械振动:物体在平衡位置附近来回往复的运动。机械振动:物体在平衡位置附近来回往复的运动。分解分解简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成周期性复杂振动可以表示为周期性复杂振动可以表示为傅里叶(傅里叶(Fourier)级数级数非周期性复杂振动可表示为非周期性复杂振动可表示为傅里叶(傅里叶(Fourier)积分积分一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开 x(t)被分解为(常数项除被分解为(常数项除外)频率外)频率为为 的一系列简谐振动的一系列简谐振动 构
2、成离散的构成离散的傅里叶傅里叶频谱频谱A0,An ,Bn 为相应简谐振动的振幅为相应简谐振动的振幅 方波方波锯齿波锯齿波 弹簧振子弹簧振子8.1 8.1 简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程令令 单摆单摆 令令 较小时较小时不同振动系统的微分方程具有相同的数学形式。不同振动系统的微分方程具有相同的数学形式。8.2 8.2 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程 1.1.振幅振幅2.2.周期、频率、圆频率周期、频率、圆频率周周 期期频频 率率圆频率圆频率3.3.称相位,是描述状态的物理量。称相位,是描述状态的物理量。称称初相位。初相位。相位比时间更直接更清晰地反映振动的状态和周期性。相位比时间
3、更直接更清晰地反映振动的状态和周期性。4.4.周期由系统本身性质决定,振幅和初相由初始条件决定周期由系统本身性质决定,振幅和初相由初始条件决定。,写出其振动方程式。写出其振动方程式。例:已知简谐振动例:已知简谐振动解:解:设振动方程为设振动方程为 当当 t=1时时,有有由图,由图,A=2m。当当 t=0 时有:时有:例:例:某质点作简谐运动,振动曲线如图所示。试根据图中数据某质点作简谐运动,振动曲线如图所示。试根据图中数据 写出振动表达式。写出振动表达式。解得:解得:O2-2t(s)x(m)1旋转矢量旋转矢量 的端点在的端点在 轴上轴上的投影点的运动为简谐运动。的投影点的运动为简谐运动。8.3
4、 8.3 旋转矢量旋转矢量简谐振动简谐振动旋转矢量旋转矢量振幅振幅初相初相相位相位圆频率圆频率模模初始夹角初始夹角夹角夹角角速度角速度物理模型与数学模型比较物理模型与数学模型比较R Rk kMM m m例例:定定滑滑轮轮质质量量为为M,半半径径为为R。跨跨过过滑滑轮轮的的轻轻绳绳分分别别与与重重物物(m)和和弹弹簧簧(k)相相连连,弹弹簧簧它它端端固固定定。求求系系统统的的振振动动周周期期;托托住住重重物物使绳子刚好拉直且弹簧无形变时将其释放使绳子刚好拉直且弹簧无形变时将其释放,写出重物的振动方程。写出重物的振动方程。解:解:O Ox x x x O O x xmgR Rk kMM m mx
5、x例:例:半径为半径为 r 的均匀小球,可以在一半径的均匀小球,可以在一半径 R 为的球形碗底部作纯为的球形碗底部作纯滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。滚动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。解:解:建立图示坐标系,以小球为研究对象。建立图示坐标系,以小球为研究对象。质心沿圆周切向方程:质心沿圆周切向方程:小球绕质心转动方程:小球绕质心转动方程:接触点纯滚动:接触点纯滚动:小幅度振动条件:小幅度振动条件:联立解得:联立解得:周期周期 小球作平面平行运动可分解为质心的运动小球作平面平行运动可分解为质心的运动+绕质心的转动绕质心的转动例:例:设想地球内有一光滑隧道,如图所示。证明质点设想
6、地球内有一光滑隧道,如图所示。证明质点m在此在此 隧道内的运动为简谐振动,并求其振动周期。隧道内的运动为简谐振动,并求其振动周期。解:解:满足简谐振动方程,故为简谐振动。满足简谐振动方程,故为简谐振动。周期:周期:oxrRo8.4 8.4 简谐振动的能量简谐振动的能量 可由能量守恒确定系统的微分方程和振动周期可由能量守恒确定系统的微分方程和振动周期例:例:U 形管截面面积形管截面面积 S,管中流体的质量,管中流体的质量 m、密度密度,求求 液体振荡周期液体振荡周期 T。解:解:设偏离平衡位置的液柱高度设偏离平衡位置的液柱高度为为y液柱作简谐振动。液柱作简谐振动。机械能守恒机械能守恒两边求导两边
7、求导分析受力分析受力微分方程微分方程振动周期振动周期平衡位置平衡位置质心位置上升了质心位置上升了 y例例:半半径径为为 r 的的小小球球在在半半径径为为R 的的半半球球形形大大碗碗内内作作纯纯滚滚动动,这这种运动是简谐振动吗?如果是,求出它的周期。种运动是简谐振动吗?如果是,求出它的周期。机械能守恒机械能守恒将上三式代入后,对时间求导数将上三式代入后,对时间求导数其中其中小角度振动时的周期小角度振动时的周期解:解:设小球质心速度设小球质心速度,角速度角速度例例:劲劲度度系系数数为为K的的轻轻弹弹簧簧一一端端固固定定,另另一一端端连连接接在在圆圆柱柱体体的的转转轴轴上上。圆圆柱柱体体的的质质量量
8、和和半半径径为为m和和R,并并可可绕绕其其转转轴轴在在平平面面上上作作纯纯滚滚动。试动。试求该系统的振动周期。求该系统的振动周期。解:解:由质心运动定理由质心运动定理相对质心的转动定理相对质心的转动定理由纯滚动条件由纯滚动条件另解:另解:由系统的机械能守恒由系统的机械能守恒由纯滚动条件由纯滚动条件消去消去 可得:可得:对上式求导对上式求导8.5 8.5 简谐振动的合成简谐振动的合成1.1.方向相同、频率相同方向相同、频率相同合振动与分振动同方向,且频率相同。合振动与分振动同方向,且频率相同。【矢量合成方法矢量合成方法】由几何关系直接写出:由几何关系直接写出:设设 t=0 时时刻刻对对应应两两振
9、振动动的的旋旋转转矢矢量量 A1 和和 A2 与与 x 轴轴的的夹夹角角分分别别为为 、。由由于于两两旋旋转转矢矢量量以以相相同同的的角角速速度度旋旋转转因因此此它它们们的的合合矢矢量量也也以以相相同同的的角角速速度度旋旋转转。合合矢矢量量A在在 方方向向的的投投影影也也代代表表一一个个简简谐谐振振动动,且且 ,表表明明合合矢矢量量的的模模就就是合成振动的振幅。是合成振动的振幅。两个同方向、同频率简谐振动的合成:两个同方向、同频率简谐振动的合成:A2A1x0AA2A1x0Ax2x1x四边形四边形 三角形三角形 多边形多边形 讨论:讨论:相位差对合成振动的影响相位差对合成振动的影响 两振动同相位
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